相識燕歸來總把新題換舊符--2014年江蘇省高考數(shù)學(xué)試.pdf

似曾相識燕歸來 總把新題換舊符 年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷評析 易姍咪 華志遠(yuǎn) 江蘇省無錫市第一中學(xué) 年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷基本保持了 年 的命題風(fēng)格 即試卷結(jié)構(gòu)穩(wěn)定 突出雙基 注重能力 控制難度 多題把關(guān) 是一份利于選拔 導(dǎo)向正確 內(nèi) 涵豐富 信效度好的試卷 試卷的取材既有源于教 材的改編題 又有命題組原創(chuàng)的特色試題 按照題目 的復(fù)雜程度 能力要求和解題難度合理編排 從而使 考生的心理狀態(tài)平和 有利于各類思維層次學(xué)生的 臨場發(fā)揮 試題會讓老師感到 教數(shù)學(xué)不僅僅是教 知識與技能 還要把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性 感悟數(shù)學(xué)思 想方法的統(tǒng)攝作用 優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì) 試題會讓 學(xué)生感到學(xué)數(shù)學(xué)不僅僅是記公式 背套路 多做題 還要懂得數(shù)學(xué)的內(nèi)涵和實(shí)質(zhì) 并用聯(lián)系和發(fā)展的眼 光 看待不同知識 方法和思想之間的內(nèi)在聯(lián)系 養(yǎng) 成獨(dú)立思考 主動探索的良好習(xí)慣 本文試圖對本 次高考數(shù)學(xué)試卷的一些鮮明特點(diǎn)作些分析 供同行 參考研討 基礎(chǔ)試題顯平穩(wěn) 體現(xiàn)考教結(jié)合 年的試卷在結(jié)構(gòu) 題型 難易等方面整體 上保持平穩(wěn) 試題敘述清晰明了 親切自然 所有填 空題和解答題的前三題的情景都是學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí) 中遇見過的 同時(shí)具有很好的思考價(jià)值 每個(gè)試題的 判斷都需要有科學(xué)合理的知識背景 解決時(shí)只要用 通性通法即可完成求解 第 題 如圖 在平行四邊形犃 犅 犆 犇中 已 知犃 犅 犃 犇 犆 犘 犘 犇 犃 犘 犅 犘 則 犃 犅 犃 犇的值是 圖 分析 由于所求數(shù) 量積中的兩個(gè)向量是最 常見的 基向量 因此只 要把題設(shè)中的 犃 犘 犅 犘用 犃 犅 犃 犇表示出來 即 犃 犘 犃 犇 犃 犅 犅 犘 犃 犇 犃 犅 代入計(jì)算 即得 犃 犇 犃 犅 犃 犇 犃 犅 將條件中的數(shù)據(jù)代 入 得 犃 犅 犃 犇 點(diǎn)評 平面向量基本定理是研究向量的基礎(chǔ) 和依據(jù) 數(shù)量積又是高考的 級考查要求 命題者通 過基元思想將教材題有機(jī)串聯(lián)起來 檢測學(xué)生的逆 向思維和利用方程思想解決問題的能力 可謂順理 成章 渾然天成 第 題 若 犃 犅 犆的 內(nèi) 角 滿 足 犃 槡 犅 犆 則 犆的最小值是 分析 根據(jù)目標(biāo)會聯(lián)想到余弦定理 犆 犪 犫 犮 犪 犫 于是把條件通過正弦定理轉(zhuǎn)化為犪 槡 犫 犮 利用消元法 即將犮 犪 槡 犫 代入 得 犆 犪 犫 槡 犪 犫 犪 犫 槡 犪 犫 槡 犪 犫 犪 犫 槡 槡 當(dāng)且僅當(dāng)槡 犪 槡 犫時(shí)取等號 于是 犆 的最小值是槡 槡 點(diǎn)評 本題以三角形中的三角函數(shù)為背景 考 