福建省南平市2020屆高三數學畢業(yè)班第一次綜合質量檢測試題 文（PDF）.pdf

南平市 2019 2020 學年高中畢業(yè)班第一次綜合質量檢查 文文 科科 數數 學學 滿分 滿分 150 分分考試時間 考試時間 120 分鐘 分鐘 出題意圖 總體指導思想是由于是第一次綜合質量檢測 以考查基礎知識和基礎能力為主 考通性 通法 設置的題目兼顧到二類校學生的情況 容易和較容易題比例大 注意事項 1 本試卷分第 卷 選擇題 和第 卷 非選擇題 兩部分 2 答題前 考生務必將自己的姓名 準考證號填寫在答題卡上 3 全部答案答在答題卡上 答在本試卷上無效 4 考試結束后 將本試卷和答題卡一并交回 第第 卷卷 一一 選擇題選擇題 本大題共本大題共 12 小題小題 每小題每小題 5 分分 在每小題給出的四個選項中在每小題給出的四個選項中 只只 有一項是符合題目要求的有一項是符合題目要求的 1 已知集合 1 2 ax xbx x 則 r ba a 12 xxb 12 xxc 12 xxd 12 xx 解析 1 ra x x 21 r baxx 故選 b 考查意圖 本題以集合為載體 考查補集與交集等知識 考查運算求解能力 考查數學運 算核心素養(yǎng) 2 若復數 i i a 1 z為純虛數 則實數a的值為 a 2b 1c 1 d 2 解析 i ii 1 2 1 2 1 2 1aaa a z i i 由已知01 a且 01 a 解得1 a 故選 b 考查意圖 本題以復數為載體 考查復數的概念和復數的除法運算等知識 考查運算求解 能力 考查數學運算核心素養(yǎng) 3 已知 1 ln2 a 1 ln 2 b 1 2 ec 其中e為自然對數的底數 則 a cab b acb c bca d cba 解析 1 1 ln2 a 1 ln0 2 b 1 2 0e1c 可得 bca 故選 b 考查意圖 本題以對數 指數為為載體 考查對數 指數的運算及比較大小等知識 考查 運算求解能力 考查數學運算核心素養(yǎng) 4 已知平面向量a 與b 滿足 3 1 a 4b 且 2 aba 則ab a 2b 3c 4d 5 解析 由 22 1 3 2a 又 2 aba 得 2 2 2220abaaa ba b 1a b 222 22244abaa bb 故選 c 考查意圖 本題以平面向量為載體 考查平面向量的坐標運算 模及數量積運算等知識 考查運算求解能力 考查數學運算核心素養(yǎng) 5 一個盒子中裝有 4 個大小 形狀完全相同的小球 其中 1 個白球 2 個紅球 1 個黃球 若從中隨機取出 1 個球 記下顏色后放回盒子 均勻攪拌后 再隨機取出 1 個球 則兩次取 出小球顏色不同的概率是 a 5 8 b 1 8 c 5 6 d 1 6 解析 基本事件為共 16 個 兩次取出小球顏色相同的事件有 6 個 所以 兩次取出小球 顏色相同的概率是 63 168 兩次取出小球顏色不同的概率是 35 1 88 故選 a 考查意圖 本題以古典概型為載體 考查用列舉法求基本事件的總數 對立事件概率等知 識 考查運算求解能力 邏輯推理能力 考查直觀想象 邏輯推理 數學運算核心素養(yǎng) 6 已知橢圓 0 1 2 2 2 2 ba b y a x e過點p 2 3 2 2 橢圓e的離心率為 2 2 則橢圓e的焦距為 a 1b 2c 2d 22 解析 由已知得 a c 2 2 1 4 3 2 1 22 ba 又 222 c b a 聯(lián)立解得12 c a b 1 因此焦距為 2 故選 b 考查意圖 本題以橢圓為載體 考查橢圓及其幾何性質等知識 考查運算求解能力 邏輯 推理能力 考查化歸與轉化思想 數形結合思想 函數與方程思想 考查直觀想象 邏輯推 理 數學運算核心素養(yǎng) 7 已知函數 3sin2cos2f xxx 把函數 f x的圖象沿 x 軸向左平移 6 個單位 得到 函數 g x的圖象 下列關于函數 g x的說法正確的是 a 在 2 上是減函數b 在區(qū)間 2 63 上的值域為 1 1 c 函數 g x是奇函數d 其圖象關于直線 2 x 對稱 解析 2sin 2 6 f xx 2sin 2 2sin 22cos2 662 g xxxx g x是偶函數 在 2 上不單調 在區(qū)間 2 63 上的值域為 2 1 