由蘇教版高中數(shù)學教材“本章回顧”引發(fā)的思考.pdf

本章回顧 江蘇省新海高級 中學 張學兵 普通高 中數(shù)學課程標準 實驗 指出 學生 的 數(shù) 學學 習活 動不應 該 只限于 接受 記 憶 模仿 和 練 習 高 中數(shù)學課程還應該 倡導 自主探究 動手實踐 合作 交流 閱讀 自學等學習數(shù)學 的方式 這些方式有 助于 發(fā)揮學生學習的主動性 使學生的學習過程成為在教 師引導下的 再創(chuàng)造 過程 而作為課程改革重要載 體 的新教材如何 承載新課程學習方式的多樣化 如 何展現(xiàn)新 課標 的 主動性 和 再創(chuàng)造 過程 本文 擬 以江蘇教育出版社在 2 0 O 5年開始推出的普通高 中 課程標準實驗教科 書 數(shù)學 下文簡稱 教材 I 中 本章 回顧 欄 目為 思 考 的切 入 點 從 教 學 實 踐 的 層 面 就新教材的閱讀理解 課 堂教學對上述問題做一 些 初 步探討 1 對 本章回顧 的一個比較 教材 I明確指 出回顧反思為內容組織 的主要形 式之一 回顧反思包括 回顧 總結 聯(lián)系 整合 拓廣 創(chuàng)新 凝縮 由過程到對象 等 編寫意圖是理解數(shù)學 教材 I中的 本章回顧 是回顧反思 的具體表現(xiàn) 翻開 教材 I的必修模塊及選修系列 1 2每章中的 本章 回 顧 不難發(fā)現(xiàn)它們都是 以精練的語 言高度概括 了本 章的主要內容和其中蘊涵的數(shù)學思想方法 并指出了 學 習 中的一 些 注 意 點 與 2 0 0 2年 通 過 審查 的人 教 版 高中數(shù)學教科書 下文簡稱 教材 中的 小結與復 習 相比 教材 I中的 本章回顧 整體表述篇幅小 變 知識方法簡單的線性羅列為凸顯知識間聯(lián)系 提煉學 科思想方法的語言描述 給教材使用者留有較大的補 白空間 其突出特色是都配有一幅本 章知識結構 圖 圖文并茂 一 目了然 給人一種 由厚到薄的輕靈之感 從中讓學習者體會到用框 圖思路表述的簡潔性和結 構圖在揭示知識間聯(lián)系的作用 例如 數(shù)列 這一章 內容的知識點 公式 結論很多 綜合性強 但在 本章 回顧 中給 出的 數(shù)列 知 識 結 構 圖 卻 給 人 線索 結 構 清 晰 內容重點突出的感覺 讓人也感受到需要運用類 一番 比的方法 認識等 差數(shù)列 和等 比數(shù)列 之問 的區(qū)別 和 聯(lián) 系 圖 1 一 圖 l 教材 中的 小結 與復習 則細膩地 向教材使用 者呈現(xiàn)了本章的內容提要 學習要求和需要注意的問 題 參考例題三部分內容 學習者只需簡單地 拿來 似乎無需對所學 內容進行整合編碼 發(fā)散思考 如此 不利 于讓 學 習者獲得 做 數(shù)學 的過程 一 定 程度 上 失 去了一個讓學生體驗 主動性 和 再創(chuàng)造 的數(shù)學活 動平臺 考慮到進一步落實 自主探究 動手實踐 合作 交流 閱讀 自學等學習數(shù)學的方式的需要 以及選科 學生的不同教學要求 在教材 I的選修系列 3 4的各 專題 中無 本章 回顧 欄 目 取而代之的是要求學生撰 寫 學習總結報告 撰寫學習總結報告是專題學習過 程的重要組成部分 通過分析與總結 可 以對專題的 內容和結構加 深理解和認識 并在此 