三角形重心、外心、垂心、內(nèi)心的向量表示及其性質(zhì).doc

三角形“四心”向量形式的充要條件應用知識點總結1O是的重心;若O是的重心，則故;為的重心.2O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，則故3O是的外心(或)若O是的外心則故4O是內(nèi)心的充要條件是引進單位向量，使條件變得更簡潔。如果記的單位向量為，則剛才O是內(nèi)心的充要條件可以寫成 ，O是內(nèi)心的充要條件也可以是 。若O是的內(nèi)心，則ACBCCP故;是的內(nèi)心;向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；范 例(一)將平面向量與三角形內(nèi)心結合考查例1O是平面上的一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，則P點的軌跡一定通過的（ ）（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心解析：因為是向量的單位向量設與方向上的單位向量分別為， 又，則原式可化為，由菱形的基本性質(zhì)知AP平分，那么在中，AP平分，則知選B. (二)將平面向量與三角形垂心結合考查“垂心定理”例2 H是ABC所在平面內(nèi)任一點，點H是ABC的垂心.由,同理，.故H是ABC的垂心. （反之亦然（證略）例3.(湖南)P是ABC所在平面上一點，若，則P是ABC的（D）A外心B內(nèi)心C重心D垂心解析:由.即則 所以P為的垂心. 故選D. (三)將平面向量與三角形重心結合考查“重心定理”例4 G是ABC所在平面內(nèi)一點，=0點G是ABC的重心.證明 作圖如右，圖中連結BE和CE，則CE=GB，BE=GCBGCE為平行四邊形D是BC的中點，AD為BC邊上的中線.將代入=0，得=0，故G是ABC的重心.（反之亦然（證略）例5 P是ABC所在平面內(nèi)任一點.G是ABC的重心.證明 G是ABC的重心 =0=0，即由此可得.（反之亦然（證略）例6 若 為內(nèi)一點， ，則 是 的（ ）A內(nèi)心 B外心 C垂心 D重心 解析：由得，如圖以OB、OC為相鄰兩邊構作平行四邊形，則，由平行四邊形性質(zhì)知，同理可證其它兩邊上的這個性質(zhì)，所以是重心，選D。(四) 將平面向量與三角形外心結合考查例7若 為內(nèi)一點，則 是 的（ ）A內(nèi)心 B外心 C垂心 D重心解析：由向量模的定義知到的三頂點距離相等。故 是 的外心，選B。 (五)將平面向量與三角形四心結合考查例8已知向量，滿足條件+=0，|=|=|=1，求證 P1P2P3是正三角形.（數(shù)學第一冊（下），復習參考題五B組第6題）證明 由已知+=-，兩邊平方得=， 同理 =， |=|=|=，從而P1P2P3是正三角形.反之，若點O是正三角形P1P2P3的中心，則顯然有+=0且|=|=|.即O是ABC所在平面內(nèi)一點，+=0且|=|=|點O是正P1P2P3的中心.例9在ABC中，已知Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q、G、H三點共線，且QG:GH=1:2。【證明】：以A為原點，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系。設A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分別為AB、BC、AC的中點，則有： 由題設可設,AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF即，故Q、G、H三點共線，且QG：GH=1：2例10若O、H分別是ABC的外心和垂心.求證 .證明 若ABC的垂心為H，外心為O，如圖.連BO并延長交外接圓于D，連結AD，CD.，.又垂心為H，AHCD，CHAD，四邊形AHCD為平行四邊形，故.著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置關系：（1）三角形的外心、重心、垂心三點共線“歐拉線”；（2）三角形的重心在“歐拉線”上，且為外垂連線的第一個三分點，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡單，可簡化成如下的向量問題.例11 設O、G、H分別是銳角ABC的外心、重心、垂心. 求證 證明 按重心定理 G是ABC的重心按垂心定理 由此可得 .補充練習1已知A、B、C是平面上不共線的三點，O是三角形ABC的重心，動點P滿足= (+2),則點P一定為三角形ABC的 （ B ）A.AB邊中線的中點 B.AB邊中線的三等分點（非重心）C.重心 D.AB邊的中點1. B取AB邊的中點M，則，由= (+2)可得3，即點P為三角形中AB邊上的中線的一個三等分點，且點P不過重心，故選B.2在同一個平面上有及一點滿足關系式： ，則為的 （D） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心2已知ABC的三個頂點A、B、C及平面內(nèi)一點P滿足：，則P為的 （C） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心3已知O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P 滿足：，則P的軌跡一定通過ABC的 （C） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心4已知ABC，P為三角形所在平面上的動點，且動點P滿足：，則P點為三角形的 （D ） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心5已知ABC，P為三角形所在平面上的一點，且點P滿足：，則P點為三角形的 （B） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心6在三角形ABC中，動點P滿足：，則P點軌跡一定通過ABC的： （ B ） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心7.已知非零向量與滿足(+)=0且= , 則ABC為( )A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等邊三角形 D.