高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納-上教(補(bǔ)充、整理、排版).doc

上海高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納第1章 集合與命題1.1集合與元素 （1）集合的概念 常把能夠確切指定的一些對(duì)象看作一個(gè)整體，這個(gè)整體就叫做集合. （2）集合中的元素 集合中的各個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素,集合中的元素具有確定性、互異性和無序性. （3）集合與元素間的關(guān)系對(duì)象與集合的關(guān)系是，或者，兩者必居其一. （4）集合的表示法 自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合.描述法：|具有的性質(zhì)，其中為集合的代表元素.圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合. （5）集合的分類 含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集. 含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集. 不含有任何元素的集合叫做空集(). （6）常用數(shù)集及其記法 表示自然數(shù)集，或表示正整數(shù)集，表示整數(shù)集，表示有理數(shù)集，表示實(shí)數(shù)集. 1.2集合與集合名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖子集（或A中的任一元素都屬于B(1)AA(2)(3)若且，則(4)若且，則或真子集AB（或BA），且B中至少有一元素不屬于A(1)（A為非空子集）(2)若且，則集合相等A中的任一元素都屬于B，B中的任一元素都屬于A(1)AB(2)BA 重要結(jié)論：已知集合有個(gè)元素，則它有個(gè)子集，它有個(gè)真子集，它個(gè)非空子集，它有非空真子集. 1.3集合的基本運(yùn)算 交集、并集、補(bǔ)集名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖交集且（1）（2）（3） 并集或（1）（2）（3） 補(bǔ)集 1.4命題的形式及等價(jià)關(guān)系（1）命題 用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.“若，則”形式的命題中的稱為命題的條件，稱為命題的結(jié)論. （2）逆命題 對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，則這兩個(gè)命題稱為互逆命題.其中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的逆命題。若原命題為“若，則”，它的逆命題為“若，則”. （3）否命題 對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，則這兩個(gè)命題稱為互否命題.中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的否命題.若原命題為“若，則”，則它的否命題為“若，則”. （4）逆否命題 對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，則這兩個(gè)命題稱為互為逆否命題。其中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的逆否命題。若原命題為“若，則”，則它的否命題為“若，則”。 1.5充分條件與必要條件 充分條件、必要條件、充要條件 如果,那么P是Q的充分條件，Q是P的必要條件。 如果,那么P是Q的充要條件。也就是說，命題P與命題Q是等價(jià)命題。 1.6命題的運(yùn)算 命題的非運(yùn)算 命題的且運(yùn)算 命題的或運(yùn)算 1.7抽屜原則與平均數(shù)原則第2章 不等式2.1不等式的基本性質(zhì)1. 如果2. 如果3. 如果4. 如果5. 如果6. 如果，那么7. 如果，那么.8. 如果,那么2.2一元二次不等式的解法這個(gè)知識(shí)點(diǎn)很重要，可根據(jù)與0的關(guān)系來求解，注意解的區(qū)間的表示，不等式組也是一樣。解分式不等式的方法就是將它轉(zhuǎn)化為解整式不等式。求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù).二判：判斷對(duì)應(yīng)方程的根.三求：求對(duì)應(yīng)方程的根.四畫：畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象.五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.規(guī)律：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，小于取中間，大于取兩邊. 區(qū)間的概念及表示法 設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，滿足的實(shí)數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，記做；滿足的實(shí)數(shù)的集合叫做開區(qū)間，記做；滿足，或的實(shí)數(shù)的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做，；滿足的實(shí)數(shù)的集合分別記做注意：對(duì)于集合與區(qū)間，前者可以大于或等于，而后者必須，（前者可以不成立，為空集；而后者必須成立）2.3其他不等式的解法 （1）分式不等式的解法先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則（時(shí)同理）規(guī)律：把分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式求解. （2）含絕對(duì)值不等式的解法不等式解集或把看成一個(gè)整體，化成，型不等式來求解兩個(gè)基本不等式：1.對(duì)任意實(shí)數(shù)有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。2.對(duì)任意正數(shù)有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。我們把分別叫做正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)。 （3）無理不等式的解法方法：將無理不等式轉(zhuǎn)化為有理不等式求解， （4）高次不等式的解法方法：穿根法分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切），結(jié)合原式不等號(hào)的方向，寫出不等式的解集.2.4基本不等式及其應(yīng)用1. ,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取號(hào)）. 2. ,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)）.用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”.2.5不等式的證明常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等.常見不等式的放縮方法： 舍去或加上一些項(xiàng)，如 將分子或分母放大（縮?。?，如 第三章函數(shù)的基本性質(zhì)3.1函數(shù)的概念 在某個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量，如果對(duì)于在某個(gè)實(shí)數(shù)集合D內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，都有唯一確定的實(shí)數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，那么就是的函數(shù).記作： 是自變量 D是定義域 與對(duì)應(yīng)的值叫做函數(shù)值 函數(shù)值的集合是值域3.2函數(shù)關(guān)系的建立 函數(shù)的三要素:定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則 表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種 解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系3.3函數(shù)的運(yùn)算 函數(shù)的和：3.4函數(shù)的性質(zhì) （1）函數(shù)的奇偶性定義及判定方法函數(shù)的性 質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的奇偶性如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)（1）利用定義（要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）（2）利用圖象（圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)（1）利用定義（要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）（2）利用圖象（圖象關(guān)于y軸對(duì)稱）若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處有定義，則 （2）函數(shù)的單調(diào)性定義及判定方法函數(shù)的性 質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的單調(diào)性如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2,當(dāng)x1 