第三節(jié) 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.doc

第三節(jié)第三節(jié) 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用空間向量在立體幾何中的應(yīng)用 第一部分第一部分 六年高考薈萃六年高考薈萃 20102010 年高考題年高考題 一 選擇題一 選擇題 1 1 20102010 全國(guó)卷全國(guó)卷 2 2 理 理 11 與正方體 1111 ABCDABC D 的三條棱AB 1 CC 11 AD所 在直線的距離相等的點(diǎn) A 有且只有 1 個(gè) B 有且只有 2 個(gè) C 有且只有 3 個(gè) D 有無(wú)數(shù)個(gè) 答案 D 解析 直線上取一點(diǎn) 分別作垂直于于則 分別作 垂足分別為 M N Q 連 PM PN PQ 由三垂線 定理可得 PN PM PQ AB 由于正方體中各個(gè)表面 對(duì)等角全等 所以 PM PN PQ 即 P 到三條棱 AB CC1 A1D1 所在直線的 距離相等所以有無(wú)窮多點(diǎn)滿足條件 故選 D 2 2 20102010 遼寧理 遼寧理 12 12 有四根長(zhǎng)都為 2 的直鐵條 若再選兩根長(zhǎng)都為 a 的直鐵條 使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個(gè)三棱錐形的鐵架 則 a 的取值范圍是 A 0 62 B 1 2 2 C 62 62 D 0 2 2 答案 A 命題立意 本題考查了學(xué)生的空間想象能力以及靈活運(yùn)用知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力 解析 根據(jù)條件 四根長(zhǎng)為 2 的直鐵條與兩根長(zhǎng)為 a 的直鐵條要組成三棱鏡形的鐵架 有以下兩種情況 1 地面是邊長(zhǎng)為 2 的正三角形 三條側(cè)棱長(zhǎng)為 2 a a 如圖 此時(shí) a 可以取最大值 可知 AD 3 SD 2 1a 則有 2 1a 2 3 即 22 84 3 62 a 即有 a0 綜上分析可知 a 0 62 3 3 20102010 全國(guó)卷全國(guó)卷 2 2 文 文 11 與正方體 ABCD A1B1C1D1的三條棱 AB CC1 A1D1所在直線的 距離相等的點(diǎn) A 有且只有 1 個(gè) B 有且只有 2 個(gè) C 有且只有 3 個(gè) D 有無(wú)數(shù)個(gè) 答案 D D 解析解析 本題考查了空間想象能力 本題考查了空間想象能力 到三條兩垂直的直線距離相等的點(diǎn)在以三條直線為軸 以正方體邊長(zhǎng)為半徑的圓柱面上 到三條兩垂直的直線距離相等的點(diǎn)在以三條直線為軸 以正方體邊長(zhǎng)為半徑的圓柱面上 三個(gè)圓柱面有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn) 三個(gè)圓柱面有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn) 4 4 20102010 全國(guó)卷全國(guó)卷 2 2 文 文 8 已知三棱錐SABC 中 底面ABC為邊長(zhǎng)等于 2 的等邊三角 形 SA垂直于底面ABC SA 3 那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為 A 3 4 B 5 4 C 7 4 D 3 4 答案 D D 解析解析 本題考查了立體幾何的線與面 面與面位置關(guān)系及直線與平面所成角 本題考查了立體幾何的線與面 面與面位置關(guān)系及直線與平面所成角 過(guò)過(guò) A A 作作 AEAE 垂直于垂直于 BCBC 交交 BCBC 于于 E E 連結(jié) 連結(jié) SESE 過(guò) 過(guò) A A 作作 AFAF 垂直于垂直于 SESE 交交 SESE 于于 F F 連 連 BFBF 正三角形正三角形 ABCABC E E 為為 BCBC 中點(diǎn) 中點(diǎn) BC AEBC AE SA BCSA BC BC BC 面面 SAESAE BC AFBC AF AF SEAF SE AF AF 面面 SBCSBC ABF ABF 為直線為直線 ABAB 與面與面 SBCSBC 所成角 由正三角形邊長(zhǎng)所成角 由正三角形邊長(zhǎng) 3 3 3AE AS 3AS 3 SE SE 2 3 AF AF 3 2 A B C S E F A B C D A1 B1 C1 D1 O 3 sin 4 ABF 5 5 20102010 全國(guó)卷全國(guó)卷 1 1 文 文 9 正方體ABCD 1111 ABC D中 1 BB與平面 1 ACD所成角的余弦 值為 A 2 3 B 3 3 C 2 3 D 6 3 答案 D 命題意圖 本小題主要考查正方體的性質(zhì) 直線與平面所成的角 點(diǎn)到平面的距離的求 法 利用等體積轉(zhuǎn)化求出 D 到平面 AC 1 D的距離是解決本題的關(guān)鍵所在 這也是轉(zhuǎn)化思想的 具體體現(xiàn) 解析 1 因?yàn)?BB1 DD1 所以 B 1 B與平面 AC 1 D所成角和 DD1與平面 AC 1 D所成角相等 設(shè) DO 平面 AC 1 D 由等體積法得 11 D ACDDACD VV 即 1 1 11 33 ACDACD SDOSDD 設(shè) DD1 a 則 1 22 1 1133 sin60 2 2222 ACD SAC ADaa A 2 11 22 ACD SAD CDa A 所以 1 3 1 2 3 33 ACD ACD SDDa DOa Sa A 記 DD1與平面 AC 1 D所成角為 則 1 3 sin 3 DO DD 所以 6 cos 3 解析 2 設(shè)上下底面的中心分別為 1 OO 1 O O與平面AC 1 D所成角就是B 1 B與平面AC 1 D所成角 1 11 1 36 cos1 32 OO OOD OD 6 6 20102010 全國(guó)卷全國(guó)卷 1 1 理 理 12 已知在半徑為 2 的球面上有 A B C D 四點(diǎn) 