課題：簡單的線性規(guī)劃(教師版）.doc

課題：簡單的線性規(guī)劃【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1. 了解線性規(guī)劃的意義、了解可行域的意義； 2. 掌握簡單的二元線性規(guī)劃問題的解法【課前導(dǎo)學(xué)】1.點(diǎn)P滿足不等式組，請畫出點(diǎn)P所在的平面區(qū)域2直線與直線的位置關(guān)系是 【課堂活動】一、 建構(gòu)數(shù)學(xué)1問題：在約束條件下，如何求目標(biāo)函數(shù)的最大值？2. 基本概念 對于在約束條件下，若，式中變量、滿足上面不等式組，則不等式組叫做變量、的約束條件 ，叫做目標(biāo)函數(shù)；又因?yàn)檫@里的是關(guān)于變量、的一次解析式，所以又稱為線性目標(biāo)函數(shù)滿足線性約束條件的平面區(qū)域叫做可行域，（滿足線性約束條件的解(x,y)叫叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域 如圖（1）所示 將目標(biāo)函數(shù)變形為斜截式的形式，它表示一條直線，斜率為，且在軸上的截距為平移直線，當(dāng)它經(jīng)過兩直線與的交點(diǎn)時，直線在軸上的截距最大，如圖（2）所示因此，當(dāng)時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即當(dāng)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)和時，可獲得最大利潤萬元這類求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題，通常稱為線性規(guī)劃問題使目標(biāo)函數(shù)取得最值，它叫做這個問題的最優(yōu)解，本題中使目標(biāo)函數(shù)取得最大值，它叫做這個問題的最優(yōu)解對于只含有兩個變量的簡單線性規(guī)劃問題可用圖解法來解決來源:Zxxk.Com說明：平移直線時，要始終保持直線經(jīng)過可行域（即直線與可行域有公共點(diǎn)）3.求解線性規(guī)劃的最優(yōu)解的步驟來源:（1）列：設(shè)出未知數(shù),列出約束條件,確定目標(biāo)函數(shù)；（2）畫：畫出線性約束條件所表示的可行域；（3）移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線； （4）求：通過解方程組求出最優(yōu)解； （5）答：作出答案。 變式練習(xí)變式在例條件下，求P=2x+y+20的最大值與最小值變式在例條件下，求P=2x-y的最大值與最小值變式3在例條件下，求P=4x+3y的最大值與最小值解：變式：設(shè)：，平移類同例，得最大值為27.5, 最小值為2變式：設(shè)：，平移類同例，得最大值為, 最小值為變式：設(shè)：，平移類同例，得最大值為， 最小值為4. 例1 （1）已知，求的取值范圍；（2）設(shè)，且，求的取值范圍【思路分析】先畫出可行域，再平移直線即可【解】（1）不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，作直線：，作一組平行線：，由圖知由向右下方平移時，隨之增大，反之減小，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時取最小值，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時取最大值，由和分別得，所以，（2），由（1）知，【解后反思】本題還可以借助不等式的性質(zhì)求解設(shè)，求出m，n例2 設(shè)，式中變量滿足條件，求的最大值和最小值【思路分析】按照解決線性規(guī)劃問題的步驟逐一實(shí)施：畫出可行域目標(biāo)函數(shù)變形平移直線找出最優(yōu)解【解】由題意，變量所滿足的每個不等式都表示一個平面區(qū)域，不等式組則表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域由圖知，原點(diǎn)不在公共區(qū)域內(nèi)，當(dāng)時，即點(diǎn)在直線：上，作一組平行于的直線：，可知：當(dāng)在的右上方時，直線上的點(diǎn)滿足，即，而且，直線往右平移時，隨之增大來源:Zxxk.Com由圖象可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，對應(yīng)的最大，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，對應(yīng)的最小，所以，【變題】設(shè)，式中滿足條件，求的最大值和最小值解：由引例可知：直線與所在直線平行，則由引例的解題過程知，當(dāng)與所在直線重合時最大，此時滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時，對應(yīng)最小，【解后反思】（1）線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得； （2）線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值也可在可行域的邊界上取得，即滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個例3 