老教材線段角大節(jié)精析.doc

初中數(shù)學(xué)初中數(shù)學(xué) 經(jīng)典教材系列 老人教版初中幾何第一冊第一章 線段、角一、教法建議拋磚引玉 學(xué)生初次接觸到幾何這一獨立的的課程.不少學(xué)習(xí)過幾何的人感到幾何難學(xué),其實幾何不難學(xué). 從內(nèi)容上看, 幾何學(xué)習(xí)不單純停留在數(shù)量關(guān)系方面，而要兼顧數(shù)量和圖形兩個方面，重點研究圖形的性質(zhì)；就思維方法而言，要求較高的邏輯思維能力，所以一開始就要指導(dǎo)學(xué)生正確的學(xué)習(xí)方法，從生活實際抽象出幾何圖形，掌握圖形性質(zhì)，建立幾何語言，培養(yǎng)邏輯思維能力.指點迷津 直線、射線、線段是平面幾何最基本的圖形，要嚴格區(qū)分這三個概念. 畫圖，表示的應(yīng)該準確無誤，學(xué)習(xí)時要先理解后畫圖，并熟悉畫圖工具的使用.角和角的有關(guān)概念，是平面幾何中最重要的基本概念. 課本上用兩種方法講述了角的概念. 首先要搞清角的定義，它指出了角的兩個基本屬性：（1）兩條射線；（2）兩條射線必須有公共點. 由此可知，角的大小與邊的長短無關(guān)，且為正確表示角提供了基礎(chǔ). 課本上還利用運動的觀點，根據(jù)角的形成講述了另一個定義，為平角和周角的形成提供了條件. 關(guān)于定義、公理的教學(xué). 平面幾何是研究平面圖形性質(zhì)的學(xué)科. 圖形性質(zhì)是用定義、公理和定理的形式描述的. 定義是從原始概念（不定義的概念）開始的，定理是以公理為基礎(chǔ)推銜的. 定理是需要推理論證的，但由于知識的限制，不能過早的出現(xiàn)，因而先出現(xiàn)定義和公理，以便學(xué)生即早的了解學(xué)習(xí)幾何的基本內(nèi)容. 學(xué)習(xí)開始就要注意把概念的文字語言、幾何圖形和字母符號表達結(jié)合起來，從這三方面來理解概念訓(xùn)練學(xué)生（1）根據(jù)幾何語言畫出相應(yīng)的圖形來，（2）依據(jù)圖形的字母寫出幾何符號表示的數(shù)量關(guān)系；（3）能依據(jù)圖形和幾何符號表達式的關(guān)系，翻譯成文字語言. 二、學(xué)海導(dǎo)航入門導(dǎo)引 學(xué)會幾何語言. 幾何的文字語言有它的獨立風(fēng)格，如“點在直線上”，“延長至，使”“反向延長”“順次截取”“有且只有”等等. 這些語言可分兩類，一類是從學(xué)習(xí)幾何圖形的定義和性質(zhì)中來；一類是從畫幾何圖形的動作中來，因而對幾何圖形性質(zhì)的描述詞句，要一一認真理解其定義，并學(xué)會應(yīng)用；對動作語言，要在畫圖中學(xué)習(xí)，邊想、邊畫、邊敘述. 學(xué)會畫圖和認圖. 畫圖要力求正確、整潔、美觀. 首先要學(xué)會使用畫圖工具，如直尺、圓規(guī)和量角器. 畫直線要直，畫直角要成90，這是學(xué)好幾何的基本功，作業(yè)要認真仔細，不能涂涂抹抹. 學(xué)會看圖也很重要. 辨認圖形要根據(jù)圖形的定義，不能想當(dāng)然. 如下圖. （1） 哪條線是直線？（2）哪個角是鈍角？l1、l2、l 3都是是直線，l1是標準位置下的直線，相對于標準位置的直線，可稱作“變式”圖形. l1、l2、l3都是鈍角，l1是標準位置下的圖形，l2、l3是相對于標準位置下的“變式”圖形. 經(jīng)?？偨Y(jié)對比. 總結(jié)、比較是學(xué)好知識的重要方法，學(xué)習(xí)幾何也不例外. 開始學(xué)習(xí)幾何概念比較多，且有相似或相近的概念，這樣用比較法區(qū)分它們的異同，有助于學(xué)好幾何知識. 如：直線、射線、線段；周角、平角、鈍角、直角、銳角；互為余角、互為補角；兩點間的距離，點到直線的距離等等. 掌握幾何圖形的文字敘述語言、圖形和符號表示的三位一體. 如：角的定義敘述為，有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角. 