若 AB CD 2 則 四面體 ABCD 的體積的最大值為 A 2 3 3 B 4 3 3 C 2 3 D 8 3 3 7 7 20102010 全國(guó)卷全國(guó)卷 1 1 理 理 7 正方體 ABCD 1111 ABC D中 B 1 B與平面AC 1 D所成角的余弦值 為 A 2 3 B 3 3 C 2 3 D 6 3 8 8 20102010 四川文 四川文 12 半徑為R的球O的直徑AB垂直于平面a 垂足為B BCD 是平面a內(nèi)邊長(zhǎng)為R的正三角形 線段AC AD分別與球面交于點(diǎn)M N 那么M N兩點(diǎn)間 的球面距離是 A 17 arccos 25 R B 18 arccos 25 R C 1 3 R D 4 15 R 答案 A 解析 由已知 AB 2R BC R 故tan BAC 1 2 cos BAC 2 5 5 連結(jié)OM 則 OAM為等腰三角形 AM 2AOcos BAC 4 5 5 R 同理AN 4 5 5 R 且MN CD 而AC 5R CD R 故MN CD AN AC MN 4 5 R 連結(jié)OM ON 有OM ON R 于是cos MON 222 17 225 OMONMN OM ON A 所以M N兩點(diǎn)間的球面距離是 17 arccos 25 R 二 填空題二 填空題 1 1 20102010 江西理 江西理 16 如圖 在三棱錐OABC 中 三條棱OA OB OC兩兩垂直 且OA OB OC 分別經(jīng)過(guò)三條棱OA OB OC作一個(gè)截面平分三棱錐的體積 截面面積依次為 1 S 2 S 3 S 則 1 S 2 S 3 S的大小關(guān)系為 答案 321 SSS 解析 考查立體圖形的空間感和數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用能力 通過(guò)補(bǔ)形 借助長(zhǎng)方體驗(yàn)證結(jié)論 特殊化 令邊長(zhǎng)為 1 2 3 得 321 SSS 2 2 20102010 北京文 北京文 14 如圖放置的邊長(zhǎng)為 1 的正方形 PABC 沿 x 軸滾動(dòng) 設(shè)頂點(diǎn) p x y 的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系是 yf x 則 f x的最小正周期為 yf x 在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖像與 x 軸 所圍區(qū)域的面積為 答案 4 1 說(shuō)明 正方形 PABC 沿 x 軸滾動(dòng) 包含沿 x 軸正方向和沿 x 軸負(fù)方向滾動(dòng) 沿 x 軸正方向 滾動(dòng)是指以頂點(diǎn) A 為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 當(dāng)頂點(diǎn) B 落在 x 軸上時(shí) 再以頂點(diǎn) B 為中心順時(shí)針 旋轉(zhuǎn) 如此繼續(xù) 類似地 正方形 PABC 可以沿著 x 軸負(fù)方向滾動(dòng) 3 3 20102010 北京理 北京理 14 如圖放置的邊長(zhǎng)為 1 的正方形 PABC 沿 x 軸滾動(dòng) 設(shè)頂點(diǎn) p x y 的軌跡方程是 yf x 則 A B f x的最小正周期為 yf x 在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖像與 x 軸所圍區(qū)域 的面積為 答案 4 1 說(shuō)明 說(shuō)明 正方形PABC沿 軸滾動(dòng) 包括沿 軸正方向和沿 軸負(fù)方向滾動(dòng) 沿 軸正方 向滾動(dòng)指的是先以頂點(diǎn)A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 當(dāng)頂點(diǎn)B落在 軸上時(shí) 再以頂點(diǎn) B 為中心 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 如此繼續(xù) 類似地 正方形PABC可以沿 軸負(fù)方向滾動(dòng) 4 4 20102010 四川文 四川文 15 如圖 二面角l 的大小是 60 線段AB Bl AB與l所成的角為 30 則AB與平面 所成的角的正弦值是 答案 3 4 解析 過(guò)點(diǎn)A作平面 的垂線 垂足為C 在 內(nèi)過(guò)C作l的垂線 垂足為D 連結(jié)AD 有三垂線定理可知AD l 故 ADC為二面角l 的平面角 為 60 又由已知 ABD 30 連結(jié)CB 則 ABC為AB與平面 所成的角 設(shè)AD 2 則AC 3 CD 1 AB 0 sin30 AD 4 sin ABC 3 4 AC AB 5 5 20102010 湖北文數(shù) 湖北文數(shù) 14 圓柱形容器內(nèi)盛有高度為 3cm 的水 若放入三個(gè)相 同的珠 球的半么與圓柱的底面半徑相同 后 水恰好淹沒(méi)最上面的球 如 圖所示 則球的半徑是 cm 答案 4 解析 設(shè)球半徑為 r 則由3VVV 和和和 可得3 322 4 86 3 rrrr 解 得 r 4 6 6 20102010 湖南理數(shù) 湖南理數(shù) 13 圖 3 中的三個(gè)直角三角形是一個(gè)體積為 20 3 cm的幾何體的三視 圖 則h cm A B C D 7 7 20102010 湖北理數(shù) 湖北理數(shù) 13 圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為 8cm 的水 若放入三 個(gè)相同的球 球的半徑與圓柱的底面半徑相同 后 水恰好淹沒(méi)最上面的 球 如圖所示 則球的半徑是 cm 答案 4 解析 設(shè)球半徑為 r 則由3VVV 和和和 可得3 322 4 86 3 rrrr 解得 r 4 8 8 20102010 福建理數(shù) 福建理數(shù) 12 若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示 則其表面積等于 答案 6 2 3 解析 由正視圖知 三棱柱是以底面邊長(zhǎng)為 