中考壓軸題---------圓.doc

。中考壓軸題-圓一、知識提要二、精講精練1 （2011湖南湘潭）已知，AB是O的直徑，AB=8，點(diǎn)C在O的半徑OA上運(yùn)動(dòng)，PCAB，垂足為C，PC=5，PT為O的切線，切點(diǎn)為T（1）如圖（1），當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)，求PT的長；（2）如圖（2），當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，連結(jié)PO、BT，求證：POBT；（3）如圖（3），設(shè)，求與的函數(shù)關(guān)系式及的最小值 2 （2010廣東廣州）如圖，O的半徑為1，點(diǎn)P是O上一點(diǎn)，弦AB垂直平分線段OP，點(diǎn)D是弧APB上任一點(diǎn)（與端點(diǎn)A、B不重合），DEAB于點(diǎn)E，以點(diǎn)D為圓心、DE長為半徑作D，分別過點(diǎn)A、B作D的切線，兩條切線相交于點(diǎn)C（1）求弦AB的長；（2）判斷ACB是否為定值，若是，求出ACB的大?。环駝t，請說明理由；CPDOBAE（3）記ABC的面積為S，若4，求ABC的周長3 （2011福建莆田）已知菱形ABCD的邊長為1ADC=60，等邊AEF兩邊分別交邊DC、CB于點(diǎn)E、F（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)E、F分別是邊DC、CB的中點(diǎn)求證：菱形ABCD對角線AC、BD交點(diǎn)O即為等邊AEF的外心；（2）若點(diǎn)E、F始終分別在邊DC、CB上移動(dòng)記等邊AEF的外心為點(diǎn)P猜想驗(yàn)證：如圖2，猜想AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；拓展運(yùn)用：如圖3，當(dāng)AEF面積最小時(shí)，過點(diǎn)P任作一直線分別交邊DA于點(diǎn)M，交邊DC的延長線于點(diǎn)N，試判斷是否為定值若是請求出該定值；若不是請說明理由圖2圖1圖34 (2010四川成都)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若將經(jīng)過兩點(diǎn)的直線沿軸向下平移3個(gè)單位后恰好經(jīng)過原點(diǎn)，且拋物線的對稱軸是直線（1）求直線及拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如果P是線段上一點(diǎn)，設(shè)、的面積分別為、，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)Q的半徑為1，圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在Q與坐標(biāo)軸相切的情況？若存在，求出圓心的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由并探究：若設(shè)Q的半徑為，圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取何值時(shí)，Q與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相切？5 （2010福建福州）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在直線上，過點(diǎn)B作軸的垂線，垂足為A，OA=5若拋物線過點(diǎn)O、A兩點(diǎn)（1）求該拋物線的解析式；（2）若A點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為C，判斷點(diǎn)C是否在該拋物線上，并說明理由；（3）如圖2，在（2）的條件下，O1是以BC為直徑的圓過原點(diǎn)O作O1的切線OP，P為切點(diǎn)（P與點(diǎn)C不重合），拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以PQ為直徑的圓與O1相切？若存在，求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 三、測試提高1. （2011廣西崇左）已知拋物線y=x2+4x+m（m為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)（0，4）（1）求m的值；（2）將該拋物線先向右、再向下平移得到另一條拋物線已知平移后的拋物線滿足下述兩個(gè)條件：它的對稱軸（設(shè)為直線l2）與平移前的拋物線的對稱軸（設(shè)為直線l1）關(guān)于y軸對稱；它所對應(yīng)的函數(shù)的最小值為-8試求平移后的拋物線的解析式；試問在平移后的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以3為半徑的圓P既與x軸相切，又與直線l2相交？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出直線l2被圓P所截得的弦AB的長度；若不存在，請說明理由 第十一講 中考壓軸題綜合訓(xùn)練一一、知識提要二、精講精練1. （2011河南）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為8（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點(diǎn)D，作PEAB于點(diǎn)E設(shè)PDE的周長為，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值；連接PA，以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí)，直接寫出對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo) 