等邊三角形解析：非零向量與滿足()=0，即角A的平分線垂直于BC， AB=AC，又= ，A=，所以ABC為等邊三角形，選D8.的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，則實數(shù)m = 19.點O是所在平面內(nèi)的一點，滿足，則點O是的（B）（A）三個內(nèi)角的角平分線的交點（B）三條邊的垂直平分線的交點（C）三條中線的交點（D）三條高的交點10. 如圖1，已知點G是的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且，則。 證 點G是的重心，知O，得O，有。又M，N，G三點共線（A不在直線MN上）， 于是存在，使得， 有=，得，于是得。例講三角形中與向量有關的問題教學目標：1、三角形重心、內(nèi)心、垂心、外心的概念及簡單的三角形形狀判斷方法 2、向量的加法、數(shù)量積等性質(zhì) 3、利用向量處理三角形中與向量有關的問題 4、數(shù)形結合教學重點：靈活應用向量性質(zhì)處理三角形中與有關向量的問題教學難點：針對性地運用向量性質(zhì)來處理三角形中與向量有關的問題教學過程：1、課前練習1.1已知O是ABC內(nèi)的一點，若，則O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心1.2在ABC中，有命題；若，則ABC為等腰三角形；若，則ABC為銳角三角形，上述命題中正確的是 A、 B、 C、 D、2、知識回顧 2.1 三角形的重心、內(nèi)心、垂心、外心及簡單的三角形形狀判斷方法 2.2 向量的有關性質(zhì)2.3 上述兩者間的關聯(lián) 3、利用向量基本概念解與三角形有關的向量問題例1、已知ABC中，有和,試判斷ABC的形狀。練習1、已知ABC中，B是ABC中的最大角，若，試判斷ABC的形狀。4、運用向量等式實數(shù)互化解與三角形有關的向量問題例2、已知O是ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足，則O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心5、運用向量等式圖形化解與三角形有關的向量問題例3、已知P是ABC所在平面內(nèi)的一動點，且點P滿足，則動點P一定過ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心練習2、已知O為平面內(nèi)一點，A、B、C平面上不共線的三點，動點P滿足，則動點P 的軌跡一定通過ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心例4、已知O是ABC所在平面內(nèi)的一點，動點P滿足，則動點P一定過ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心練習3、已知O是ABC所在平面內(nèi)的一點，動點P滿足，則動點P一定過ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心例5、已知點G是的重心，過G作直線與AB、AC分別相交于M、N兩點，且，求證：6、小結 處理與三角形有關的向量問題時，要允分注意數(shù)形結合的運用，關注向量等式中的實數(shù)互化，合理地將向量等式和圖形進行轉(zhuǎn)化是處理這類問題的關鍵。7、作業(yè)1、已知O是ABC內(nèi)的一點，若，則O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心2、若ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，且，則等于 A、 B、0 C、1 D、3、已知O是ABC所在平面上的一點，A、B、C、所對的過分別是a、b、c若，則O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心4、已知P是ABC所在平面內(nèi)與A不重合的一點，滿足，則P是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心 5、平面上的三個向量、滿足，求證：ABC為正三角形。6、在ABC中，O為中線AM上的一個動點，若AM2，求三角形四心與向量的典型問題分析向量是數(shù)形結合的載體，有方向，大小，雙重性，不能比較大小。在高中數(shù)學“平面向量”（必修4第二章）的學習中，一方面通過數(shù)形結合來研究向量的概念和運算；另一方面，我們又以向量為工具，運用數(shù)形結合的思想解決數(shù)學問題和物理的相關問題。在平面向量的應用中，用平面向量解決平面幾何問題時，首先將幾何問題中的幾何元素和幾何關系用向量表示，然后選擇適當?shù)幕紫蛄?，將相關向量表示為基向量的線性組合，把問題轉(zhuǎn)化為基向量的運算問題，最后將運算的結果再還原為幾何關系。下面就以三角形的四心為出發(fā)點，應用向量相關知識，巧妙的解決了三角形四心所具備的一些特定的性質(zhì)。既學習了三角形四心的一些特定性質(zhì)，又體會了向量帶來的巧妙獨特的數(shù)學美感。一、“重心”的向量風采【命題1】 是所在平面上的一點，若，則是的重心如圖.M 圖圖 【命題2】 已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，則的軌跡一定通過的重心.【解析】 由題意，當時，由于表示邊上的中線所在直線的向量，所以動點的軌跡一定通過的重心，如圖.二、“垂心”的向量風采【命題3】 是所在平面上一點，若，則是的垂心【解析】 由，得，即，所以同理可證，是的垂心如圖. 圖圖【命題4】 已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，則動點的軌跡一定通過的垂心【解析】 由題意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即點在過點且垂直于的直線上，所以動點的軌跡一定通過的垂心，如圖.三、“內(nèi)心”的向量風采【命題5】 已知為所在平面上的一點，且， 若，則是的內(nèi)心圖圖【解析】 ，則由題意得，與分別為和方向上的單位向量，與平分線共線，即平分同理可證：平分，平分從而是的內(nèi)心，如圖.【命題6】 已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，則動點的軌跡一定