2 高為 1 的正三棱柱 所以底面積為 3 242 3 4 側(cè)面積為3 2 16 所以其表面積為6 2 3 命題意圖 本題考查立體幾何中的三視圖 考查同學(xué)們識(shí)圖的能力 空間想象能力等基 本能力 三 解答題三 解答題 1 1 20102010 遼寧文 遼寧文 19 本小題滿分 12 分 如圖 棱柱 111 ABCABC 的側(cè)面 11 BCC B是菱形 11 BCAB 證明 平面 1 ABC 平面 11 ABC 設(shè)D是 11 AC上的點(diǎn) 且 1 AB平面 1 BCD 求 11 AD DC的值 解 因?yàn)閭?cè)面 BCC1B1是菱形 所以 11 BCCB 又已知BBCBABACB 1111 且 所又 CB1平面 A1BC1 又 CB1平面 AB1C 所以平面 CAB1平面 A1BC1 設(shè) BC1交 B1C 于點(diǎn) E 連結(jié) DE 則 DE 是平面 A1BC1與平面 B1CD 的交線 因?yàn)?A1B 平面 B1CD 所以 A1B DE 又 E 是 BC1的中點(diǎn) 所以 D 為 A1C1的中點(diǎn) 即 A1D DC1 1 2 2 20102010 遼寧理 遼寧理 19 本小題滿分 12 分 已知三棱錐 P ABC 中 PA ABC AB AC PA AC AB N 為 AB 上一點(diǎn) AB 4AN M S 分別為 PB BC 的中點(diǎn) 證明 CM SN 求 SN 與平面 CMN 所成角的大小 證明 設(shè) PA 1 以 A 為原點(diǎn) 射線 AB AC AP 分別為 x y z 軸正向建立空間直角坐標(biāo)系 如圖 則 P 0 0 1 C 0 1 0 B 2 0 0 M 1 0 1 2 N 1 2 0 0 S 1 1 2 0 4 分 111 1 1 0 222 CMSN 因?yàn)?11 00 22 CMSN 所以 CM SN 6 分 1 1 0 2 NC 設(shè) a x y z 為平面 CMN 的一個(gè)法向量 則 1 0 2 2 1 0 2 xyz x xy 令 得a 2 1 2 9 分 因?yàn)?1 1 2 2 cos 22 3 2 a SN 所以 SN 與片面 CMN 所成角為 45 12 分 3 3 20102010 全國(guó)卷全國(guó)卷 2 2 文 文 19 本小題滿分 12 分 如圖 直三棱柱 ABC A1B1C1 中 AC BC AA1 AB D 為 BB1的中點(diǎn) E 為 AB1上的一點(diǎn) AE 3 EB1 證明 DE 為異面直線 AB1與 CD 的公垂線 設(shè)異面直線 AB1與 CD 的夾角為 45 求二面角 A1 AC1 B1的大小 解析解析 本題考查了立體幾何中直線與平面 平面與平面及異面直線所成角與二面角的基本題考查了立體幾何中直線與平面 平面與平面及異面直線所成角與二面角的基 礎(chǔ)知識(shí) 礎(chǔ)知識(shí) 1 1 要證明 要證明 DEDE 為為 AB1AB1 與與 CDCD 的公垂線 即證明的公垂線 即證明 DEDE 與它們都垂直 由與它們都垂直 由 AE 3EB1AE 3EB1 有 有 DEDE 與與 BA1BA1 平行 由平行 由 A1ABB1A1ABB1 為正方形 可證得 證明為正方形 可證得 證明 CDCD 與與 DEDE 垂直 取垂直 取 ABAB 中點(diǎn)中點(diǎn) F F 連結(jié) 連結(jié) DFDF FCFC 證明 證明 DEDE 與平面與平面 CFDCFD 垂直即可證明垂直即可證明 DEDE 與與 CDCD 垂直 垂直 2 2 由條件將異面直線 由條件將異面直線 AB1AB1 CDCD 所成角找出即為所成角找出即為 FDCFDC 設(shè)出 設(shè)出 ABAB 連長(zhǎng) 求出所有能求出連長(zhǎng) 求出所有能求出 的邊長(zhǎng) 再作出二面角的平面角 根據(jù)所求的邊長(zhǎng)可通過(guò)解三角形求得 的邊長(zhǎng) 再作出二面角的平面角 根據(jù)所求的邊長(zhǎng)可通過(guò)解三角形求得 4 4 20102010 江西理 江西理 20 本小題滿分 12 分 如圖 BCD 與 MCD 都是邊長(zhǎng)為 2 的正三角形 平面 MCD 平面 BCD AB 平面 BCD 2 3AB 1 求點(diǎn) A 到平面 MBC 的距離 2 求平面 ACM 與平面 BCD 所成二面角的正弦值 解析 本題以圖形拼折為載體主要考查了考查立體圖形的空間感 點(diǎn)到直線的距離 二 面角 空間向量 二面角平面角的判斷有關(guān)知識(shí) 同時(shí)也考查了空間想象能力和推理能力 解法一 1 取CD中點(diǎn)O 連OB OM 則OB CD OM CD 又平面MCD 平面BCD 則MO 平面BCD 所以 MO AB A B O M共面 延長(zhǎng)AM BO相交于E 則 AEB就是 AM與平面BCD所成的角 OB MO 3 MO AB MO 面 ABC M O 到平面 ABC 的距離相等 作 OH BC 于 H 連 MH 則 MH BC 求得 OH OCsin600 3 2 MH 15 2 利用體積相等得 2 15 5 A MBCMABC VVd 2 CE是平面ACM與平面BCD的交線 由 1 知 O是BE的中點(diǎn) 則BCED是菱形 作BF EC于F 連AF 則AF EC AFB就是二面角A EC B的平面角 設(shè)為 因?yàn)?BCE 120 所以 BCF 60 sin603BFBC tan2 AB BF 2 5 sin 5 所以 所求二面角的正弦值是 2 5 5 點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng) 傳統(tǒng)方法在處理時(shí)要注意到輔助線的處理 一般采用射影 傳統(tǒng)方法在處理時(shí)要注意到輔助線的處理 一般采用射影 垂線 平行線等特殊位置的元素解決垂線 平行線等特殊位置的元素解決 解法二 取CD中點(diǎn)O 連OB OM 則OB CD OM CD 又平面 MCD 平面BCD 則MO 平面BCD 以O(shè)為原點(diǎn) 直線OC BO OM為x軸 y軸 z軸 建立空間直 y x M D C B O A z 角坐標(biāo)系如圖 OB OM 3 