x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)（1）利用定義（2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（3）利用函數(shù)圖象（在某個(gè)區(qū)間圖 象上升為增）（4）利用復(fù)合函數(shù)如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)（1）利用定義（2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（3）利用函數(shù)圖象（在某個(gè)區(qū)間圖象下降為減）（4）利用復(fù)合函數(shù)在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù) （3）函數(shù)的最值 一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足： （1）對(duì)于任意的，都有； （2）存在，使得那么，我們稱是函數(shù)的最大值，記作一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：（1） 對(duì)于任意的，都有；（2） （2）存在，使得那么，我們稱是函數(shù)的最小值，記作（4）函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：求函數(shù)的零點(diǎn)： （代數(shù)法）求方程的實(shí)數(shù)根； （幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的第4章 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)4.1冪函數(shù)的性質(zhì) （1）冪函數(shù)的定義 一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中為自變量，是常數(shù)（2） 冪函數(shù)的圖象 （3）冪函數(shù)的性質(zhì) 圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于軸對(duì)稱)；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限 過定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過點(diǎn) 單調(diào)性：如果，則冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在上為增函數(shù)如果，則冪函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近軸與軸 奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)4.2指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義0101函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)圖象定義域值域過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，越大圖象越低（趨勢(shì)）4.3對(duì)數(shù)概念及其運(yùn)算（1） 對(duì)數(shù)的定義 若，則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù)負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：（2）幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式，（3）常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)常用對(duì)數(shù)：，即；自然對(duì)數(shù)：，即（其中）（4）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 如果，那么加法： 減法： 數(shù)乘： 換底公式：4.4反函數(shù)的概念 （1）反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，從式子中解出，得式子如果?duì)于在中的任何一個(gè)值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子表示是的函數(shù)，函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作，習(xí)慣上改寫成（2）反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式中反解出；將改寫成，并注明反函數(shù)的定義域 反函數(shù)的性質(zhì): 原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域 若在原函數(shù)的圖象上，則在反函數(shù)的圖象上 一般地，函數(shù)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)4.5對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)名稱對(duì)數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)圖象0101定義域值域過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，越大圖象越靠高4.6簡(jiǎn)單的指數(shù)方程指數(shù)方程：我們把指數(shù)里含有未知數(shù)的方程叫做指數(shù)方程. 1.注意定義域 2.熟練使用指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算公式 3.熟練運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)，留意換元法4.7簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)方程對(duì)數(shù)方程：在對(duì)數(shù)符號(hào)后面含有未知數(shù)的方程叫做對(duì)數(shù)方程.第5章 三角比5.1任意角及其度量（1）角的分類 1、 正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 零角：不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角 2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角 第一象限角的集合為 第二象限角的集合為 第三象限角的集合為 第四象限角的集合為 如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上，則也可以稱為軸線角. 終邊在軸上的角的集合為 終邊在軸上的角的集合為 終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為3、 與角終邊相同的角的集合為（2）角的弧度制1、長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做弧度2、半徑為的圓的圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為，則角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是3、弧度制與角度制的換算公式：，5.2任意角的三角比1、三角比定義設(shè)角a是一個(gè)任意角，將角a置于平面直角坐標(biāo)系中，角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，a的始邊與x軸的正半軸重合，在a的終邊上任?。ó愑谠c(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y）,有點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為： 2、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正3、單位圓：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為1的圓（解決任意角，三角比問題的利器）.4、三角函數(shù)線：，Pvx y A O M T 說明：三角函數(shù)線是有向線段（向量），既有長(zhǎng)度，又有方向,方向的正負(fù)與對(duì)應(yīng) 的三角比值保持一致. （1）正弦線：無論是第幾象限角，過的終邊與單位圓的交點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于M，有向線段MP的符號(hào)與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y的符號(hào)一致，長(zhǎng)度等于y所以有=我們把有向線段叫做角的正弦線，正弦線是角的正弦值的幾何形式 （2）余弦線：有向線段叫做的余弦線. （3）正切線：過A（1，0）點(diǎn)作單位圓的切線（x軸的垂線），設(shè)的終邊或其反向延長(zhǎng)線與這條切線交于T點(diǎn)，那么有向線段叫做角的正切線.5.2任意角的三角比5.3同角三角比的關(guān)系和誘導(dǎo)公式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；.（3） 倒數(shù)關(guān)系：，5.4兩角和與差的余弦，正弦與正切； （）； （5.5二倍角的正弦、余弦和正切公式 升冪公式 降冪公式， 5.6正弦定理，余弦定理和解斜三角形1、正弦定理：在中，、分別為角、的對(duì)邊，則有(為的外接圓的半徑)2、正弦定理的變形公式：，；，；3、三角形面積公式：4、余弦定理：在中，有，推論：第6章 三角函數(shù)6.1及6.2正弦函數(shù)與余弦函數(shù)，正切，（余切）的圖像與性質(zhì)函數(shù)性質(zhì) y=cotx圖象定義域值域最值當(dāng)時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，當(dāng)時(shí)，