其圖像關于直線 2 x 對稱 故選d 考查意圖 本題以三角函數為載體 考查三角函數圖象變換與性質等知識 考查運算求解 能力 邏輯推理能力 考查化歸與轉化思想 數形結合思想 考查直觀想象 邏輯推理 數 學運算核心素養(yǎng) 8 宋元時期數學名著 算學啟蒙 中有關于 松竹并生 的問題 松長六尺 竹長兩尺 松日自半 竹日自倍 何日竹逾松長 右圖是解決此問題的一個程序框圖 其中a為松長 b為竹長 則輸出的n a 5b 3c 4d 2 解析 n 1 時 a 9 b 4 n 2 時 a 13 5 b 8 n 3 時 a 20 25 b 16 n 4 時 a 30 375 b 32 此時輸出 n 4 故選c 考查意圖 利用程序框圖的順序結構 循環(huán)結構 結合實際問題的 已知條件求出輸出的 n 的值 考查程序框圖的三種基本邏輯結構及應 用 考查學生的文化素養(yǎng)和計算能力 9 函數 2 xx xx xf cos sin 在 上的圖像大致為 a b c d 解析 xf為奇函數 排除 b c 當 x0時 0 xf 排除 d 故選 a 考查意圖 本題以函數的大致圖像為載體 主要考查從函數的奇偶性判斷圖像的對稱性和 從函數取值判斷圖像的變化趨勢等知識 考查運算求解能力 推理論證能力 考查數形結合 思想 考查邏輯推理 直觀想象核心素養(yǎng) 10 給出下列四個命題 0 xn 使得 0 sin1 2 x 0a 是 2 10axax 恒成立的充分條件 函數 ln x f x x 在點 1 e e 處不存在切線 函數 2 9lnf xxx 存在零點 其中正確命題個數是 a 1b 2c 3d 4 解析 0 1x sin1 2 正確 2 10axax 恒成立 需0a 或 2 0 40 a aa 解 得 40a 錯誤 函數 ln x f x x 在點 1 e e 處切線方程為 1 e y 錯誤 函數 2 9lnf xxx 1 10f 3 9ln390f 1 3 0ff 所以 f x在 1 3存在零點 正確 故選 b 考查意圖 本題以充分條件 簡易邏輯 函數導數的應用等知識為載體 主要考查不等式 恒成立 函數導數的幾何意義 函數零點的判斷等知識 考查運算求解能力 推理論證能力 考查數形結合思想 考查邏輯推理 直觀想象核心素養(yǎng) 11 在abc 中 0 120abc d是線段ac上的點 0 30dbc 若abc 的面積為 2 3 則bd的最大值是 a 2b 3c 5d 6 解析 由 1 2 3sin120 2 ac 得8ac 因為 abcabdbcd sss 即 11 2 3sin90sin30 22 bdcbda 得 8 38 3 3 28 bd ac 當且僅當2ac 時 即4 2ac 時 bd取到最大值是3 故選 b 設計意圖 本題以三角形為載體 考查學生運用三角形面積公式的綜合能力 并能運用基 本不等式求最值 考查運算求解能力 邏輯推理能力 考查化歸與轉化思想 數形結合思想 考查直觀想象 邏輯推理 數學抽象核心素養(yǎng) 12 已知定義在r上的連續(xù)函數 f x滿足 4 f xfx 且 2 0f fx 為函數 f x的導函數 當2x 時 有 0f xfx 則不等式 0 x f x 的解集為 a 0 6 b 2 0 c 2 d 2 0 6 解析 構造函數 2 x g xe f xx 則 0 xxx g xe f xe fxef xfx g x 在 2 單調遞增 2 2 2 0gef 當 2 x 時 0g x 當 2 2 x 時 0g x 又0 x e 當 2 x 時 0f x 當 2 2 x 時 0f x 又 f x滿足 4 f xfx f x圖象關于直線2x 對稱 當 2 6 x 時 0f x 當 2 6 x 時 0f x 不等式 0 x f x 可化為 0 0 x f x 或 0 0 x f x 可解得 2 0 6 x 故選 d 考查意圖 本題以函數性質 導數的應用等知識為載體 主要考查函數的對稱性 函數導 數應用于判斷函數單調性 解不等式等知識 考查運算求解能力 推理論證能力 考查數形 結合思想 考查邏輯推理 直觀想象核心素養(yǎng) 第第 卷卷 本卷包括必考題和選考題兩部分 第 13 第 21 題為必考題 每個試題考生都必須作答 第 22 23 題為選考題 考生根據要求做答 二 填空題 本大題共二 