查學(xué)生利用正余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化的能力 同時(shí) 與消元法 基本不等式等有機(jī)結(jié)合 對學(xué)生解題的目 標(biāo)意識和轉(zhuǎn)化思想提出了合理的要求 但作為填空 題的壓軸題 本題的原創(chuàng)性略顯不足 它與一道經(jīng)典 題 已 知 犃 犅 犆的 三 邊 長犪 犫 犮成 等 差 數(shù) 列 求 犅的最小值 幾乎只有數(shù)據(jù)上的差異 知識交匯處融合 體現(xiàn)試題品位 年的試題注重不同知識模塊的相互融合 鏈接的方式和諧自然 多數(shù)題沒有生硬拼湊的痕跡 每個(gè)試題都很明確大氣地提出需要考生解決的問 題 從而為全體學(xué)生搭建了一個(gè)共同的思維平臺 考 生做不好 主要是由于對知識 方法和思想的領(lǐng)悟程 度還欠火候 而不是臨場發(fā)揮不佳 試題的品位還 體現(xiàn)在考查的內(nèi)容都是數(shù)學(xué)的主干知識 解題的方 法都是主流的核心方法 而不是冷僻素材和應(yīng)試技 巧 第 題 如圖 為了保護(hù)河上古橋 規(guī)劃建 一座新橋犅 犆 同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū) 規(guī)劃要求 新橋犅 犆與河岸犃 犅垂直 保護(hù)區(qū)的邊界為圓心犕在 線段犗 犃上并與犅 犆相切的圓 且古橋兩端犗和犃到 該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于 經(jīng)測量 點(diǎn) 犃位于點(diǎn)犗正北方向 處 點(diǎn)犆位于點(diǎn)犗正東方 年第 期 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 向 處 犗 犆為河岸 犅 犆 犗 圖 求新 橋犅 犆的 長 當(dāng)犗犕多 長 時(shí) 圓形保護(hù)區(qū)的面積 最大 分析 題設(shè)中 有犗 犃 犗 犆 結(jié)合距離 和角度的信息 應(yīng)該能 觸動學(xué)生思維的信息源 選擇坐標(biāo)化思想來突破 這 樣便能化繁為簡 事實(shí)上 求新橋犅 犆的長 關(guān)鍵是 求點(diǎn)犅的坐標(biāo) 而犅 犆的斜率為 故犃 犅的斜率 為 利用點(diǎn)斜式寫出這兩條直線的方程 聯(lián)立方程 組即可求得交點(diǎn)犅 于是犅 犆 提問中即給出了運(yùn)用函數(shù)思想的信息 即 圓犕的半徑狉是關(guān)于線段犗犕長犿 犿 的 函數(shù) 利用圓的切線性質(zhì) 點(diǎn)犕 犿 到直線犅 犆 狓 狔 的距離就是半徑狉 即狉 狘 犿 狘 犿 關(guān)鍵是求犿的范圍 由題設(shè)及圖形的性 質(zhì)得狉 犿 狉 犿 代入函數(shù)關(guān)系 可解得 犿 于是當(dāng)犗犕為 時(shí) 圓形保 護(hù)區(qū)的面積最大 點(diǎn)評 本題以古橋的保護(hù)為背景 具有較高遠(yuǎn) 的立意 也與去年的索道問題形成良好的照應(yīng) 求 解該題的方法很多 如坐標(biāo)法 三角法 向量法等 體 現(xiàn)了它們各自的工具作用 但坐標(biāo)法最容易想到 運(yùn) 算量也最小 并且直線和圓方程都是 級考查要求 函數(shù)思想也是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容和思想 把它們 在知識交匯處相互融合 體現(xiàn)了試題較高的品位 能力試題求變化 體現(xiàn)選拔功能 年的試卷在整體保持平穩(wěn)的基礎(chǔ)上 力求 有一些變化 尤其在把握概念的本質(zhì)屬性和運(yùn)用數(shù) 學(xué)思想方面提出了較高的要求 對學(xué)生的直覺判斷 