求的最大值，使式中滿足約束條件【思路分析】先畫出可行域中的網(wǎng)格，找出整點(diǎn)，再去平移直線注意平移直線時，只能經(jīng)過整點(diǎn)【解】先畫出可行域中的網(wǎng)格，找出整點(diǎn)，只有三個：將目標(biāo)函數(shù)化為直線：，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，【解后反思】在網(wǎng)格中整點(diǎn)較少時，可以逐一代入比較；在實(shí)際問題中，若從圖形中不能清楚的看出最優(yōu)解，可以將一些“可疑點(diǎn)”代入比較驗(yàn)證例4.設(shè)x，y，z滿足約束條件，求的最大值和最小值析：減元，轉(zhuǎn)化成二元一次不等式組條件下求二元函數(shù)最值的線性規(guī)劃問題答案：例5、已知三角形ABC的三個頂點(diǎn)為A（1,1），B（3,1），C（2,5），點(diǎn)P（x,y）是三角形ABC內(nèi)的任一點(diǎn)（含邊界），且z=ax-y取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)個，求a的值?！咀?】：z=ax-y取最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，求a的值?！咀?】：z=ax+y取最大值的最優(yōu)解有無數(shù)個，求a的值。例6 投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100噸需要資金200萬元，需場地200平方米，可獲利潤300萬元；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100米需要資金300萬元，需場地100平方米，可獲利潤200萬元現(xiàn)某單位可使用資金1400萬元，場地900平方米，問：應(yīng)作怎樣的組合投資，可使獲利最大？【思路分析】這是一個二元線性規(guī)劃問題，求解之前，先將題中的數(shù)據(jù)整理成表格資金 場地（百萬元） （百平方米）利潤（百萬元）A產(chǎn)品（百噸）B產(chǎn)品（百噸）限制然后根據(jù)表，設(shè)未知數(shù)，列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，最后作圖求解【解】見課本P79例1例6某運(yùn)輸公司向某地區(qū)運(yùn)送物資，每天至少運(yùn)送180噸該公司有8輛載重為6噸的A型卡車與4輛載重為10噸的B型卡車，有10名駕駛員每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型車4次，B型車3次每輛卡車每天往返的成本費(fèi)為A型車320元，B型車為504元試為該公司設(shè)計調(diào)配車輛的方案，使公司花費(fèi)的成本最低【解】見課本P79例2三、課后練習(xí)1. 設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值分別為 3，-112. 已知滿足約束條件則函數(shù)取最小值是的最優(yōu)解是 （0,0）3. 已知，則的取值范圍是 4,74.使式中滿足約束條件,求在 的最大值為 5. 已知點(diǎn)P(x，y)在如圖所示的三角形區(qū)域中(包括邊界)，其中三頂點(diǎn) A(1，1)，B(5，2)，C(1，4)，若z=ax+y 取最大值時的最優(yōu)解有無數(shù)個,則正數(shù)a的值為 6、在線性約束條件下，則Zx+y的取值范圍為 Zx-y的取值范圍為 。6. 已知則的最小值為 5.7、已知函數(shù)且，求：（1）的取值范圍；（2）的最值；（3）的范圍 （4）的最值8. 某工廠制造甲、乙兩種產(chǎn)品，已知制造甲產(chǎn)品1kg要用煤9噸，電力4kw，勞力(按工作日計算)3個；制造乙產(chǎn)品1kg要用煤4噸，電力5kw，勞力10個又知制成甲產(chǎn)品1kg可獲利7萬元，制成乙產(chǎn)品1kg可獲利12萬元，現(xiàn)在此工廠只有煤360噸，電力200kw，勞力300個，在這種條件下應(yīng)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少千克，才能獲得最大經(jīng)濟(jì)效益?