拋物線習(xí)題精選精講.doc

中學(xué)數(shù)學(xué)免費(fèi)網(wǎng) 拋物線（1）拋物線二次曲線的和諧線橢圓與雙曲線都有兩種定義方法，可拋物線只有一種：到一個定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的所有點(diǎn)的集合.其離心率e=1，這使它既與橢圓、雙曲線相依相伴，又鼎立在圓錐曲線之中.由于這個美好的1，既使它享盡和諧之美，又生出多少華麗的篇章.【例1】P為拋物線上任一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則以PF為直徑的圓與y軸（ ）相交 相切 相離 位置由P確定【解析】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線是.作PH于H，交y軸于Q，那么，且.作MNy軸于N則MN是梯形PQOF的中位線，.故以PF為直徑的圓與y軸相切，選B.【評注】相似的問題對于橢圓和雙曲線來說，其結(jié)論則分別是相離或相交的.（2）焦點(diǎn)弦?？汲Ｐ碌牧咙c(diǎn)弦有關(guān)拋物線的試題，許多都與它的焦點(diǎn)弦有關(guān).理解并掌握這個焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，對破解這些試題是大有幫助的.【例2】 過拋物線的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于兩點(diǎn)，求證：（1） （2）【證明】（1）如圖設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，作，.兩式相加即得：（2）當(dāng)ABx軸時，有成立；當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)焦點(diǎn)弦AB的方程為：.代入拋物線方程：.化簡得：方程（1）之二根為x1，x2，.故不論弦AB與x軸是否垂直，恒有成立.（3）切線拋物線與函數(shù)有緣有關(guān)拋物線的許多試題，又與它的切線有關(guān).理解并掌握拋物線的切線方程，是解題者不可或缺的基本功.【例3】證明：過拋物線上一點(diǎn)M（x0，y0）的切線方程是：y0y=p（x+x0）【證明】對方程兩邊取導(dǎo)數(shù)：.由點(diǎn)斜式方程： y0y=p（x+x0）（4）定點(diǎn)與定值拋物線埋在深處的寶藏 拋物線中存在許多不不易發(fā)現(xiàn)，卻容易為人疏忽的定點(diǎn)和定值.掌握它們，在解題中常會有意想不到的收獲.例如：1.一動圓的圓心在拋物線上，且動圓恒與直線相切，則此動圓必過定點(diǎn) （ ）顯然.本題是例1的翻版，該圓必過拋物線的焦點(diǎn)，選B.2.拋物線的通徑長為2p；3.設(shè)拋物線過焦點(diǎn)的弦兩端分別為，那么：以下再舉一例【例4】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)弦AB在其準(zhǔn)線上的射影是A1B1，證明：以A1B1為直徑的圓必過一定點(diǎn)【分析】假定這條焦點(diǎn)弦就是拋物線的通徑，那么A1B1=AB=2p，而A1B1與AB的距離為p，可知該圓必過拋物線的焦點(diǎn).由此我們猜想：一切這樣的圓都過拋物線的焦點(diǎn).以下我們對AB的一般情形給于證明.【證明】如圖設(shè)焦點(diǎn)兩端分別為，那么：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交x軸于C，那么.這就說明：以A1B1為直徑的圓必過該拋物線的焦點(diǎn). 通法 特法 妙法（1）解析法為對稱問題解困排難解析幾何是用代數(shù)的方法去研究幾何，所以它能解決純幾何方法不易解決的幾何問題（如對稱問題等）.【例5】（07.四川文科卷.10題）已知拋物線y=-x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對稱的相異兩點(diǎn)A、B，則|AB|等于（ ）A.3 B.4 C.3 D.4【分析】直線AB必與直線x+y=0垂直，且線段AB的中點(diǎn)必在直線x+y=0上，因得解法如下.【解析】點(diǎn)A、B關(guān)于直線x+y=0對稱，設(shè)直線AB的方程為：. 由設(shè)方程（1）之兩根為x1，x2，則.設(shè)AB的中點(diǎn)為M（x0，y0），則.代入x+y=0：y0=.故有.從而.直線AB的方程為：.方程（1）成為：.解得：，從而，故得：A（-2，-1），B（1，2）.，選C.（2）幾何法為解析法添彩揚(yáng)威雖然解析法使幾何學(xué)得到長足的發(fā)展，但伴之而來的卻是難以避免的繁雜計算，這又使得許多考生對解析幾何習(xí)題望而生畏.針對這種現(xiàn)狀，人們研究出多種使計算量大幅度減少的優(yōu)秀方法，其中最有成效的就是幾何法.【例6】（07.