則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為O 0 0 0 C 1 0 0 M 0 0 3 B 0 3 0 A 0 3 23 1 設(shè) nx y z 是平面 MBC 的法向量 則BC 1 3 0 0 3 3 BM 由nBC 得30 xy 由nBM 得330yz 取 3 1 1 0 0 2 3 nBA 則距離 2 15 5 BA n d n 2 1 0 3 CM 1 3 2 3 CA 設(shè)平面ACM的法向量為 1 nx y z 由 1 1 nCM nCA 得 30 32 30 xz xyz 解得 3xz yz 取 1 3 1 1 n 又平面BCD的法向量為 0 0 1 n 則 1 1 1 1 cos 5 n n n n nn 設(shè)所求二面角為 則 2 12 5 sin1 55 點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng) 向量方法作為溝通代數(shù)和幾何的工具在考察中越來(lái)越常見 此類方法的要點(diǎn)在于向量方法作為溝通代數(shù)和幾何的工具在考察中越來(lái)越常見 此類方法的要點(diǎn)在于 建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 便于計(jì)算 位置關(guān)系明確 以計(jì)算代替分析 起到簡(jiǎn)化的作用 但計(jì)建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 便于計(jì)算 位置關(guān)系明確 以計(jì)算代替分析 起到簡(jiǎn)化的作用 但計(jì) 算必須慎之又慎算必須慎之又慎 5 5 20102010 重慶文 重慶文 20 本小題滿分 12 分 小問(wèn) 5 分 小問(wèn) 7 分 如題 20 圖 四棱錐PABCD 中 底面ABCD為矩形 PA 底面ABCD 2PAAB 點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn) 證明 AE 平面PBC 若1AD 求二面角BECD 的平面角的余弦值 z 6 6 20102010 浙江文 浙江文 20 本題滿分 14 分 如圖 在平行四邊形 ABCD 中 AB 2BC ABC 120 E 為線段 AB 的中點(diǎn) 將 ADE 沿直線 DE 翻折成 A DE 使平面 A DE 平面 BCD F 為線段 A C 的中點(diǎn) 求證 BF 平面 A DE 設(shè) M 為線段 DE 的中點(diǎn) 求直線 FM 與平 面 A DE 所成角的余弦值 7 7 20102010 重慶理 重慶理 19 本小題滿分 12 分 I 小問(wèn) 5 分 II 小問(wèn) 7 分 如題 19 圖 四棱錐 P ABCD 中 底面 ABCD 為矩形 PA 底面 ABCD PA AB 6 點(diǎn) E 是棱 PB 的中點(diǎn) I 求直線 AD 與平面 PBC 的距離 II 若 AD 3 求二面角 A EC D 的平面角的余弦值 8 8 20102010 北京文 北京文 18 本小題共 14 分 設(shè)定函數(shù) 32 0 3 a f xxbxcxd a 且方程 90fxx 的兩個(gè)根分別為 1 4 當(dāng) a 3 且曲線 yf x 過(guò)原點(diǎn)時(shí) 求 f x的解析式 若 f x在 無(wú)極值點(diǎn) 求 a 的取值范圍 解 由 32 3 a f xxbxcxd 得 2 2fxaxbxc 因?yàn)?2 9290fxxaxbxcx 的兩個(gè)根分別為 1 4 所以 290 168360 abc abc 當(dāng)3a 時(shí) 又由 式得 260 8120 bc bc 解得3 12bc 又因?yàn)榍€ yf x 過(guò)原點(diǎn) 所以0d 故 32 312f xxxx 由于 a 0 所以 32 3 a f xxbxcxd 在 內(nèi)無(wú)極值點(diǎn) 等價(jià)于 2 20fxaxbxc 在 內(nèi)恒成立 由 式得295 4ba ca 又 2 2 49 1 9 bacaa 解 0 9 1 9 0 a aa 得 1 9a 即a的取值范圍 1 9 9 9 20102010 北京理 北京理 16 本小題共 14 分 如圖 正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂 直 CE AC EF AC AB 2 CE EF 1 求證 AF 平面BDE 求證 CF 平面BDE 求二面角A BE D的大小 證明 I 設(shè) AC 與 BD 交與點(diǎn) G 因?yàn)?EF AG 且 EF 1 AG 1 2 AC 1 所以四邊形 AGEF 為平行四邊形 所以 AF 平面 EG 因?yàn)镋G 平面 BDE AF 平面 BDE 所以 AF 平面 BDE II 因?yàn)檎叫?ABCD 和四邊形 ACEF 所在的平面 相互垂直 且 CE AC 所以 CE 平面 ABCD 如圖 以 C 為原點(diǎn) 建立空間直角坐標(biāo)系 C xyz 則 C 0 0 0 A 2 2 0 B 0 2 0 所以 22 1 22 CF 0 2 1 BE 2 0 1 DE 所以0 1 10CF BE A 1 0 10CF DE A 所以CFBE CFDE 所以CF BDE III 由 II 知 22 1 22 CF 是平面 BDE 的一個(gè)法向量 設(shè)平面 ABE 的法向量 nx y z 則0n BA A 0n BE A 即 2 0 0 0 0 2 1 0 x y z x y z A A 所以0 x 且2 zy 令1 y 則2z 所以 0 1 2 n 從而 3 cos 2 n CF n CF n CF A 因?yàn)槎娼茿BED 為銳角 所以二面角ABED 的大小為 6 10 10 20102010 廣東文 廣東文 18 本小題滿分 14 分 如圖 4 弧 AEC 是半徑為a的半圓 AC 為直 徑 點(diǎn) E 為弧 AC 的中點(diǎn) 點(diǎn) B 和點(diǎn) C 為線 段 AD 的三等分點(diǎn) 平面 AEC 外一點(diǎn) F 滿足 FC 平面 BED FB a5 1 證明 EB FD 2 求點(diǎn) B 到平面 FED 的距離 1 證明 點(diǎn) E 為弧 AC 