基礎上得 到升 華 有利 于學 習能力 的 提高 學 習 總結 報 告包 括 三 個 方面的內容 1 知識的總結 2 內容的拓展 3 學 習的感受 所以 尋求主動建構和被動拿來之間的平 衡是我們在回顧反思過程中值得關注的問題 從上文我們還看到教材 I和教材 都一致注重 數(shù)學學習的知識梳理環(huán)節(jié) 因此 我們也找到了一些 應對新課程實施 中課 時緊 容量大 遺忘快等問題的 措施 對學生要及時進行學法指導 向學生指明初高 中在知識 內容 課時進度 練 習時間等方面 的巨大差 別 不要急于講題 做題 要適時對每一小節(jié)或重點節(jié) 所 學知識 進 行梳 理 梳 理 的方 式 有 很 多種 可 以 先 讓 學生模仿學 習教材 中一些做法 用結構圖 學習總 結報告進行梳理 優(yōu)化 重組所學 內容 然后再 要求學 生結合教師講解 同學交 流將 已完成 的結構 圖 學習 總結報告補充 調整和完善 這是把數(shù)學知識結構 內 化為數(shù)學認知結構的有效辦法 但是在實際教學 中很 多學生的知識梳理只是概念和公式 的堆砌 而不少教 師常常以講 題時 間不 夠為 由 讓編織章 節(jié)知識 網絡 甚至是 簡單 的基 礎 知 識 線 性 羅列 處 于 欲 言 又 止 的狀態(tài) 或是一味地用基礎訓練題 的形式來代替 由 于不 同章節(jié)知 識 間存在 的橫 向 縱 向 的有 機聯(lián) 系常 因 模塊劃分 重視程度不夠等原 因被忽視 加之 編織 關 聯(lián) 性 內容 的知 識 網絡 也 有 一 定 的難 度 需 要 學 習 者從學科 的整體高度和思維價值的高度考慮 問題 即 便如此 為了提高數(shù)學學 習效益 我們 也要努 力做 到 適 時 有效 地 編織 知識 網絡 圖 進 一 步加 強基 本 知識 基本概念的學 習 筆者 有意考察 了我校 2 0 0 7級高一 教學 班 的多次 階段 性考試 情 況 發(fā)現(xiàn) 注 重 知識 梳理 和 練習與學情匹配的教學班級成績能保持較高水平 這 些教學班的明顯特點 在概念 性質 定理等基礎 知 識 的學 習和復 習 中不 走 過 場 不 趕 進 度 不 把 知 識 炒 成 夾生 飯 而 在 準 確 系 統(tǒng) 靈 活 上 下 功 夫 對 知識 不斷 深 化 新 知 識 能 夠 及 時 納 入 已 有 的 知 識 體 系 逐步形 成 和擴 充 數(shù) 學 知 識 結 構 體 系 形 成 一 個 條 理化 網絡 化 熟 練 化 的有 機 體 系 善 于 為 回顧 反 思環(huán)節(jié)增添新鮮感 例如 把大家熟悉 的直線 的點斜 式 兩 點式 截距式 斜 截式 一 般式 甚 至 還 包括 兩 點 式 的另外 兩 種 不 等 價 轉 化 形 式 Y Y z 一 z 一 一 z z 一絲 等 內容 引入 結構 2 1 5 X l 2 7 2 J5 1 圖 直觀地體現(xiàn)了直線方程形式之間的有機聯(lián)系 2 給 本章 回顧 的一個 建議 知識結構圖是每個 本章回顧 的有機組成部分 是新教材編寫的一個亮點 在教材 I的必修模塊 1的 第 章就 已出現(xiàn) 但對 結構圖 的內涵及功能界定其 實在教材 I選修 1 2 框 圖 中方才提到 為此 我們 建議在教材 I的必修模塊 1第一章 本章 回顧 