填空題 本大題共 4 小題 每小題小題 每小題 5 分分 13 已知 2 cos 44 則sin2 解析 由sin2cos 2 cos 2 24 22 23 2cos12 1 444 考查意圖 本題以三角恒等變換公式為載體 考查學生運用角的變換的綜合能力 考查運 算求解能力 邏輯推理能力 考查化歸與轉化思想 考查直觀想象 邏輯推理 數學運算核 心素養(yǎng) 14 已知數列 n a是公差為2 的等差數列 若 2 1a 5 1a 6 1a 成等比數列 則 8 a 解析 2 526 1 11aaa 即 2 111 41 151adadad 得 1 10a 又2d 8 4a 考查意圖 本題以等差數列 等比數列為載體 考查學生運算求解能力 邏輯推理能力 考查化歸與轉化思想 考查直觀想象 邏輯推理 數學運算核心素養(yǎng) 15 已知直三棱柱 111 abc a bc的高為2 3 3bc 0 120bac 則該三棱柱外接球 的表面積為 解 底面外接圓半徑為1 2sin bc r a 外接球的半徑 222 1 1 134 2 rraa 外接球 的表面積為 2 416r 考查意圖 考查余弦定理 正弦定理的應用 考查柱體體積 球的表面積計算公式 考查 三棱柱與其外接球的結構關系 考查學生的計算能力 空間想象能力 16 已知點 12 f f分別為雙曲線 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x c的左 右焦點 a為直線 ax 3 4 與雙曲線c的一個交點 若點a在以 12 ff為直徑的圓上 則雙曲線c的離心率為 解 設 4 3 a ay 代入1 2 2 2 2 b y a x 化簡得 22 9 7 by 由已知得afaf 21 由向量知 識得 2 9 7 3 4 3 4 bcaca 又 222 cba 整理得 2 7 2 2 a b 則c的離心率 2 23 2 7 1 e 考查意圖 本題以雙曲線為載體 主要考查直線 雙曲線及其幾何性質等知識 考查運算 求解能力 推理論證能力 考查化歸與轉化思想 數形結合思想 函數與方程思想 考查邏 輯推理 直觀想象 數學運算核心素養(yǎng) 三 解答題 解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟三 解答題 解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟 17 本小題滿分 12 分 國家大力提倡科技創(chuàng)新 某工廠為提升甲產品的市場競爭力 對生產技術進行創(chuàng)新改造 使 甲產品的生產節(jié)能降耗 以下表格提供了節(jié)能降耗后甲產品的生產產量x 噸 與相應的生產 能耗y 噸 的幾組對照數據 x 噸 4567 y 噸 2 5344 5 1 請根據上表提供的數據 用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程axby 2 1 2 1 xbya xnx yxnyx b n i i n i ii 2 已知該廠技術改造前生產 8 噸甲產品的生產能耗為 7 噸 試根據 1 求出的線性回歸 方程 預測節(jié)能降耗后生產 8 噸甲產品的生產能耗比技術改造前降低多少噸 17 本小題滿分 12 分 解析 1 5 3 4 5 4435 2 5 5 4 7654 yx 2 分 5 805 4746355 24 4 1 i iiy x 4 分 1267654 2222 4 1 2 i i x 5 分 7 0 5 54126 5 35 545 80 4 4 2 2 4 1 2 4 1 xx yxyx b i i i ii 7 分 35 05 57 05 3 xbya 8 分 35 07 0 xy所求的回歸方程為 9 分 2 把8 x代入回歸方程可預測相應的生產能耗是 噸25 535 087 0 y 10 分 7 5 25 1 75 噸 11 分 所以 預測生產 8 噸甲產品的生產能耗比技術改造前降低 1 75 噸 12 分 考查意圖 本題以統(tǒng)計為載體 主要考查線性回歸方程等知識 考查運算求解能力 推理 論證能力 考查邏輯推理 直觀想象 數學運算 數據分析核心素養(yǎng) 18 本小題滿分 12 分 已知等比數列 