的中點(diǎn) 11 11 20102010 福建文 福建文 20 本小題滿分 12 分 如圖 在長(zhǎng)方體 ABCD A1B1C1D1中 E H 分別是棱 A1B1 D1C1上的點(diǎn) 點(diǎn) E 與 B1不重合 且 EH A1D1 過(guò) EH 的平面與棱 BB1 CC1相交 交點(diǎn)分別為 F G I 證明 AD 平面 EFGH II 設(shè) AB 2AA1 2a 在長(zhǎng)方體 ABCD A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn) 記 該點(diǎn)取自于幾何體 A1ABFE D1DCGH 內(nèi)的概率為 p 當(dāng)點(diǎn) E F 分別在 棱 A1B1 B1B 上運(yùn)動(dòng)且滿足 EF a 時(shí) 求 p 的最小值 12 12 20102010 湖南理 湖南理 13 13 20102010 江蘇卷 江蘇卷 16 本小題滿分 14 分 如圖 在四棱錐 P ABCD 中 PD 平面 ABCD PD DC BC 1 AB 2 AB DC BCD 900 1 求證 PC BC 2 求點(diǎn) A 到平面 PBC 的距離 解析 本小題主要考查直線與平面 平面與平面的位置關(guān)系 考查幾 何體的體積 考查空間想象能力 推理論證能力和運(yùn)算能力 滿分 14 分 1 證明 因?yàn)?PD 平面 ABCD BC 平面 ABCD 所以 PD BC 由 BCD 900 得 CD BC 又 PD DC D PD DC 平面 PCD 所以 BC 平面 PCD 因?yàn)?PC 平面 PCD 故 PC BC 2 方法一 分別取 AB PC 的中點(diǎn) E F 連 DE DF 則 易證 DE CB DE 平面 PBC 點(diǎn) D E 到平面 PBC 的距離相等 又點(diǎn) A 到平面 PBC 的距離等于 E 到平面 PBC 的距離的 2 倍 由 1 知 BC 平面 PCD 所以平面 PBC 平面 PCD 于 PC 因?yàn)?PD DC PF FC 所以 DF PC 所以 DF 平面 PBC 于 F 易知 DF 2 2 故點(diǎn) A 到平面 PBC 的距離等于2 方法二 體積法 連結(jié) AC 設(shè)點(diǎn) A 到平面 PBC 的距離為 h 因?yàn)?AB DC BCD 900 所以 ABC 900 從而 AB 2 BC 1 得ABC 的面積1 ABC S 由 PD 平面 ABCD 及 PD 1 得三棱錐 P ABC 的體積 11 33 ABC VSPD 因?yàn)?PD 平面 ABCD DC 平面 ABCD 所以 PD DC 又 PD DC 1 所以 22 2PCPDDC 由 PC BC BC 1 得PBC 的面積 2 2 PBC S 由 A PBCP ABC VV 11 33 PBC ShV A 得2h 故點(diǎn) A 到平面 PBC 的距離等于2 20092009 年高考題年高考題 一 填空題填空題 1 若等邊ABC 的邊長(zhǎng)為2 3 平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足 12 63 CMCBCA 則 MA MB 2 在空間直角坐標(biāo)系中 已知點(diǎn) A 1 0 2 B 1 3 1 點(diǎn) M 在 y 軸上 且 M 到 A 與到 B 的距離相等 則 M 的坐標(biāo)是 解析 設(shè) 0 0 My由 222 141 3 1yy 可得1y 故 0 1 0 M 答案 0 1 0 二 解答題二 解答題 3 本小題滿分 12 分 如圖 在五面體 ABCDEF 中 FA 平面 ABCD AD BC FE AB AD M 為 EC 的中點(diǎn) AF AB BC FE 1 2 AD I 求異面直線 BF 與 DE 所成的角的大小 II 證明平面 AMD 平面 CDE III 求二面角 A CD E 的余弦值 如圖所示 建立空間直角坐標(biāo)系 點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn) 設(shè) 1 AB依題意得 001B 011C 020D 110E 100F 2 1 1 2 1 M I 解 101BF 110DE 2 1 22 100 DEBF DEBF DEcos 于是BF 所以異面直線BF與DE所成的角的大小為 0 60 II 證明 由 2 1 1 2 1 AM 101CE 0AMCE020AD 可得 AMDCEAADAM ADCEAMCE 0 ADCE平面 故又 因此 CDEAMDCDECE平面 所以平面平面而 III 0 D 0 CDE Eu CEu zyxu 則 的法向量為解 設(shè)平面 111 1 0 0 可得令 于是 ux zy zx 又由題設(shè) 平面ACD的一個(gè)法向量為 100 v 3 3 13 100 cos vu vu vu 所以 4 本題滿分 15 分 如圖 平面PAC 平面ABC ABC 是以AC為斜邊的等腰直角三角形 E F O分別為PA PB AC的中點(diǎn) 16AC 10PAPC I 設(shè)G是OC的中點(diǎn) 證明 FG平面BOE II 證明 在ABO 內(nèi)存在一點(diǎn)M 使FM 平面BOE 并求點(diǎn)M到OA OB的距離 證明 I 如圖 連結(jié) OP 以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn) 分別以 OB OC OP 所在直線為x軸 y軸 z軸 建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz 則 0 0 0 0 8 0 8 0 0 0 8 0 OABC 0 0 6 0 4 3 PE 4 0 3F 由題意得 0 4 0 G因 8 0 0 0 4 3 OBOE 因此平面 BOE 的法向量為 0 3 4 n 4 4 3FG 得0n FG 又直線FG不在平面BOE內(nèi) 因此有 FG平面BOE 6 本小題滿分 12 分 如圖 已知兩個(gè)正方行 ABCD 和 DCEF 不在同一平面內(nèi) M N 分別為 AB DF 的中點(diǎn) I 若平面 ABCD 平面 DCEF 求直線 MN 與平面 DCEF 所成角的正值弦 II 用反證法證明 直線 ME 與 BN 