備用圖2. （2009浙江臺州）如圖，已知直線交坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)，以線段AB為邊向上作正方形ABCD，過點(diǎn)A，D，C的拋物線與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為E（1）請直接寫出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)； （2）求拋物線的解析式；（3）若正方形以每秒個(gè)單位長度的速度沿射線下滑，直至頂點(diǎn)落在軸上時(shí)停止設(shè)正方形落在軸下方部分的面積為，求關(guān)于滑行時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量的取值范圍；（4）在（3）的條件下，拋物線也隨正方形一起平移，同時(shí)停止，求拋物線上C，E兩點(diǎn)間的拋物線弧所掃過的面積備用圖3. （2009四川成都）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為M，若直線MC的函數(shù)表達(dá)式為，與x軸的交點(diǎn)為N，且BCO（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）在此拋物線上是否存在異于點(diǎn)C的點(diǎn)P，使以N、P、C為頂點(diǎn)的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）過點(diǎn)A作x軸的垂線，交直線MC于點(diǎn)Q若將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段NQ總有公共點(diǎn)，則拋物線向上最多可平移多少個(gè)單位長度?向下最多可平移多少個(gè)單位長度?4. （2011湖北孝感）如圖（1），矩形ABCD的一邊BC在直角坐標(biāo)系中軸上，折疊邊AD，使點(diǎn)D落在軸上點(diǎn)F處，折痕為AE，已知AB=8，AD=10，并設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（），其中（1）求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)（用含的式子表示）； （2）連接OA，若OAF是等腰三角形，求的值； （3）如圖（2），設(shè)拋物線經(jīng)過A、E兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為M，連接AM，若OAM=90，求a、h、m的值 5. （2011浙江麗水）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0）以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C， 點(diǎn)B是該半圓周上一動(dòng)點(diǎn)，連接OB、AB，并延長AB至點(diǎn)D，使DB=AB，過點(diǎn)D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E為垂足，連接CF(1)當(dāng)AOB=30時(shí)，求弧AB的長；(2)當(dāng)DE=8時(shí)，求線段EF的長；OBDECFxyA(3)在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由三、測試提高1. (2011浙江金華)如圖，把含有30角的三角板ABO置入平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，0）和(0，3）動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿折線AO-OB-BA運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在AO，OB，BA上運(yùn)動(dòng)的面四民數(shù)學(xué)興趣小組對捐款情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查，速度分別為1，2 (長度單位/秒). 一直尺的上邊緣l從x軸的位置開始以 (長度單位/秒)的速度向上平行移動(dòng)（即移動(dòng)過程中保持lx軸），且分別與OB，AB交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線l同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P沿折線AO-OB-BA運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，直線l和動(dòng)點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)請解答下列問題：（1）過A，B兩點(diǎn)的直線解析式是 ；（2）當(dāng)t4時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ；當(dāng)t ，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合； （3） 作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)P 在運(yùn)動(dòng)過程中，若形成的四邊形PEPF為菱形，則t的值是多少？ 當(dāng)t2時(shí)，是否存在著點(diǎn)Q，使得FEQ BEP?