圖形 表示：AOB或1 思維基礎(chǔ)I 直線、射線、線段概念直線射線線段AB aOALA BL圖形畫法及表示法過A、B兩點畫直線AB或直線L，直線AB或直線L畫射線OA射線OA射線L連結(jié)AB線段AB或線段a端點無一個兩個延長線無可向一方延長可向兩方延長基本性質(zhì)兩點確定一條直線，兩條直線相交只有一個交點兩點之間線段最短II 角精典解題思維訓(xùn)練: 選擇填空圖中，圓周上有5個點，過每兩點畫一條直線，共可以畫_條直線，這些直線在圓中有_個交點. 揭示思路：過兩點可以畫幾條直線？兩條直線相交有幾個交點？根據(jù)公理“過兩點有且只有一條直線”，又根據(jù)直線的性質(zhì)，每兩條直線相交，只有一個交點，所以圖中可以畫. AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE；CD、CE；DE共10條. 交點有A、B、C、D、E；F、G、H、M、N共10個. 思維訓(xùn)線練3 選擇填空一個銳角的余角，是這個銳角的補角的，這個銳角是（ ）（A）22.5 （B）67.5 （C）36 （D）72揭示思路：題目中說了幾種角？題目中敘述了幾個角的關(guān)系？什么是銳角？什么是互余的角？什么是互補的角？題目中說了三個角，一個銳角和它的余角，這個余角的補角. 為了說明它們的相互關(guān)系，可設(shè)這個銳角為，它的余角為，這個余角的補角為. 則有下述關(guān)系：+=90+=180= 解得 =67.5故應(yīng)選擇（B）思維訓(xùn)練4 選擇填空畫一個鈍角AOB，然后以O(shè)為頂點，以O(shè)A為一邊，在角的內(nèi)部畫一條射線OC，使AOC=90.根據(jù)上述題目要求，畫出了下列四個圖形. 請問哪個圖形符合題目的要求. 正確答案是（ ） 揭示思路：什么是角？什么是鈍角？什么是角的頂點？什么是角的邊？90的角是什么角？明確上述概念后，逐一用題目要求的條件去衡量.（A）射線OC作到了AOB的外部了.（B）90角作成了以O(shè)B為一邊了，則AOC90.（C）射線OC作到AOB的外部了，又90角以O(shè)B為一邊了.（D）符合條件.應(yīng)選擇（D）錯例研究思維訓(xùn)練1 下列說法錯在什么地方.（1）延長射線OP；（2）畫一條長5cm的直線；（3）一條直線上從左至右依次有A、B、C三個點，則射線AC比射線BC長；（4）直線可看成平角；（5）補角是余角的2倍.揭示思路：直線、射線、線段各有什么特征？什么是平角？什么是互余的角？什么是互補的角？上述5個說法都是錯誤的.根據(jù)直線、射線、線段的特征和屬性，可以規(guī)納為：直線沒有端點，向兩方無限延伸；射線有一個端點，向一方無限延伸，它們的長度都不能度量，不能比較長短，直線不能延長. 所以（1）（2）（3）都不正確.只有線段可以延長，可以度量，可以比較長短，射線只能向一方延長.角與直線、射線的意義不同. 一條直線不是一個平角，平角是有公共端的兩條射線組成的，兩條射線恰好在一條直線上，直線不是兩條射線，它也沒有端點.單獨說一個角是余角，是補角是沒有意義的. 互余的角和互補的角說的是兩個角的關(guān)系.如果兩個角互為余角時，一個角是另一個角的余角. 兩個角互為補角時，一個角是另一個角的補角. 所以說“補角是余角的兩倍”是錯誤的.思維訓(xùn)練2 下面畫圖是錯誤的，正確的應(yīng)該怎么畫.已知線段a、b、c（a b）畫一條線段等于a - b + c.揭示思路： 畫一條線段等于已知線段 a，怎樣畫？畫一條線段等于兩條已知線段a，b的和，怎么畫？畫一條第線段等于兩條已知線段 a、b（a b ）的差，怎樣畫？畫一條線段等于已知線段a. 畫一條射線AC，在射線AC上用圓規(guī)截取AB= a . AB就是所要求畫的線段. 已知線段a 畫一條線段等于兩條已知線段a、b的和.畫一條直線，在直線上畫一條線段AB= a，再在AB的延長線上畫線段BC= b，線段AC= a + b. 畫一條線段等于兩條已知線段a、b（ a b）的差.