是兩條異面直線 設(shè)正方形 ABCD DCEF 的邊長(zhǎng)為 2 以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn) 分別以射線 DC DF DA 為 x y z 軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖 則 M 1 0 2 N 0 1 0 可得MN 1 1 2 又DA 0 0 2 為平面 DCEF 的法向量 可得 cos MN DA 3 6 DAMN DAMN 所以 MN 與平面 DCEF 所成角的正弦值為 cos 3 6 DAMN 6 分 假設(shè)直線 ME 與 BN 共面 8 分 則 AB 平面 MBEN 且平面 MBEN 與平面 DCEF 交于 EN 由已知 兩正方形不共面 故 AB 平面 DCEF 又 AB CD 所以 AB 平面 DCEF 面 EN 為平面 MBEN 與平面 DCEF 的交線 所以 AB EN 又 AB CD EF 所以 EN EF 這與 EN EF E 矛盾 故假設(shè)不成立 所以 ME 與 BN 不共面 它們是異面直線 12 分 7 13 分 如圖 四邊形 ABCD 是邊長(zhǎng)為 1 的正方形 MDABCD 平面 NBABCD 平面 且 MD NB 1 E 為 BC 的中點(diǎn) 1 求異面直線 NE 與 AM 所成角的余弦值 2 在線段 AN 上是否存在點(diǎn) S 使得 ES 平面 AMN 若存在 求線段 AS 的長(zhǎng) 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 17 解析 1 在如圖 以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn) 建立空間直角坐標(biāo)Dxyz 依題意 得 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 2 DAMCBNE 1 0 1 1 0 1 2 NEAM 10 cos 10 NE AM NE AM NEAM A 所以異面直線NE與AM所成角的余弦值為 10 10 A 2 假設(shè)在線段AN上存在點(diǎn)S 使得ES 平面AMN 0 1 1 AN 可設(shè) 0 ASAN 又 11 1 0 1 22 EAESEAAS 由ES 平面AMN 得 0 0 ES AM ES AN A A 即 1 0 2 1 0 故 1 2 此時(shí) 1 12 0 2 22 ASAS 經(jīng)檢驗(yàn) 當(dāng) 2 2 AS 時(shí) ES 平面AMN 故線段AN上存在點(diǎn)S 使得ES 平面AMN 此時(shí) 2 2 AS 8 本小題滿分 12 分 如圖 直三棱柱 111 ABCABC 中 ABAC D E分別為 1 AA 1 BC的中點(diǎn) DE 平面 1 BCC I 證明 ABAC II 設(shè)二面角ABDC 為 60 求 1 BC與平面BCD所成的角的大小 分析一分析一 求 1 BC與平面BCD所成的線面角 只需求點(diǎn) 1 B到面BDC的距離即可 19 本小題滿分 12 分 問(wèn) 5 分 問(wèn) 7 分 如題 19 圖 在四棱錐SABCD 中 ADBCA且ADCD 平面CSD 平面ABCD 22CSDS CSAD E為BS的中點(diǎn) 2 3CEAS 求 點(diǎn)A到平面BCS的距離 二面角ECDA 的大小 如答 19 圖 2 以 S O 為坐標(biāo)原點(diǎn) 射線 OD OC 分別為 x 軸 y 軸正向 建立空 間坐標(biāo)系 設(shè) AAA A xyz 因平面 CODABCD ADCDADCOD 平面故平面 即點(diǎn) A 在 xoz 平面上 因此01 AA yzAD uuu v 又 2 22 13 2 2 01 AA xASx A uuv 從而 因 AD BC 故 BC 平面 CSD 即 BCS 與平面 yOx 重合 從而點(diǎn) A 到平面 BCS 的距離為2 A x 易知 C 0 2 0 D 0 0 因 E 為 BS 的中點(diǎn) BCS 為直角三角形 知 22 2BSCE uu vuuv 設(shè) B 0 2 B Z B Z 0 則 A Z 2 故 B 0 2 2 所以 E 0 1 1 在 CD 上取點(diǎn) G 設(shè) G 11 0 x y 使 GE CD 由 11 2 2 0 1 1 0CDGExyCD GE uuu vuu u vuuu v uu u v 故 11 22 1 0 xy 又點(diǎn) G 在直線 CD 上 即 CGCD uuu vuuu v 由CG uuu v 11 2 0 x y 則有 11 2 22 xy 聯(lián)立 解得 G 2 4 0 33 故GE uu u v 22 1 33 又由 AD CD 所以二面角 E CD A 的平面角為向量GE uu u v 與向量 DA uu u v 所成的角 記此角為 因?yàn)镚E uu u v 2 3 3 0 0 1 1 1DADAGE DA uu u vuu u vuu u v uu u v 所以 3 cos 2 GE DA GEDA uu u v uu u v uu u vuu u v 故所求的二面角的大小為 6 作AGBD 于G 連GC 則GCBD AGC 為二面角ABDC 的平面角 60AGC 不妨設(shè)2 3AC 則2 4AGGC 在RT ABD 中 由 AD ABBD AG 易得6AD 設(shè)點(diǎn) 1 B到面BDC的距離為h 1 BC與平面BCD所成的角為 利用 1 11 33 B BCBCD SDESh 可求得h 2 3 又可求得 1 4 3BC 1 1 sin30 2 h BC 即 1 BC與平面BCD所成的角為30 分析二分析二 作出 1 BC與平面BCD所成的角再行求解 如圖可證得BCAFED 面 所 以面AFEDBDC 面 由分析一易知 四邊形AFED為正方形 連AEDF 并設(shè)交點(diǎn)為O 則EOBDC 面 OC 為EC在面BDC內(nèi)的射影 ECO 即為所求 以下略 分析三 分析三 利用空間向量的方法求出面BDC的法向量n 則 1 BC與平面BCD所成的角 即為 1 BC 與法向量n 的夾角的余角 具體解法詳見高考試題參考答案 總之在目前 立體幾何中的兩種主要的處理方法 