n a的前n項和為 n s 且21 n n saar nn 1 求數列 n a的通項公式 2 設 1 1 n n nn a b s s 求數列 b n 的前n項和 n t 18 本小題滿分 12 分 解析 1 方法一 當1n 時 11 21asa 1 分 當2n 時 1 1 2n nnn assa 3 分 因為 n a是等比數列 所以 1 21aa 滿足 式 所以21aa 即1a 5 分 因此等比數列 n a的首項為 1 公比為 2 所以等比數列 n a的通項公式是 1 2n n a 6 分 方法二 當1n 時 11 21asa 1 分 當2n 時 1 1 2n nnn assa 3 分 于是 23 2 4aa aa 由已知得 2 213 aa a 解得10 aa 或舍去 5 分 因此等比數列 n a的首項為 1 公比為 2 于是等比數列 n a的通項公式是 1 2n n a 6 分 2 由 1 知21 n n s 8 分 則 1 1 n n nn a b s s 即 1 1 211 21212121 n n nn nn b 10 分 所以 12 1 1111111 1 3377152121 nn nn tbbb 所以 1 1 1 21 n n t 12 分 方法二 11 1 11 11 nnn n nnnnnn ass b s ss sss 8 分 于是 12 122334111 1111111111 nn nnn tbbb ssssssssss 10 分 由 1 知21 n n s 于是 1 1 1 21 n n t 12 分 考查意圖 本題以等比數列為載體 考查學生求數列通項公式的方法 數列前 項和的方 法 考查學生運算求解能力 邏輯推理能力 考查化歸與轉化思想 考查直觀想象 邏輯推 理 數學運算核心素養(yǎng) 19 本小題滿分 12 分 如圖 在幾何體 abc a1b1c1中 四邊形 abb1a1為矩形 aa1 cc1 且 aa1 2cc1 e 為 ab1的中點 1 求證 ce 平面 a1b1c1 2 若平面 abb1a1 平面 abc ab bc ab bc cc1 2 求三棱錐 e acc1的體積 19 解析 本小題滿分 12 分 1 證明如圖 取 a1b1中點 f 連接 ef fc1 e 為 ab1中點 ef a1a 且 ef 1 2a 1a 2 分 aa1 cc1且 aa1 2cc1 ef cc1且 ef cc1 即四邊形 efc1c 為平行四邊形 ce c1f 4 分 111 ceabc 平面 1111 c fabc 平面 ce 平面 a1b1c1 6 分 2 平面 ab b1a1 平面 abc 交線為 ab 又矩形 ab b1a1中 a a1 ab aa1 平面 abc 8 分 aa1 cc1 cc1 平面 abc 9 分 bb1 cc1 111 bbcac 平面 111 cccac 平面 bb1 11c ac平面 10 分 11111 111 222 eaccbaccb acccabc vvvv 11 分 1112 222 2323 12 分 考查意圖 考查直線與平面平行 垂直的位置關系 考查平面與平面垂直的性質 錐體體 積計算公式 考查學生的空間想象能力 邏輯推理能力 計算能力 考查化 歸轉化的數學思想 20 本小題滿分 12 分 已知拋物線 cxy4 2 拋物線c的準線為l 焦點為f a點位于第一象限內且在拋物 線c上運動 直線ao o為坐標原點 交l于b點 直線bf交拋物線c于ed 兩點 m為線段de中點 1 若af 5 求直線fb的方程 2 試問直線am的斜率是否為定值 若是 求出該值 若不是 說明理由 20 解析 本小題滿分 12 分 1 拋物線 cxy4 2 的準線為1x 焦點為f 1 0 2 分 由af 5 及拋物線定義得a點橫坐標為 4 3 分 由a點位于第一象限內且在拋物線 cxy4 2 上得a點坐標為 4 4 4 分 于是 oa k 1 則直線oa的方程為xy 與準線1x 聯(lián)立解得 b 1 1 5 分 因此 bf k 2 1 所以直線fb的方程為 2 1 2 1 x y 即210 xy 6 分 說明 若通過幾何法或其它方法得出 bf k 2 1 oa k 2 1 然后再求直線方程也一樣給分 2 由已知直線oa的斜率存在 設直線oa的方程為ykx 與準線1x 