實(shí)變函數(shù)期中復(fù)習(xí)題.pdf

華中師范大學(xué)華中師范大學(xué) 2013 2014 學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期 實(shí)變函數(shù)期中復(fù)習(xí)題實(shí)變函數(shù)期中復(fù)習(xí)題 一 判斷題 判斷正誤 正確的請簡要說明理由 錯誤的請舉出反例 1 若 n fx 1n 2 和 f x都為可測集E上的可測函數(shù) 且lim n n fxf x ae于E 則 n fxf x xE 2 設(shè) n fx 1 2 n 和 f x都為 0 1 上的可測函數(shù) 且 n fxf x ae于 0 1 則 n fxf x 于 0 1 3 若 f x是 0 1 上的可測函數(shù) 則0 存在閉集 0 1 F 使得 0 1 mF f x是F上的連續(xù)函數(shù) 4 設(shè) n fx 是 0 1 上的一列非負(fù)單調(diào)可測函數(shù) 則 lim n n f xfx 是 0 1 上的 Lebesgue 可積函數(shù) 5 設(shè) n fx 是 0 1 上的一列非負(fù)可測函數(shù) 則 1 n n f xfx 是 0 1 上的 Lebesgue 可積函數(shù) 二 敘述題 請完整地?cái)⑹鲆韵露ɡ砘蛎} 1 F Riesz 定理 黎斯定理 2 Egoroff 定理 葉果洛夫定理 3 關(guān)于依測度收斂與幾乎處處收斂關(guān)系的 Lebesgue 定理 勒貝格定理 4 Lusin 定理 魯津定理 三 證明題 請完整地寫出以下命題的證明 1 設(shè) f x是 上的實(shí)值函數(shù) 且 f x在 上的任一有限區(qū)間上都可 測 則 f x在 上也可測 2 設(shè) f x是 上的實(shí)值連續(xù)函數(shù) 則 f x是 上的 Lebesgue 可測函 數(shù) 3 設(shè) f xg x都是可測集 n E上的非負(fù)可測函數(shù)且 f xg xxE 用 A x表示集合A的特征函數(shù) 示性函數(shù) 證明函數(shù) f x g x F x tt是 1 E上的 可測函數(shù) 4 設(shè)E是 Lebesgue 可測集 n fx 12 n f x都是E上的 Lebesgue 可積函數(shù) 若lim n n fxf x xE 且lim d d n n EE fxxf xx 證明 nnn F xfxf xfxf x 在E上非負(fù)可測 5 若RnE 是 可 測 集 f x為E上 的 可 測 函 數(shù) 1 RU 為 開 集 則 1 fUxE f xU 是可測集 6 若RnE 是 可測 集 f x為E上 的可 測函 數(shù) 1 RU 為G 型集 則 1 fUxE f xU 是可測集 7 若RnE 是 可 測 集 f x為E上 的 可 測 函 數(shù) 1 RF 為 閉 集 則 1 fFxE f xF 是可測集 8 若 f x為 1 R上的可測函數(shù) 1 RU 為F 型集 則 11 fUxRf xU 是可測集 可測函數(shù) 9 設(shè)RnE 是可測集 f x y為 1 RE 上的實(shí)函數(shù) 滿足 1 對xE f x y是關(guān)于y在 1 R上的連續(xù)函數(shù) 2 對 1 Ry f x y是關(guān)于x在E上的可測函數(shù) 證明 對于任何E上的實(shí)值可測函數(shù) g x F xf x g x也是E上的可測函數(shù) 10 若 f x是 1 R上的實(shí)值可測函數(shù) 則 g x tf xt 是 2 R上的可測函數(shù) 11 設(shè)E是 n 中的測度有限的可測集 若幾乎處處有限的可測函數(shù)列 n fx在E上 幾乎處處收斂于 f xf xa e 于E 試用 Egoroff 定理證明存在一列可測集合 1 2 k Ek使得在每個 k E上 n fx一致收斂于 f x 而 1 0 k k m EE 1