類比聯(lián)想 抽象概括 探索證明等提出了挑戰(zhàn) 尤其 是設(shè)置了一些新穎的問題 以檢測學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能 第 題 已知函數(shù)犳 狓 狓 狓 其中 是 自然對數(shù)的底數(shù) 證明 犳 狓 是犚上的偶函數(shù) 若關(guān)于狓的不等式 犿 犳 狓 狓 犿 在 上恒成立 求實(shí)數(shù)犿的取值范圍 已知正數(shù)犪滿足 存在狓 使得 犳 狓 犪 狓 狓 成立 試比較 犪 與犪 的 大小 并證明你的結(jié)論 分析 本題的第 問是容易證明的 第 問不等式恒成立是當(dāng)前考試的熱點(diǎn) 即通過分離變 量 把不等式轉(zhuǎn)化為犿 狓 狓 狓 利用代換 變形及基本不等式 不難求得不等式右邊表示函數(shù) 的最小值為 故犿 第 問的題設(shè)是不 等式的存在性成立 解題方法上與恒成立類似 只是 最值的名稱上有區(qū)別 作函數(shù)犵 狓 狓 狓 犪 狓 狓 利用求導(dǎo)法得犵 狓 在 上 為增函數(shù) 故最小值是犵 犪 令犵 得犪 要直接比較 犪 與犪 的大小較 為困難 為此通過取對數(shù) 即只要比較 犪 犪 與 犪 犪 為此把犪看成自變量 作函數(shù) 犺 狓 狓 狓 通過求導(dǎo)可得出其單調(diào) 性和最小值是犺 由直覺犪 時(shí)兩者相等 驗(yàn) 證犺 犺 利用單調(diào)性即可分類得出其大小 關(guān)系 點(diǎn)評 只要學(xué)生解題有目標(biāo)意識 第 問的 函數(shù)是容易構(gòu)造出來的 求最值屬于中檔題要求 但 解決第 問的比較大小 考生則必須既具有良好 的觀察 聯(lián)想 想象等直覺發(fā)現(xiàn)能力 又要具備探索 演算和論證的抽象思維能力 本題中一些重要的數(shù) 學(xué)思想方法 如函數(shù)與方程 數(shù)形結(jié)合 分類討論 等 價(jià)轉(zhuǎn)化 尤其是分離變量法 換元法 求導(dǎo)法和構(gòu)造 法等對解題引領(lǐng)起到極其重要的作用 這對學(xué)生的 數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合素質(zhì)提出了很高的要求 體現(xiàn)了良 好的選拔功能 情景題分層要求 步步走向深入 年的新穎試題 注重情景設(shè)計(jì) 解答題每 道題都形成由淺入深 步步深入的 小問 從而 使每一道能力題分別形成三至四個(gè)不同的層次 第 一層次是基礎(chǔ)知識和推理論證的最低要求 第二層 次重在對知識和方法的綜合運(yùn)用 重在基本運(yùn)算能 力的要求 第三層次突出對知識和方法的靈活運(yùn)用 加大了分析和解決問題的思考力度 第四層次是考 查學(xué)生的探索 發(fā)現(xiàn) 想象 創(chuàng)造能力 檢測學(xué)習(xí)潛 能 第 題 設(shè)數(shù)列 犪狀 的前狀項(xiàng)和為犛狀 若對任 意正整數(shù)狀 總存在正整數(shù)犿 使得犛 狀 犪犿 則稱 犪狀 是 犎數(shù)列 若數(shù)列 犪狀 的前狀項(xiàng)和犛狀 狀 狀 犖 證 明 犪狀 是 犎數(shù)列 設(shè) 犪狀 是等差數(shù)列 其首項(xiàng)犪 公差犱 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 年第 期 近三年江蘇數(shù)學(xué)高考 級要求的考查及分析 李 明 江蘇省馬壩高級中學(xué) 江蘇省 年高考數(shù)學(xué)科考試說明中對知識 的考查要求依次分為了解 理解和掌握三個(gè)層次 分 別用 級 級和 級表示 其中需要掌握的層次 一共有 個(gè)知識點(diǎn) 