全國1卷.11題）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，經(jīng)過且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交于點(diǎn)，垂足為，則的面積（ ）A B C D【解析】如圖直線AF的斜率為時AFX=60.AFK為正三角形.設(shè)準(zhǔn)線交x軸于M，則且KFM=60，.選C.【評注】（1）平面幾何知識：邊長為a的正三角形的面積用公式計算. （2）本題如果用解析法，需先列方程組求點(diǎn)A的坐標(biāo)，再計算正三角形的邊長和面積.雖不是很難，但決沒有如上的幾何法簡單.（3）定義法追本求真的簡單一著許多解析幾何習(xí)題咋看起來很難.但如果返樸歸真，用最原始的定義去做，反而特別簡單.【例7】（07.湖北卷.7題）雙曲線的左準(zhǔn)線為，左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為和；拋物線的線為，焦點(diǎn)為與的一個交點(diǎn)為，則等于（ ）A B C D【分析】 這道題如果用解析法去做，計算會特別繁雜，而平面幾何知識又一時用不上，那么就從最原始的定義方面去尋找出路吧.如圖，我們先做必要的準(zhǔn)備工作：設(shè)雙曲線的半焦距c，離心率為e，作 ，令.點(diǎn)M在拋物線上，這就是說：的實(shí)質(zhì)是離心率e.其次，與離心率e有什么關(guān)系？注意到： . 這樣，最后的答案就自然浮出水面了：由于.選 A.（4）三角法本身也是一種解析三角學(xué)蘊(yùn)藏著豐富的解題資源.利用三角手段，可以比較容易地將異名異角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同名同角的三角函數(shù)，然后根據(jù)各種三角關(guān)系實(shí)施“九九歸一”達(dá)到解題目的.因此，在解析幾何解題中，恰當(dāng)?shù)匾肴琴Y源，常可以擺脫困境，簡化計算.【例8】（07.重慶文科.21題）如圖，傾斜角為a的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)。（）求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l的方程；（）若a為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點(diǎn)P，證明|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此定值?！窘馕觥浚ǎ┙裹c(diǎn)F（2，0），準(zhǔn)線.（）直線AB：代入（1），整理得：設(shè)方程（2）之二根為y1，y2，則.設(shè)AB中點(diǎn)為AB的垂直平分線方程是：.令y=0，則故于是|FP|-|FP|cos2a=，故為定值.（5）消去法合理減負(fù)的常用方法.避免解析幾何中的繁雜運(yùn)算，是革新、創(chuàng)新的永恒課題.其中最值得推薦的優(yōu)秀方法之一便是設(shè)而不求，它類似兵法上所說的“不戰(zhàn)而屈人之兵”.【例9】 是否存在同時滿足下列兩條件的直線：（1）與拋物線有兩個不同的交點(diǎn)A和B；（2）線段AB被直線：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，說明理由，若存在，求出直線的方程.【解析】假定在拋物線上存在這樣的兩點(diǎn)線段AB被直線：x+5y-5=0垂直平分，且.設(shè)線段AB的中點(diǎn)為.代入x+5y-5=0得x=1.于是：AB中點(diǎn)為.故存在符合題設(shè)條件的直線，其方程為： （6）探索法奔向數(shù)學(xué)方法的高深層次有一些解析幾何習(xí)題，初看起來好似“樹高蔭深，叫樵夫難以下手”.這時就得冷靜分析，探索規(guī)律，不斷地猜想證明再猜想再證明.終于發(fā)現(xiàn)“無限風(fēng)光在險峰”.【例10】（07.安徽卷.14題）如圖，拋物線y=-x2+1與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，將線段OA的n等分點(diǎn)從左至右依次記為P1,P2,Pn-1,過這些分點(diǎn)分別作x軸的垂線，與拋物線的交點(diǎn)依次為Q1，Q2，Qn-1，從而得到n-1個直角三角形Q1OP1, Q2P1P2, Qn-1Pn-1Pn-1,當(dāng)n時，這些三角形的面積之和的極限為 . 【解析】設(shè)OA上第k個分點(diǎn)為第k個三角形的面積為： .故這些三角形的面積之和的極限拋物線定義的妙用對于拋物線有關(guān)問題的求解，若能巧妙地應(yīng)用定義思考，常能化繁為簡，優(yōu)化解題思路，提高思維能力。現(xiàn)舉例說明如下。一、求軌跡（或方程）例1. 已知動點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程，則動點(diǎn)M的軌跡是（ ）A. 橢圓 B. 雙曲線 C. 