傳統(tǒng)方法與向量的方法仍處于各自半壁 江山的狀況 命題人在這里一定會(huì)兼顧雙方的利益 9 本小題共 14 分 如圖 四棱錐PABCD 的底面是正方形 PDABCD 底面 點(diǎn) E 在棱 PB 上 求證 平面AECPDB 平面 當(dāng)2PDAB 且 E 為 PB 的中點(diǎn)時(shí) 求 AE 與 平面 PDB 所成的角的大小 解法解法 2 2 如圖 以 D 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz 設(shè) ABa PDh 則 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A aB a aCaDPh 0 0 0 0ACa aDPhDBa a 0 0AC DPAC DB AC DP AC DB AC 平面 PDB 平面AECPDB 平面 當(dāng)2PDAB 且 E 為 PB 的中點(diǎn)時(shí) 112 0 0 2 222 PaEaaa 設(shè) AC BD O 連接 OE 由 知 AC 平面 PDB 于 O AEO 為 AE 與平面 PDB 所的角 1122 0 0 2222 EAaaaEOa 2 cos 2 EA EO AEO EAEO 45AOE 即 AE 與平面 PDB 所成的角的大小為45 10 本小題滿分 13 分 小問(wèn) 7 分 小問(wèn) 6 分 如題 18 圖 在五面體 ABCDEF 中 AB DC BAD 2 CD AD 2 四邊形 ABFE 為平行四邊形 FA 平面 ABCD FC 3 ED 7 求 直線 AB 到平面 EFCD 的距離 二面角 F AD E 的平面角的正切值 18 本小題滿分 12 分 如圖 4 在正三棱柱 111 ABCABC 中 2ABAA D 是 11 AB的中點(diǎn) 點(diǎn) E 在 11 AC上 且DEAE I 證明平面ADE 平面 11 ACC A II 求直線AD和平面ABC所成角的正弦值 解 I 如圖所示 由正三棱柱 111 ABCABC 的性質(zhì)知 1 AA 平面 111 ABC 又 DE 平面 A1B1C1 所以 DE AA1 而 DE AE AA1 AE A 所以 DE 平面 AC C1A1 又 DE 平面 ADE 故平面 ADE 平面 AC C1A1 解法解法 2 2 如圖所示 設(shè) O 使 AC 的中點(diǎn) 以 O 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 不妨設(shè) A A1 2 則 AB 2 相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 A 0 1 0 B 3 0 0 C1 0 1 2 D 2 3 2 1 2 易知AB 3 1 0 1 AC 0 2 2 AD 2 3 2 1 2 設(shè)平面 ABC1的法向量為 n x y z 則有 022 03 1 zyACn yxABn 解得 x 3 3 y z y2 故可取 n 1 3 6 所以 cos n AD ADn ADn 310 32 5 10 由此即知 直線 AD 和平面 AB C1所成角的正弦值為 5 10 11 本小題滿分 12 分 如圖 3 在正三棱柱ABC 1 A 1 B 1 C中 AB 4 A 1 A 7 點(diǎn)D是BC的中點(diǎn) 點(diǎn)E在AC 上 且DE 1 AE 證明 平面 1 ADE 平面 11 ACC A 求直線AD和平面 1 ADE所成角的正弦值 解法 2 2 如圖所示 設(shè) O 是 AC 的中點(diǎn) 以 O 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 則相關(guān)各 點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 A 2 0 0 1 A 2 0 7 D 1 3 E 1 0 0 易知 1 AB 3 3 7 DE 0 3 0 AD 3 3 0 設(shè) n x y z 是平面 1 ADE 的一個(gè)法向量 則 1 30 3370 n DE y n A Dxyz uuu v uuu u v 解得 7 0 3 xz y 故可取 n 7 0 3 于是 3 721 84 2 3 由此即知 直線AD和平面 1 ADE所成的角是正弦為 21 8 12 本小題滿分 12 分 在四棱錐PABCD 中 底面ABCD是矩形 PA 平面ABCD 4PAAD 2AB 以AC的中點(diǎn)O為球心 AC為直徑的球面交PD于點(diǎn)M 交PC于點(diǎn)N 1 求證 平面ABM 平面PCD 2 求直線CD與平面ACM所成的角的大小 3 求點(diǎn)N到平面ACM的距離 方法二 1 同方法一 2 如圖所示 建立空間直角坐標(biāo)系 則 0 0 0 A 0 0 4 P 2 0 0 B 2 4 0 C 0 4 0 D 0 2 2 M 設(shè)平面ACM的一 個(gè)法向量 nx y z 由 nAC nAM 可得 240 220 xy yz 令 1z 則 2 1 1 n 設(shè)所求角為 則 6 sin 3 CD n CD n 所以所求角的大小為 6 arcsin 3 3 由條件可得 ANNC 在Rt PAC 中 2 PAPN PC 所以 8 3 PN 則 10 3 NCPCPN 5 9 NC PC 所以所求距離等于點(diǎn)P到平面CA M距離的 5 9 設(shè)點(diǎn) cos nAD n AD nAD uuu r uuu r uuu r y x z D M C B P A A N A O P到平面CA M距離為h則 2 6 3 AP n h n 所以所求距離為 510 6 h 927 19 本小題滿分 12 分 如圖 正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互 相垂直 ABE是等腰直角三角形 45ABAE FAFEAEF I 求證 EFBCE 平面 II 設(shè)線段CD的中點(diǎn)為P 在直線AE上是否存在一點(diǎn)M 使得PMBCEA平面 若存在 請(qǐng)指出點(diǎn)M的位置 并證明你的結(jié)論 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 III 求二面角FBDA 的大小 