這些知識點(diǎn)要求系統(tǒng)地掌握知 識的內(nèi)在聯(lián)系 并能解決綜合性較強(qiáng)的問題 下面就 這 個(gè) 級要求在近三年江蘇高考試卷中的體現(xiàn)以 及高考趨勢作一個(gè)簡單的歸納 分析 并針對高中教 學(xué)提出幾點(diǎn)建議 對 個(gè)犆級要求的歸納 分析 兩角和 差 的正弦 余弦及正切 表 兩角和 差 的正弦 余弦及正切 在高考中的分布情況 年份題目分布所占分值試卷占比難易度 中檔 基礎(chǔ)題 基礎(chǔ)題 基礎(chǔ)題 這個(gè)知識點(diǎn)在近三年的高考中多以基礎(chǔ)題形式 出現(xiàn) 偶有中檔題 如 年第 題 考題位置大 多在解答題的第 題 如 年和 年 在解答 題中往往會結(jié)合三角形其他的知識點(diǎn)或者向量的知 識點(diǎn)一起考查 如果放在三角形中 會涉及到正 余 弦定理以及誘導(dǎo)公式 二倍角公式等 如果結(jié)合向量 的知識 會在考查向量的數(shù)量積的同時(shí)加入兩角和 差 的正弦 余弦及正切的考查 總體上難度都不大 從該知識點(diǎn)在近三年的考 試所占比重中可以看出高考對這個(gè)基礎(chǔ)知識點(diǎn)的重 視 尤其是今年第 題直接考查兩角和 差 的正余 弦公式 其中也涉及到二倍角公式 所以課堂教學(xué)中 應(yīng)重視這個(gè)考點(diǎn)的講授和復(fù)習(xí)工作 平面向量的數(shù)量積 表 平面向量的數(shù)量積在高考中的分布情況 年份題目分布所占分值試卷占比難易度 基礎(chǔ)題 基礎(chǔ)題 中檔題 這個(gè)考點(diǎn)在近三年的高考解答題和填空題中都 有出現(xiàn) 考查難度為基礎(chǔ)題和中檔題 考題位置也大 多在解答題的第 題或者填空題的前 題 檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶 考查的 若 犪狀 是 犎數(shù)列 求犱的值 證明 對任意的等差數(shù)列 犪狀 總存在兩個(gè) 犎數(shù)列 犫狀 和 犮狀 使得犪狀 犫狀 犮狀 狀 犖 成 立 分 析 第 問應(yīng)注意犪 犛 狀 時(shí) 犪狀 犛狀 犛狀 狀 狀 狀 犛狀 得證 第 問考慮 從特殊到一般 犪 犛 由題意存在正整數(shù)犿 使?fàn)?犪犿 即 犱 犿 犱 犿 犱 因犱 故犿 犿 得犱 此時(shí)犪狀 狀 犛狀 狀 狀 無論狀是奇數(shù)還是偶數(shù) 犛狀都是小于 的整數(shù) 于是總存在正整數(shù)犿 犛 狀 使得犛狀 犪犿 故 犪狀 是 犎數(shù)列 于是犱 第 問應(yīng)采用 構(gòu)造法 犪狀 犪 狀 犱 但非零常數(shù)列不是 犎數(shù) 列 考慮最簡單的情形 數(shù)列 狀 和 狀 是 犎數(shù) 列 于是把通項(xiàng)改造為犪 狀 狀 犪 狀 犱 犪 于是令犫 狀 狀 犪 犮狀 狀 犱 犪 它們都是 犎數(shù) 列 得證 點(diǎn)評 本題三問的能力要求逐級提高 第 問屬于基本要求 第 問解題必須具有辯證的意 識 才能使運(yùn)算和推理合理簡潔 第 問只有那些 既敢于探索發(fā)現(xiàn) 大膽想象 又具備良好思維品質(zhì)和 數(shù)學(xué)素養(yǎng)的優(yōu)秀學(xué)子 才能使創(chuàng)造性思維得以展示 自新課程實(shí)施以來 江蘇高考數(shù)學(xué)試卷的難度 總體上趨于平穩(wěn) 學(xué)生在解答多數(shù)試題的過程中 能獲得一定的成就感 從而使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的自 然 簡潔 明了 和諧 對稱 奇異和富有哲理之美 一些應(yīng)用題 情景題 探究題成為新課程改革的 風(fēng) 向標(biāo) 成