的空 白處增設一個旁 白 以此引導學習者逐步學會看結構 圖 畫結構圖 體悟結構圖的實用價值 這個旁 白可 以 是 此 圖簡 潔 直 觀 地 表 達 了本 章層 次結 構 和 各 部分 之 間 的關 系 它 是 一 種 特 殊 的 框 圖 框 圖 是 表示 一 個 系統(tǒng)各部分和各環(huán)節(jié)之間關系的圖示 它能夠清晰地 表達比較復雜的系統(tǒng)各部 分之 間的關系 稱為結構 圖 我們可以運用結構圖梳理 已學過的知識 整理收 集 到 的資料 信息 在 以后 的各 章 本章 回顧 中我們 還 會見到 結構圖 并且將在本 套教材 的選修 1 2 框 圖 中較 系統(tǒng) 地 學 習 結 構 圖 我 們 要 注 意培 養(yǎng) 用 結 構圖總結整理所學知識并結合繪制 的結 構圖與他人 進行交流的習慣 體悟結構圖表達系統(tǒng)結構 的簡潔與 直觀 選取某一小節(jié)內容 你能嘗試用 結 構圖 來進 行 總結 梳理 嗎 作為教師也有必要優(yōu)先對 結構 圖 的有關 內容 進行學習 增強應用結 構圖解決 問題 的 自覺性 學會 讀圖和畫圖 通過利用結構圖可以幫助我們理解新教 材的編寫體例 提升對新教材的閱讀理解水平 案 例 教 材 工總體 設計 的思 想 和原則 教材 I的整體設計主要從基礎性 興趣性 層次 性 三個方 面考 慮 設計 為一 個核 心 多 個層 次 多種選 擇 以基本教學要求為核心 通過這個載體 學生可以 獲得全方位的發(fā)展 學生學好核心 內容后 根據(jù)需要 有多種選擇 每個人都能獲得必備的數(shù)學素養(yǎng)與最佳 發(fā)展 具 體設 計如 下 圖 2 回圇 I 壁 量l I 童 皇 l 圖 2 3 讓 本章回顧 與概念圖鏈接 看到 本章回顧 中的 結構圖 不禁使我們聯(lián)想 到 概念 圖 由節(jié)點 連線 連 接詞 三 部分 構 成 的概 念 圖是用來組織與表征知識的工具 是表示概念和概念 間相互關系的空間網絡知識結構圖 它最早 由美 國康 奈爾大學的 J o s e p h D n o v a k教授等人于 2 O世紀 6 O 年代提出 但這一 概念的確定 卻是 在 2 O世 紀 8 O年 代 概念圖的靈活 有效和恰當運 用將對促進有意義 學 習 形成 良好 的認 知 結 構 增 強 主 動 思考 與反 思 的 意識等方面都有其現(xiàn)實意義 使用概念圖更多 的是鼓 勵學習者以數(shù)學式 圖形 命題等作為節(jié)點來表征知 識 做 到 圖形 符 號 抽象 知識 的相 互 詮 釋 以及揭 示 知 識之間的聯(lián)系 我 國現(xiàn)在對數(shù)學教育中概念圖的專題 研究還處于介紹引進階段 1 筆者主要是通過閱讀期 刊和 網上學 習獲 得對概 念 圖的 了解 通過 學 習認 識 到 本章回顧 中的 結構 圖 實質上是一幅未完成的章 節(jié)概念圖 欠缺的是概念 圖的連接詞和實例 我們可 借用概念 圖的相關理論 提升結構 圖的應 用水平 譬 如 封閉性構圖 教師給出隨機排列的概念一學生 用這些全部或部分概念建構概念圖 開放性構圖 教師給出一個核心概念一學生聯(lián)系相關 內容開放性 地建構概念圖 基于此 在教學實踐 中可借助 P P T變 結構圖或概念 圖的一次性呈現(xiàn)為節(jié)點或連接詞 的多 次有序呈現(xiàn) 