第三章導(dǎo)數(shù)練習(xí)題及答案函數(shù)的最值.doc

根據(jù)條件確定函數(shù)的參數(shù)是否存在例 已知函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)a、b、c，使同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：（1）定義域?yàn)镽的奇函數(shù)；（2）在上是增函數(shù)；（3）最大值是1若存在，求出a、b、c；若不存在，說明理由分析：本題是解決存在性的問題，首先假設(shè)三個(gè)參數(shù)a、b、c存在，然后用三個(gè)已給條件逐一確定a、b、c的值解：是奇函數(shù)又，即，或，但時(shí)，不合題意；故這時(shí)在上是增函數(shù)，且最大值是1設(shè)在上是增函數(shù)，且最大值是3，當(dāng)時(shí)，故；又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故，又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在是增函數(shù)，在（1，1）上是減函數(shù)又時(shí)，時(shí)最大值為3經(jīng)驗(yàn)證：時(shí)，符合題設(shè)條件，所以存在滿足條件的a、b、c，即說明：此題是綜合性較強(qiáng)的存在性問題，對(duì)于拓寬思路，開闊視野很有指導(dǎo)意義此題若用相等方法解決是十分繁雜的，甚至無技可施若用求導(dǎo)數(shù)的方法解決就迎刃而解因此用導(dǎo)數(shù)法解決有關(guān)單調(diào)性和最值問題是很重要的數(shù)學(xué)方法切不可忘記供水站建在何處使水管費(fèi)最少例 有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最??？分析：根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當(dāng)選定變?cè)?，?gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過求導(dǎo)的方法或其他方法求出函數(shù)的最小值，可確定點(diǎn)C的位置解：解法一：根據(jù)題意知，只有點(diǎn)C在線段AD上某一適當(dāng)位置，才能使總運(yùn)費(fèi)最省，設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)x km，則又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元，依題意有令，解得在（0，50）上，y只有一個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際問題的意義，函數(shù)在（km）處取得最小值，此時(shí)（km）供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費(fèi)用最省解法二：設(shè)，則設(shè)總的水管費(fèi)用為，依題意，有 令，得根據(jù)問題的實(shí)際意義，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)（km），即供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費(fèi)用最省說明：解決實(shí)際應(yīng)用問題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)把“問題情景”譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系近似化、形式化，抽象成數(shù)學(xué)問題，再劃歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解對(duì)于這類問題，學(xué)生往往忽視了數(shù)學(xué)語言和普通語言的理解與轉(zhuǎn)換，從而造成了解決應(yīng)用問題的最大思維障礙運(yùn)算不過關(guān)，得不到正確的答案，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法不理解或理解不透徹，則找不到正確的解題思路，在此正需要我們依據(jù)問題本身提供的信息，利用所謂的動(dòng)態(tài)思維，去尋求有利于問題解決的變換途徑和方法，并從中進(jìn)行一番選擇利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值 例 求下列函數(shù)的最值： 1； 2； 3 4分析：函數(shù)在給定區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)，必有最大值和最小值，因此，在求閉區(qū)間上函數(shù)的最值時(shí)，只需求出函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極值，然后與端點(diǎn)處函數(shù)值進(jìn)行比較即可解：1，令，得，又2，令，得，又3令，即，解得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值，也是最小值為即4函數(shù)定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，令，解得，又，說明：對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果在相應(yīng)開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，求上最值可簡化過程，即直接將極值點(diǎn)與端點(diǎn)的函數(shù)值比較，即可判定最大（或最?。┑暮瘮?shù)值，就是最大（或最?。┲到鉀Q這類問題，運(yùn)算欠準(zhǔn)確是普遍存在的一個(gè)突出問題，反映出運(yùn)算能力上的差距運(yùn)算的準(zhǔn)確要依靠運(yùn)算方法的合理與簡捷，需要有效的檢驗(yàn)手段，只有全方位的“綜合治理”才能在堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上形成運(yùn)算能力，解決運(yùn)算不準(zhǔn)確的弊病求兩變量乘積的最大值例 已知為正實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式，求的最大值分析：題中有兩個(gè)變量x和y，首先應(yīng)選擇一個(gè)主要變量，將表示為某一變量（x或y或其它變量）的函數(shù)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，同時(shí)根據(jù)題設(shè)條件確定變量的取值范圍，再利用導(dǎo)數(shù)（或均值不等式等）求函數(shù)的最大值解：解法一：，由解得設(shè)當(dāng)時(shí)， 令，得或（舍），又，函數(shù)的最大值為即的最大值為解法二：由得，設(shè)，設(shè)，則 令，得或，此時(shí)即當(dāng)時(shí)，說明：進(jìn)行一題多解訓(xùn)練，是一種打開思路，激發(fā)思維，鞏固基礎(chǔ)，溝通聯(lián)系的重要途徑，但要明確解決問題的策