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由第十二講 中考壓軸題綜合訓(xùn)練二一、知識提要基本方法：_;_;_二、精講精練1. （2011湖北咸寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸，軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形（1）直接寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，并求直線AB與CD交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB以每秒個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作，垂足為H，連接MP，MH設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒若MPH與矩形AOCD重合部分的面積為1，求t的值；點(diǎn)Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)，問BP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果沒有，請說明理由備用圖1 備用圖22. （2011江蘇蘇州）已知二次函數(shù)的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)（1）如圖，連接AC，將OAC沿直線AC翻折，若點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)O恰好落在該拋物線的對稱軸上，求實(shí)數(shù)a的值；（2）如圖，在正方形EFGH中，點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別是（4，4）、（4，3），邊HG位于邊EF的右側(cè)小林同學(xué)經(jīng)過探索后發(fā)現(xiàn)了一個(gè)正確的命題：“若點(diǎn)P是邊EH或邊HG上的任意一點(diǎn)，則四條線段PA、PB、PC、PD不能與任何一個(gè)平行四邊形的四條邊對應(yīng)相等（即這四條線段不能構(gòu)成平行四邊形）”若點(diǎn)P是邊EF或邊FG上的任意一點(diǎn)，剛才的結(jié)論是否也成立？請你積極探索，并寫出探索過程；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對稱軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)t是大于3的常數(shù)，試問：是否存在一個(gè)正數(shù)a，使得四條線段PA、PB、PC、PD與一個(gè)平行四邊形的四條邊對應(yīng)相等（即這四條線段能構(gòu)成平行四邊形）？請說明理由3. （2010浙江舟山）如圖，在菱形ABCD中，AB=2cm，BAD=60，E為CD邊中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AC方向以每秒cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿DB方向以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒（1） 當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上運(yùn)動(dòng)時(shí)請用含x的代數(shù)式表示OP的長度；若記四邊形PBEQ的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2） 顯然，當(dāng)x=0時(shí)，四邊形PBEQ即梯形ABED，請問，當(dāng)P在線段AC的其他位置時(shí)，以P，B，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為梯形？若能，求出所有滿足條件的x的值；若不能，請說明理由4. （2011北京）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們把由兩條射線AE，BF和以AB為直徑的半圓所組成的圖形叫作圖形C已知A（，），B（，），AEBF，且半圓與y軸的交點(diǎn)D在射線AE的反向延長線上（1）求兩條射線AE，BF所在直線的距離；（2）當(dāng)一次函數(shù)的圖象與圖形C恰好只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，寫出b的取值范圍；當(dāng)一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，寫出b的取值范圍；（3）已知AMPQ（四個(gè)頂點(diǎn)A、M、P、Q按順時(shí)針方向排列）的各頂點(diǎn)都在圖形C上，且不都在兩條射線上，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x的取值范圍5. （2011廣東珠海）如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，ADAB1，BC2將點(diǎn)A折疊到CD邊上，記折疊后A點(diǎn)對應(yīng)的點(diǎn)為P（P與D點(diǎn)不重合），折痕EF只與邊AD、BC相交，交點(diǎn)分別為E、F過點(diǎn)P作PNBC交AB于N、交EF于M，連結(jié)PA、PE、AM，EF與PA相交于O（1）指出四邊形PEAM的形狀（不需證明）；（2）記EPMa，AOM、AMN的面積分別為S1、S2 求證：PA2 設(shè)ANx，y，試求出以x為自變量的函數(shù)y的解析式，并確定y的取值范圍1. （2012寧夏區(qū)10分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一點(diǎn)（P與B、C不重合），過點(diǎn)P作APPE，垂足為P，PE交CD于點(diǎn)E.(1)連接AE，當(dāng)APE與ADE全等時(shí)，求BP的長；(2)若設(shè)BP為x，CE為y，試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？(3)若PEBD，試求出此時(shí)BP的長.【答案】解：（1）APEADE，AP=AD=3。在RtABP中，AB=2，BP=。（2）APPE，RtABPRtPCE。 ，即。 當(dāng)時(shí)，y的值最大，最大值是。