在直線上畫線段AB = a , 再在線段AB上畫線段AC或BC等b. BC或AC就是所要求的線段. BC= a - b AC = c - b 本例 a - b + c正確的畫圖是 a + c - b 即CD = a + c - b = a - b + c . 為所要求的線段.減去的線段要從整體線段的一端去減，不能從中間去減.創(chuàng)新園地 將兩塊直角三角板疊在一起，使直角的頂點重合于O（如圖）（1）AOB + DOC 是多少度？能確定嗎？ （2）AOD與COB 是什么關(guān)系？ （3）AOB與DOC 是什么關(guān)系？三、智能顯示心中有數(shù) 本章概念多，它又是以后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，要注意培養(yǎng)概括、閱讀和表達能力，需要注意檢查的概念有：有關(guān)直線的公理和性質(zhì)，有關(guān)線段的公理，角和角的分類，線段中點和角平分線等.動手動腦 1. 下列關(guān)系式與圖形所表示的條件，不相符的是（ ）.（A）AB + CB = AD - BC （B）AC + CD = AB - BD（D）AB - CD = AC + BD（D）AD - AC = CB - DB2. 平面內(nèi)有兩兩相交的三條直線，如果說最多有m個交點，最少有n個交點.那么m-n的值是（ ）.（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 3. 從點O發(fā)出的5條射線，可以組成的角最多有（ ）.（A）4個 （B）5個 （C）7個 （D）10個4. C是線段AB的中點，D是線段BC的中點，下列式子不正確的是（ ）. （A）CD = CB （B）AB = 2AC （C）BD = AB （D）CD = AB - BD 5. 已知線段a、b、c（ a b），畫一條線段等于： （1）2 a - b （2）2 ( a - b ) 6. 已知線段AB = 18 cm，M是AB中點，C是AB上一點，且AC = 5BC， 求MC的長. 7. 若A與B互為補角，且A：B = 1：2，求A - B的度數(shù). 8. AOC = 30，BOC = 120，OD平分AOC， OE平分BOC， 求EOD的度數(shù).參考答案：1. A 2. B 3. D 4. D 5. 略 6. 6 cm 7. 20 8. 75 四、同 步 題 庫 一、填空題 1. 長度，叫做兩點間距離. 2. 和 都是直線的一部分. 3.已知AB=a厘米，CD=b厘米，若a=b，則AB CD,若ab，則AB CD，若CDAB，a b. 4.已知線段AB=8，延長AB到C，使AC=3AB，M、N為AB、BC的中點，則NM= . 5.角可以看成一條 繞著一個端點從一個位置 另一個位置所成的圖形. 6.兩角的 這兩個角叫互為補角， 的補角相等. 7.如圖1-10，用三種方法分別表示角 ， ， . 圖1-10 圖1-11 8.比較兩個角的大小可能有 、 、 . 9.如圖1-11，AOC和BOD都是直角，則角 =角 . 10.38.32= 度 分 秒. 11.若=1730，則它的余角是 ，補角是 . 12.如圖1-12，BOC= - = - = - - . 圖1-12 圖1-13 13.如圖1-13中有 個角，把它們表示出來 . 14.下列各角中57、3512、125、90、13729、35612、52135、120、17542是銳角 個，鈍角的有 個. 15.若1和2互補，21-2=30，則1= ，2= . 二、選擇題 16.如圖1-14中共有線段 條. (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 圖1-14 圖1-15 17.下列說法正確的是 . （A）由兩條射線組成的叫角 （B）射線就是周角，直線就是平角 （C）如圖1-5中AOB可以用O表示 （D）AOB和BOA是同一個角 18.下列說法正確的是 . （A）如果=180-，則是補角 （B）如果+=90，則是余角 （C）40的角是50的角的余角 （D）余角是補角的一半 19.