因?yàn)?ABE 為等腰直角三角形 AB AE 所以 AE AB 又因?yàn)槠矫?ABEF 平面 ABCD AE 平面 ABEF 平面 ABEF 平面 ABCD AB 所以 AE 平面 ABCD 所以 AE AD 因此 AD AB AE 兩兩垂直 以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn) 建立 如圖所示的直角坐標(biāo)系 A xyz 設(shè) AB 1 則 AE 1 B 0 1 0 D 1 0 0 E 0 0 1 C 1 1 0 因?yàn)?FA FE AEF 45 所以 AFE 90 從而 1 1 0 2 2 F 所以 1 1 0 2 2 EF 0 1 1 BE 1 0 0 BC 11 00 22 EFBE 0EFBC 所以 EF BE EF BC 因?yàn)?BE 平面 BCE BC BE B 所以 EF 平面 BCE 存在點(diǎn) M 當(dāng) M 為 AE 中點(diǎn)時(shí) PM 平面 BCE M 0 0 1 2 P 1 1 2 0 從而PM 1 1 1 2 2 于是PM EF 1 1 1 2 2 11 0 22 0 所以 PM FE 又 EF 平面 BCE 直線 PM 不在平面 BCE 內(nèi) 故 PMM 平面 BCE 8 分 設(shè)平面 BDF 的一個(gè)法向量為 1 n 并設(shè) 1 n x y z 110BD uuu v 3 1 0 2 2 BF uu u v 1 1 n0 n0 BD BF u v uu u v g u v uu u v g 即 xy0 31 yz0 22 取 y 1 則 x 1 z 3 從而 1 n113 取平面 ABD 的一個(gè)法向量為 2 n 0 0 1 12 2 12 n n33 11 cos n n 1111 1 nn 1 uv uu v u u v uu v g uv uu v g 故二面角 F BD A 的大小為 arccos 3 11 11 12 分 14 本題滿分 14 分 如圖 在直三棱柱 111 ABCABC 中 1 2AABCAB ABBC 求二面角 111 BACC 的大小 簡(jiǎn)答 3 20052005 20082008 年高考題年高考題 解答題解答題 1 1 20082008 全國(guó)全國(guó) 19 19 本小題滿分 本小題滿分 1212 分 分 如圖 正四棱柱如圖 正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 中 1 24AAAB 點(diǎn) 點(diǎn)E在在 1 CC上且上且 ECEC3 1 證明 證明 1 AC 平面平面BED 求二面角 求二面角 1 ADEB 的大小 的大小 以D為坐標(biāo)原點(diǎn) 射線DA為x軸的正半軸 建立如圖所示直角坐標(biāo)系Dxyz 依題設(shè) 1 2 2 0 0 2 0 0 21 2 0 4 BCEA 0 21 2 2 0 DEDB 11 2 24 2 0 4 ACDA 證明證明 因?yàn)?1 0AC DB A 1 0AC DE A 故 1 ACBD 1 ACDE 又DBDED 所以 1 AC 平面DBE 解解 設(shè)向量 xyz n是平面 1 DAE的法向量 則 DE n 1 DA n 故20yz 240 xz 令1y 則2z 4x 412 n 1 AC n等于二面角 1 ADEB 的平面角 A B CD E A1 B1 C1 D1 A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z N M A B D C O xy z N M A B D C O P 42 14 cos 1 1 1 CAn CAn CAn 所以二面角 1 ADEB 的大小為 14 arccos 42 2 2 20082008 安徽 安徽 如圖 在四棱錐OABCD 中 底面ABCD四邊長(zhǎng) 為 1 的菱形 4 ABC OAABCD 和和 2OA M為 OA的中點(diǎn) N為BC的中點(diǎn) 證明 直線MNOCD和和 求異面直線AB與MD所成角的大小 求點(diǎn) B 到平面OCD的距離 作APCD 于點(diǎn)P 如圖 分別以AB AP AO所在直線為 x y z軸建立坐標(biāo)系 22222 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 1 0 22244 ABPDOMN 1 1 證明證明 22222 1 1 0 2 2 44222 MNOPOD 設(shè)平面OCD的法向量為 nx y z 則0 0n OPn OD AA 即 2 20 2 22 20 22 yz xyz 取2z 解得 0 4 2 n 22 1 1 0 4 2 0 44 MN n A A MNOCD 和和 2 2 解解 設(shè)AB與MD所成的角為 22 1 0 0 1 22 ABMD 1 cos 23 AB MD ABMD A AB與MD所成角的大小為 3 3 3 解解 設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為d 則d為OB 在向量 0 4 2 n 上的投影的絕對(duì)值 由 1 0 2 OB 得 2 3 OB n d n 所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為 2 3 3 3 20082008 湖南湖南 1717 如圖所示 四棱錐P ABCD的底面 ABCD是邊長(zhǎng)為 1 的菱形 BCD 60 E是CD 的中點(diǎn) PA 底面ABCD PA 2 證明 平面PBE 平面PAB 求平面PAD和平面PBE所成二面角 銳角 的大小 如圖所示 以A為原點(diǎn) 建立空間直角坐標(biāo)系 則相關(guān)各點(diǎn)的 坐標(biāo)分別是A 0 0 0 B 1 0 0 33 0 22 C 13 0 22 DP 0 0 2 3 1 0 2 E 證明證明 因?yàn)?3 0 0 2 BE 平面PAB的一個(gè)法向量是 0 0 1 0 n 所以 0 BEn和共線 從而BE 平面PAB 又因?yàn)锽E 平面PBE 故平面PBE 平面PAB 解解 易知 3 1 0 2 0 0 2 PBBE 13 0 0 2 0 22 PAAD 設(shè) 1111 nx y z 是平面PBE的一個(gè)法向量 則由