（2）設(shè)BP=x, 由（2）得。PEBD，CPECBD。， 即，化簡得。解得或（不合題意，舍去）。當(dāng)BP= 時(shí)， PEBD?！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，平行的性質(zhì)，解一元二次方程?！痉治觥浚?）由APEADE可得AP=AD=3，在RtABP中，應(yīng)用勾股定理即可求得BP的長。（2）由APPE，得RtABPRtPCE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可列式得y與x的函數(shù)關(guān)系式。化為頂點(diǎn)式即可求得當(dāng)時(shí)，y的值最大，最大值是。（3）由PEBD，得CPECBD，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可列式可求得BP的長。2. （2012山西省12分）問題情境：將一副直角三角板（RtABC和RtDEF）按圖1所示的方式擺放，其中ACB=90，CA=CB，F(xiàn)DE=90，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，DFAC于點(diǎn)M，DEBC于點(diǎn)N，試判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由探究展示：小宇同學(xué)展示出如下正確的解法：解：OM=ON，證明如下：連接CO，則CO是AB邊上中線，CA=CB，CO是ACB的角平分線（依據(jù)1）OMAC，ONBC，OM=ON（依據(jù)2）反思交流：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)1： 依據(jù)2： （2）你有與小宇不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過程拓展延伸：（3）將圖1中的RtDEF沿著射線BA的方向平移至如圖2所示的位置，使點(diǎn)D落在BA的延長線上，F(xiàn)D的延長線與CA的延長線垂直相交于點(diǎn)M，BC的延長線與DE垂直相交于點(diǎn)N，連接OM、ON，試判斷線段OM、ON的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并寫出證明過程【答案】（1）解：等腰三角形三線合一（或等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合）；角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。（2）證明：CA=CB，A=B。O是AB的中點(diǎn)，OA=OB。DFAC，DEBC，AMO=BNO=90。在OMA和ONB中，A=B，OA=OB，AMO=BNO，OMAONB（AAS）。OM=ON。（3）解：OM=ON，OMON。理由如下：連接CO，則CO是AB邊上的中線。ACB=90，OC=AB=OB。又CA=CB，CAB=B=45，1=2=45，AOC=BOC=90。2=B。BNDE，BND=90。又B=45，3=45。3=B。DN=NB。ACB=90，NCM=90。又BNDE，DNC=90。四邊形DMCN是矩形。DN=MC。MC=NB。MOCNOB（SAS）。OM=ON，MOC=NOB。MOCCON=NOBCON，即MON=BOC=90。OMON?！究键c(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）根據(jù)等腰三角形和角平分線的性質(zhì)直接作答。（2）利用AAS證明OMAONB即可。（3）利用SAS證明MOCNOB即可得到OM=ON，MOC=NOB。通過角的等量代換即可得MON=BOC=90，而得到OMON。3. （2012福建廈門10分）已知ABCD，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在邊AD上，過點(diǎn)P分別作PEAC、PFBD，垂足分別為E、F，PEPF（1）如圖，若PE，EO1，求EPF的度數(shù)；（2）若點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DO的中點(diǎn)，BF BC34，求BC的長【答案】解：（1）連接PO , PEPF，POPO，PEAC、PFBD， RtPEORtPFO（HL）。EPOFPO。在RtPEO中， tanEPO， EPO30。 EPF60。（2）點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)， APDP。又 PEPF， RtPEARtPFD（HL）。OADODA。 OAOD。 AC2OA2ODBD。ABCD是矩形。 點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DO的中點(diǎn)， AOPF。 PFBD， ACBD。ABCD是菱形。ABCD是正方形。 BDBC。 BFBD，BC34BC，解得，BC4?！究键c(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥浚?）連接PO，利用解直角三角形求出EPO=30，再利用“HL”證明PEO和PFO全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得FPO=EPO，從而得解。（2）根據(jù)條件證出 ABCD是正方形。根據(jù)正方形的對角線與邊長的關(guān)系列式計(jì)算即可得解。4. （2012甘肅白銀10分）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在O上，AB=AC，AD與BC相交于點(diǎn)E，延長DB到點(diǎn)F，使，連接AF（1）證明：BDEFDA；（2）試判斷直線AF與O的位置關(guān)系，并給出證明【答案】解:（1）證明：在BDE和FDA中，F(xiàn)BBD，AEED，。又BDEFDA，BDEFDA。（2）直線AF與O相切。證明如下：連接OA，OB，OC，ABAC，BOCO，OAOA，OABOAC（SSS）。