變被動構圖為主動構圖 這樣將有利于 提高教學效果 促進師生主動思考與反思 值得注意的是構成概念圖的節(jié)點也可 以是一些 反映某一主題的命題 以此形象化的方式表征學習者 對某一主題的理解 例如 我們可通過對典型課本題 高考模擬題 高考題的研究 體現(xiàn)教材的基礎作用 說 明高考題來 自于教材而又高于教材 教材和資料的有 機結合是掌握知識 方法的關鍵 我們要在對例題 習 題的引申 推廣 拓展中學方法學技巧 突出針對性和 層次性 下面提供 5道題并給出相應概念圖 圖 6 作 為例 證 例 1 教 材 I課 本題 已知 點 M x 與 兩個 定 1 點 0 0 o A 3 O 的距離之 比為寺 那么點 M 的坐 厶 標應滿足什么關系 畫出滿足條件的點 M 所形成 的 曲線 例 2 已知在平面上給定相異兩點 A B 設 P點 1 3 A 在同一平面上且滿足 一 求證 當 0且 1 J上J 時 P點的軌跡是 以定 比 I 內分和外分定線段的兩個 分點的連線為直徑的圓 這個 圓稱為阿波羅尼斯 圓 簡稱 阿氏圓 例 3 2 0 0 8年高考數(shù)學江蘇卷理科第 1 3題 如 圖 3 若在 ABC中 AB一2 AC一 2 BC 貝 AB C 面 積的最 大值 是 簡析 本題 解法 比較 多 但 利用阿波羅尼 斯 圓可以使 問題 得到簡化 在 圖 3中 以點 A 為 原點 AB所在的直線為 z軸 過 點 A作直線 AB 的垂線為 Y軸 建立平面直角坐標系 則點 C的 C 0 B D 圖 3 軌跡是以點 D 4 0 為圓心 以 2 g 為半徑的圓 除 去與 z軸的交點 所 以當點 C到 軸距離最 大時 S 舳 取最大值 2 厄 例4 如 圖 4 四 棱 錐 P ABC D 中 AD上 平 面 P AB BC 上平面 P AB 底 面 AB C D 為 梯 形 AD一4 B C一 8 AB 一6 AP D C P B 滿足上述條件 P 的 四棱 錐 的頂點 P 的軌跡 為 圖 4 A 圓 B 不是 完整 的圓 C 拋物線 D 拋物線 的一部分 簡析 空 間問題 轉化 為平面問題 由直角三角形 中的邊角關系得 2 P A PB 又 AB 6 由阿波羅尼 斯 圓定義知 點 P 的軌跡是 圓 但點 P不 能在底面 AB C D 上 所 以點 P的軌 跡 不是完 整 的圓 選擇 B 例 5 若 P為正方形 ABC D 內一 點 線 段 P A PB P C 的 比為 1 2 3 求證 AP B一1 3 5 筒析 因為點 P必在 以內 外 分線段 AB成 1 2的兩分點的連 線為直徑的阿波羅尼斯圓上 又在 圖5 以內 外分線段 A B成 2 3的兩分點的連線為直徑的 阿波羅尼斯圓上 所 以點 P的位置為兩 圓在正方形 內 的交點 可唯一確定 基于此 嘗試采用同一法來證 從圖 6我們看到 囤 了復習課 中關于回歸 l 殺 課本的若干思路 首先 I 攀 要注意在 復 習的各 個醫(yī) 團 葛 匡 環(huán)節(jié) 既要以課本為出 I 冪 發(fā)點 又要不斷豐富課 I 霉 本的內涵 揭示課本 內l t4 1 涵與高考 命題 之 間的 圖6 聯(lián)系 即要弄懂課本提供的知識 和方法 通過揭示例 題 習題之間的聯(lián)系及其變換 盡可能把問題化歸為 課本中的例題和習題 以此簡縮思維 提高解題效益 其次 無論是對某個板塊構建知識網絡 還是從整體 