答：甲乙兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)20t，24t時，能使得利潤總額達(dá)到最大9、投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100t需要資金200萬元，需場地200m2,可獲利潤300萬元；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100t需要資金300萬元，需場地100 m2，可獲利200萬元?，F(xiàn)某單位可使用資金1400萬元，場地900 m2，問：應(yīng)作怎樣的組合投資，可使獲利最大？10、下表給出了X、Y、Z三種食物的維生素含量及成本：維生素A（單位/kg）維生素B（單位/kg）成 本（元/kg）X3007005Y5001004Z3003003某人欲將這三種食物混合成100kg的食品，要使混合食品中至少含有35000單位的維生素A及40000單位的維生素B，如果要使成本最低，那么X、Y、Z應(yīng)各取多少千克？ 11、某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1 t，需耗礦石4 t、煤3 t；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品1t，需耗礦石5t、煤10t.每1 t甲種產(chǎn)品的利潤是7萬元，每1 t乙種產(chǎn)品的利潤是12萬元.工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中要求消耗礦石不超過200 t、煤不超過200 t、煤不超過300 t，則甲、乙兩種產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少，能使利潤總額達(dá)到最大？12、一家飲料廠生產(chǎn)甲、乙兩種果汁飲料，甲種飲料的主要配方是每3份李子汁加1份蘋果汁，乙種飲料的配方是李子汁和蘋果汁各一半。該廠每天能獲得的原料是2000L李子汁和1000L蘋果汁，又廠方的利潤是生產(chǎn)1L甲種飲料得3元，生產(chǎn)1L乙種飲料得4元。那么廠方每天生產(chǎn)甲乙兩種飲料各多少，才能獲利最大？13、要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：規(guī)格類型鋼板類型A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板211第二種鋼板123今需要A、B、C三種規(guī)格的成品分別為15、18、27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少？14、某工廠工制造種電子裝置45臺，種裝置55臺，需用薄鋼板給每臺裝置配一個外殼，已知薄鋼板的面積有兩種規(guī)格，甲種薄鋼板每張面積2，可做、的外殼分別為個和個；乙種薄鋼板每張面積，可做、的外殼各個，求兩種薄鋼板各用多少張才能使總的用料面積最??？15、某運(yùn)輸公司向某地區(qū)運(yùn)送貨物，每天至少運(yùn)送180t。該公司有8輛載重為6t的A型卡車與4輛載重為10t的B型卡車，有10名駕駛員。每輛卡車每天往返次數(shù)為A型4次，B型3次。每輛卡車每天往返的成本費(fèi)為A型車為320元，B型車為504元。試為該公司設(shè)計調(diào)配車輛方案，使公司花費(fèi)的成本最低。 16、某運(yùn)輸公司向某地區(qū)運(yùn)送貨物，每天至少運(yùn)送180t。該公司有8輛載重為6t的A型卡車與4輛載重為10t的B型卡車，有10名駕駛員。每輛卡車每天往返次數(shù)為A型4次，B型3次。每輛卡車每天往返的成本費(fèi)為A型車為320元，B型車為504元。試為該公司設(shè)計調(diào)配車輛方案，使公司花費(fèi)的成本最低。 17、某制藥公司有三條生產(chǎn)線生產(chǎn)中成藥產(chǎn)品，公司進(jìn)行產(chǎn)品結(jié)構(gòu)調(diào)整，決定用現(xiàn)有產(chǎn)品生產(chǎn)線的剩余生產(chǎn)能力試生產(chǎn)兩種新產(chǎn)品。新產(chǎn)品的生產(chǎn)方式為批量生產(chǎn)：400個為一批。目前由于大多數(shù)生產(chǎn)設(shè)備已用于其他產(chǎn)品的生產(chǎn)，所以首先確定每周生產(chǎn)線可用的生產(chǎn)時間，以及各種產(chǎn)品每批的生產(chǎn)時間，時間單位以小時計。然后由生產(chǎn)中心確定生產(chǎn)成本，市場中心進(jìn)行定價，得到兩種新產(chǎn)品每一批的利潤。具體數(shù)據(jù)如下表所示： 生產(chǎn)線每批產(chǎn)品的生產(chǎn)時間（h）每周生產(chǎn)時間（h）產(chǎn)品一產(chǎn)品二11042