拋物線 D. 以上都不對解：由題意得：即動點(diǎn)到直線的距離等于它到原點(diǎn)（0，0）的距離由拋物線定義可知：動點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)（0，0）為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線。故選C。二、求參數(shù)的值例2. 已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離為5，求m的值。解：設(shè)拋物線方程為，準(zhǔn)線方程：點(diǎn)M到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離相等解得：拋物線方程為把代入得：三、求角例3. 過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為，則_。A. 45 B. 60 C. 90 D. 120圖1解：如圖1，由拋物線的定義知：則由題意知：即故選C。四、求三角形面積例4. 設(shè)O為拋物線的頂點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)且PQ為過焦點(diǎn)的弦，若，。求OPQ的面積。解析：如圖2，不妨設(shè)拋物線方程為，點(diǎn)、點(diǎn)圖2則由拋物線定義知：又，則由得：即又PQ為過焦點(diǎn)的弦，所以則所以，點(diǎn)評：將焦點(diǎn)弦分成兩段，利用定義將焦點(diǎn)弦長用兩端點(diǎn)橫坐標(biāo)表示，結(jié)合拋物線方程，利用韋達(dá)定理是常見的基本技能。五、求最值例5. 設(shè)P是拋物線上的一個動點(diǎn)。（1）求點(diǎn)P到點(diǎn)A（-1，1）的距離與點(diǎn)P到直線的距離之和的最小值；（2）若B（3，2），求的最小值。解：（1）如圖3，易知拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線是由拋物線的定義知：點(diǎn)P到直線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離。于是，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A（-1，1）的距離與點(diǎn)P到F（1，0）的距離之和最小。顯然，連結(jié)AF交曲線于P點(diǎn)，則所求最小值為，即為。圖3（2）如圖4，自點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于Q交拋物線于點(diǎn)，則，則有即的最小值為4圖4點(diǎn)評：本題利用拋物線的定義，將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，從而構(gòu)造出“兩點(diǎn)間線段距離最短”，使問題獲解。六、證明例6. 求證：以拋物線過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓，必與此拋物線的準(zhǔn)線相切。證明：如圖5，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過A、B兩點(diǎn)分別作AC、BD垂直于，垂足分別為C、D。取線段AB中點(diǎn)M，作MH垂直于H。圖5由拋物線的定義有：ABDC是直角梯形即為圓的半徑，而準(zhǔn)線過半徑MH的外端且與半徑垂直，故本題得證。拋物線與面積問題拋物線與面積相結(jié)合的題目是近年來中考數(shù)學(xué)中常見的問題。解答此類問題時，要充分利用拋物線和面積的有關(guān)知識，重點(diǎn)把握相交坐標(biāo)點(diǎn)的位置及坐標(biāo)點(diǎn)之間的距離，得出相應(yīng)的線段長或高，從而求解。例1. 如圖1，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）。點(diǎn)C（0，5）、點(diǎn)D（1，8）在拋物線上，M為拋物線的頂點(diǎn)。圖1（1）求拋物線的解析式；（2）求MCB的面積。解：（1）設(shè)拋物線的解析式為，根據(jù)題意得，解得所求的拋物線的解析式為（2）C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5），OC5令，則，解得B點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），OB5，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，9）過點(diǎn)M作MNAB于點(diǎn)N，則ON2，MN9例2. 如圖2，面積為18的等腰直角三角形OAB的一條直角邊OA在x軸上，二次函數(shù)的圖像過原點(diǎn)、A點(diǎn)和斜邊OB的中點(diǎn)M。圖2（1）求出這個二次函數(shù)的解析式和對稱軸。