若一個角的余角等于它的補角的，則這個角的度數(shù)為 . （A）30 （B）45 （C）60 （D）90 20.下面說法錯誤的是 . (A)B是線段AC的中點，則BC=AC （B）直線上一點和它一旁的部分叫射線 （C）一條射線把一個角分成兩個角，這條射線叫這個角的平分線 （D）同角的余角相等 21.如果一個角等于它的余角的3倍，那么這個角是它補角的 . (A) (B) (C) (D) 22.一個角比它的補角的一半少30，那么這個角等于 . (A)30 (B)45 (C)40 (D)90 23.互為補角的兩個角 . (A) 只和位置有關(guān) （B）只和數(shù)量有關(guān) （C）和位置、數(shù)量都有關(guān) （D）和位置、數(shù)量都無關(guān) 24.如圖1-16，AOB=COD=BOE，那么相等的角有 對. (A)2 (B)3(C)4 (D)5 25.如果1和2是鄰補角，且12，那么2的余角是 . (A)(1+2)(B)1 (C)(1-)(D）1-2 圖 1-16 26在同一平面內(nèi)有4個不重合的點，經(jīng)過每兩點作一直線，最多可作直線的條數(shù)是 . (A)4(B)5(C)6 (D)7 27.如圖1-17，把一個平角分成若干個角，其中銳角有 個. (A)5(B)5(C)7(D)8 圖1-17 28.如果A、B、C三點在同一直線上，A到B的距離是8厘米，B到C的距離是3厘米，那么A、C兩點的距離是 . （A）11厘米（B）5厘米 （C）5或11厘米（D）無法確定 29.從2時整到4時30分，時針轉(zhuǎn)過的角度為 . (A)25(B)65(C)75（D）135 30.點M與點N的距離為20厘米，有一點Q，如果QM+QN=20厘米，那么下列結(jié)論正確的是 . （A）點Q必在線段MN的延長線上 （B）點Q必在線段NM的延長線上 （C）點Q必在線段MN外 （D）點Q必在線段MN上 31.已知線段AB，在AB的延長線上取一點C，使BC=3AB，在BA的延長線上取一點D，使DA=2AB，求 (1) 線段AC等于線段AB的幾倍？ （2）線段AB等于線段DB的幾分之幾？ （3）線段DB等于線段DC的幾分之幾？ 32.計算 180-1103735 33.計算 171435 34.一個角的補角與它的余角的2倍的差是平角的,求這個角. 35.一個銳角和它的鄰補角以及它的余角的和是直角的,求這個銳角? 36.如圖1-18,A、O、E三點在一條直線上，AOC=BOD=105，BOC=50，求DOE的度數(shù). 圖1-18 37.線段AB=54cm，C是AB的中點，D是AC上的一點，且CD=2AD，E是BC的中點，求線段DE的長. 38.如圖1-19，AC=BD，E為CD的中點，求證：E為AB的中點. 39.如圖1-20，AOD=BOE，OC是DOE的平分線，求證：OC是AOB的平分線. 圖1-19 圖1-20 40.B、C兩點把線段AD分成2:3:4三部分，M是線段AD的中點，CD=12厘米，求（1）MC的長；（2）AB:BM的值.參 考 答 案 同步題庫 一、填空題 1.連結(jié)兩點的線段 2.射線、線段 3.=， 4.12 5.射線，旋轉(zhuǎn)到 6.和為平角，同角或等角 7. ，AOB，O 8.大于、小于或等于 9.AOB、DOC 10.381912 11.7230、16230 12.AOC，AOB，BOD，COD，AOD，AOB，COD 13.8，D，A，B，C，DAC，BAC，DCA，ACB 14.4,4 15.70,110 二、選擇題 16.D 17.D 18.C 19.B 20.C 21.C 22.C 23.B 24.D 25.C 26.C 27.B 28.C 29.C 30.D 三、解答題 31.解：依題意得：（1） BC=3AB，AC=AB+BC AC=4AB（2） DA=2AB DB=DA+AB DB=2AB+AB =3AB因此，AB=DB（3） DB=DA+AB=3AB 又 DC=DA+AB+BC =2AB+AB+3AB =6AB DC=2DB DB=DC32.解：180-1103735=1795960-1103735 =6922253