聯(lián)立解得b k 1 于是 2 k kbf 7 分 由已知0k 故設直線fb的方程為1 2 y k x 與xy4 2 聯(lián)立并消去x得 04 8 2 k yy 8 分 由于 2 64 160 k 設 1122 d x ye xy 則 k 8 21 yy 則 212 16 2xx k 9 分 由于m為線段de中點 于是m點坐標為 2 84 1 kk 10 分 直線oa的方程 0 kkxy 與xy4 2 聯(lián)立解得a kk 4 4 2 11 分 所以直線am的斜率為 0 綜上可知直線am的斜率為定值 0 12 分 考查意圖 本題以直線 拋物線為載體 考查直線 拋物線及其幾何性質 直線與拋物線 位置關系等知識 考查運算求解能力 推理論證能力 考查化歸與轉化思想 數形結合思想 函數與方程思想 考查直觀想象 邏輯推理 數學運算核心素養(yǎng) 21 本小題滿分 12 分 已知函數 ln a f xx x 其中ar 1 試討論函數 xf的單調性 2 若1a 試證明 ecos x x f x x 20 本小題滿分 12 分 解析 1 由 22 1 axa fx xxx 0 x 知 1 分 i 若0a 2 0 0 xa fxx x xf在區(qū)間 0 上為增函數 2 分 ii 若0a 當 x 0 a時 有 0fx xf在區(qū)間 0 a上為減函數 當 x a 時 有 0fx xf在區(qū)間 a 上為增函數 4 分 綜上 當0a 時 xf在區(qū)間 0 上為增函數 當0a 時 xf在區(qū)間 0 a上為減函數 xf在區(qū)間 a 上為增函數 5 分 2 若1a 則 1 ln 0 f xxx x 要證 ecos x x f x x 只需證ln1 ecos x xxx 即證 ln ecos1 x xxx i 當01x 時 ln0 xx 而ecos1 1cos1 1cos10 x x 此時 ln ecos1 x xxx 6 分 ii 當1x 時 令 ecosln1 x g xxxx 0 x 7 分 esinln1 x g xxx 8 分 設 esinln1 x h xg xxx 則 1 ecos x h xx x 1x 1 ecose1 10 x h xx x 9 分 當1x 時 h x單調遞增 1 esin1 10h xh 即 0g x g x在 1 單調遞增 1 ecos1 10g xg 10 分 即 ecosln10 x g xxxx ln ecos1 x xxx ecos x x f x x 11 分 綜上 當0 x 時 有 ecos x x f x x 12 分 考查意圖 本題以函數導數的應用知識為載體 主要考查函數導數應用于判斷函數單調性 證明不等式等知識 考查運算求解能力 推理論證能力 考查分類討論思想 構造新函數思 想方法 考查邏輯推理核心素養(yǎng) 請考生在第 22 23 二題中任選一題作答 注意 只能做所選定的題目 如果多做 則按所做 第一個題目計分 做答時請用 2b 鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑 22 本小題滿分 10 分 選修 4 4 坐標系與參數方程 在平面直角坐標系xoy中 以原點o為極點 以x軸正半軸為極軸 建立極坐標系 直線l 的極坐標方程為 2 cos 1 4 曲線c的參數方程為 2 cossin cossin x y 為 參數 ba 為直線l上距離為 2 的兩動點 點p為曲線c上的動點且不在直線l上 1 求曲線c的普通方程及直線l的直角坐標方程 2 求pab 面積的最大值 解析 法一 直線l的極坐標方程1 4 cos2 化成1sincos sin cos yx 直線l的直角坐標方程為01 yx 2 分 曲線c的參數方程化成 為參數 sincos sincos 2 y x 平方相加得2 4 2 2 y x 即1 28 22 yx 5 分 2 設點p sincos sin2cos2 則p到直線l的距離為 2 1sincos3 d 2 1 sin 10 8 分 max 2 5 2 d 9 分 設pab 的面積為s 則 2 2 5 2 1 max abs 2 2 5 10 分 法二 也可設點p sin2 cos22 23 本小題滿分 10 分 選修 4 5 不等式選講 已知函數 2