（2）在坐標(biāo)軸上是否存一點(diǎn)P，使PMA中PAPM，如果存在，寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，說明理由。解：（1）等腰直角OAB的面積為18，OAOB6M是斜邊OB的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，3）拋物線，解得解析式為，對稱軸為（2）答：在x軸、y軸上都存在點(diǎn)P，使PAM中PAPM。P點(diǎn)在x軸上，且滿足PAPM時，點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，0）。P點(diǎn)在y軸上，且滿足PAPM時，點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，3）。例3. 二次函數(shù)的圖像一部分如圖3，已知它的頂點(diǎn)M在第二象限，且經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（0，1）。圖3（1）請判斷實(shí)數(shù)a的取值范圍，并說明理由。（2）設(shè)此二次函數(shù)的圖像與x軸的另一個交點(diǎn)為c，當(dāng)AMC的面積為ABC面積的倍時，求a的值。解：（1）由圖象可知：；圖象過點(diǎn)（0，1），所以c1；圖象過點(diǎn)（1，0），則；當(dāng)時，應(yīng)有，則當(dāng)代入得，即所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為。（2）此時函數(shù)，要使，可求得。例4. 如圖4，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果x軸與一次函數(shù)的圖象以及分別過C（1，0）、D（4，0）兩點(diǎn)且平行于y軸的兩條直線所圍成的圖形ABDC的面積為7。圖4（1）求K的值；（2）求過F、C、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）線段CD上的一個動點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以1單位/秒的速度沿DC的方向移動（點(diǎn)P不重合于點(diǎn)C），過P點(diǎn)作直線PQCD交EF于Q。當(dāng)P從點(diǎn)D出發(fā)t秒后，求四邊形PQFC的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定t的取值范圍。解：（1）點(diǎn)A、B在一次函數(shù)的圖象上，且四邊形ABDC的面積為7。（2）由F（0，4），C（1，0），D（4，0）得（3）PD1ttOP4t即。拋物線1已知拋物線D：y2=4x的焦點(diǎn)與橢圓Q：的右焦點(diǎn)F1重合，且點(diǎn)在橢圓Q上。（）求橢圓Q的方程及其離心率；（）若傾斜角為45的直線l過橢圓Q的左焦點(diǎn)F2，且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，求ABF1的面積。解：（）由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為（1，0）橢圓Q的右焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)為（1，0）。 又點(diǎn)在橢圓Q上， 即 由，解得 橢圓Q的方程為 離心離 （）由（）知F2（1，0）直線l的方程為 設(shè)由方程組 消y整理，得 又點(diǎn)F1到直線l的距離 2如圖所示，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求AMN面積最大時直線l的方程，并求AMN的最大面積 解法一 由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,其中5m0 由方程組,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 直線l與拋物線有兩個不同交點(diǎn)M、N，方程的判別式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范圍為(5，0)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=42m，x1x2=m2,|MN|=4 點(diǎn)A到直線l的距離為d= S=2(5+m),從而S2=4(1m)(5+m)2=2(22m)(5+m)(5+m)2()3=128 S8,當(dāng)且僅當(dāng)22m=5+m,即m=1時取等號 故直線l的方程為y=x1，AMN的最大面積為8 解法二 由題意，可設(shè)l與x軸相交于B（m,0）, l的方程為x = y +m,其中0m5 由方程組,消去x,得y 24 y 4m=0 直線l與拋物線有