角度 數(shù)學思想或方法角度構建知識網絡 此時 我們 就不再重視知識結構的先后次序 我們都要主動地 將有關知識進行必要的拆分 加工 重組 找 出某個或 某些 知識 點會 在哪 些系列 題 目中 出現(xiàn) 哪種 方法 可 以 解決哪一類題 目 分析時 力求 由原來的知識點 漸漸 向探尋思路 方法轉變 目的明確地對外來的和內在的 信息進行提取與轉化 加工與傳輸 為了實現(xiàn)這樣的過 程 必須掌握和運用好信息的提取 轉化 加工與傳輸 的原理及方法 概念 圖或結 構圖教學是 一種有效 嘗試 4 為 本章回顧 主動補 自 由于 本章 回顧 的敘述嚴謹 用語簡練 以及結 構圖反映的知識容量的局 限性 往 往使初學者對 本 章 回顧 理 解起來 有 一定 困難 例 如 圖 1中對 用 函數(shù) 觀點 認識 數(shù)列 缺乏 反映 只在 本 章 回顧 簡 短 的文 字 描述中有所提及 如何在新教材新課教學中彌補這樣 的不足呢 又如 在教材 I的必修模塊 5的 不等式 一 章中突出的是數(shù)形結合的思想 在此章的本章回顧 中 幾何意義 一詞多次出現(xiàn) 那么與不等式相關 的數(shù) 學對象的幾何意義有哪些呢 另外 由厚到薄 的輕 靈之感 應 該 來 自于 對 每 章 中 每 小 節(jié) 內容 的 熟 練 把 握 節(jié) 為教學的基本單元 每節(jié)有 自己的小系統(tǒng) 每 節(jié) 開頭在 章 的背 景 下 給 出分 支 背景 圍繞 章 的 問題 這些問題就是本節(jié)的起點 核心內容的出發(fā)點 在此 認識的基礎上 我們需要在每一小節(jié)的回顧總結中制 作好每一小節(jié)或重點節(jié)的結構圖或概念 圖 才能實現(xiàn) 由 小圖 到 大圖 由低維圖 知識簡單羅列 缺乏反 映知識間聯(lián)系 到高維圖 關注不同知識之間 不同章 節(jié)之間的聯(lián)系 的轉化 這些都需要我們在課堂運行中 為 本章 回顧 主動 補 白 補 白的行文方 式可 以多樣 化 筆者這里推薦的主要是用結構圖或概念圖補白 7 例如 我 們可 以通 過 圖 7從 直線 的視 角認 識 等差 數(shù)列 并把直線 與等差數(shù)列 的內在聯(lián)系提煉 出來 使 新舊知識在建構過程中達到渾然一體 以彌補圖 1中 的一些不 足 再如 我們 通 過 小 圖 圖 8反映 三個 二次 的相 互作用 從 中感受 到連結三個 二次 的紐帶是坐標思 想 三個 二次 關 系的實質是數(shù)形結合思想 再 以 幾 何 意 義 為 主 題 概 念 將 一 元 二 次 方 程 的 幾 何 意 義 二次函數(shù) 的零 點 一元二次 不等式 的幾 何意 義 二次函數(shù)圖象上的點在 z軸上方或下方 時的 的取值范圍 二元一次不等式的幾何意義 平 面 區(qū)域 二元一次不等式組的幾何意義 平面區(qū)域的 公 共 部分 二元 目標 函數(shù) 的幾 何 意義 截 距 距 離 斜率等 及重要不等式 的幾何 意義 半 弦不大于半徑等相關知識引入概念 圖 共 同構成不等 式章節(jié)中幾何意義主題概念 圖 我們還可 以通過對不 等式章節(jié)中的重要不等式 的條件 結論的 強化與弱化繪制結構圖 增強應用相關不等式的 自覺 性 關注不等式應用 的條件 所有這些將有助于完成 對