OABOAC。AO是等腰三角形ABC頂角BAC的平分線。AOBC。BDEFDA，得EBDAFD，BEFA。AOBE，AOFA。直線AF與O相切?！究键c(diǎn)】相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，切線的判定?！痉治觥浚?）因?yàn)锽DE公共，夾此角的兩邊BD：DF=ED：AD=2：3，由相似三角形的判定，可知BDEFDA。（2）連接OA、OB、OC，證明OABOAC，得出AOBC再由BDEFDA，得出EBD=AFD，則BEFA，從而AOFA，得出直線AF與O相切。5. （2012廣東廣州14分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，CEAB于E，設(shè)ABC=（6090）（1）當(dāng)=60時(shí)，求CE的長；（2）當(dāng)6090時(shí)，是否存在正整數(shù)k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由連接CF，當(dāng)CE2CF2取最大值時(shí)，求tanDCF的值【答案】解：（1）=60，BC=10，sin=，即sin60=，解得CE=。（2）存在k=3，使得EFD=kAEF。理由如下：連接CF并延長交BA的延長線于點(diǎn)G，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，AF=FD。在平行四邊形ABCD中，ABCD，G=DCF。在AFG和CFD中，G=DCF， G=DCF，AF=FD，AFGCFD（AAS）。CF=GF，AG=CD。CEAB，EF=GF。AEF=G。AB=5，BC=10，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，AG=5，AF=AD=BC=5。AG=AF。AFG=G。在AFG中，EFC=AEF+G=2AEF，又CFD=AFG，CFD=AEF。EFD=EFC+CFD=2AEF+AEF=3AEF，因此，存在正整數(shù)k=3，使得EFD=3AEF。設(shè)BE=x，AG=CD=AB=5，EG=AE+AG=5x+5=10x，在RtBCE中，CE2=BC2BE2=100x2。在RtCEG中，CG2=EG2+CE2=（10x）2+100x2=20020x。CF=GF（中已證），CF2=（CG）2=CG2=（20020x）=505x。CE2CF2=100x250+5x=x2+5x+50=（x）2+50+。當(dāng)x=，即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，CE2CF2取最大值。此時(shí)，EG=10x=10，CE=，?！究键c(diǎn)】銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，平行四邊形的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，勾股定理?！痉治觥浚?）利用60角的正弦值列式計(jì)算即可得解。（2）連接CF并延長交BA的延長線于點(diǎn)G，利用“角邊角”證明AFG和CFD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=GF，再根據(jù)AB、BC的長度可得AG=AF，然后利用等邊對等角的性質(zhì)可得AEF=G=AFG，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得EFC=2G，然后推出EFD=3AEF，從而得解。設(shè)BE=x，在RtBCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的長度，在RtCEG中，利用勾股定理表示出CG2，從而得到CF2，然后相減并整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答。6. （2012廣東肇慶10分）如圖，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，連結(jié)BE、AD交于點(diǎn)P. 求證：（1）D是BC的中點(diǎn)；（2）BEC ADC；（3）AB CE=2DPAD【答案】證明：（1）AB是O的直徑，ADB=90，即ADBC。AB=AC，D是BC的中點(diǎn)。（2）AB是O的直徑，AEB=ADB=90，即CEB=CDA=90，C是公共角，BECADC。（3）BECADC，CBE=CAD。AB=AC，AD=CD，BAD=CAD。BAD=CBE。ADB=BEC=90，ABDBCE。BC=2BD，即。BDP=BEC=90，PBD=CBE，BPDBCE。，即ABCE=2DPAD?！究键c(diǎn)】圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）由AB是O的直徑，可得ADBC，又由AB=AC，由三線合一，即可證得D是BC的中點(diǎn)。（2）由AB是O的直徑，AEB=ADB=90，又由C是公共角，即可證得BECADC。（3）易證得ABDBCE與BPDBCE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例與BC=2BD，即可證得ABCE=2DPAD。7. （2012貴州畢節(jié)14分）如圖，AB是O的直徑，AC為弦，D是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作EFAC的延長線于E，交AB的延長線于E，交AB的延長線于F。（1）求證：EF是O的切線；（2）若F=，AE=4，求O的半徑和AC的長?！敬鸢浮浚?）證明：連接OD，D是的中點(diǎn)，BOD=A。ODAC。EFAC，E=90。ODF=90。EF是O的切線；（2）解：在AEF中，E=90，sinF= ，AE=4，。設(shè)O的半徑為R，則OD=OA=OB=R，AB=2R在ODF中，ODF=90，sinF=，OF=3OD=3R。OF+OA=AF，3R+R=12，R=3。連接BC，則ACB=90。E=90，BCEF。AC：AE=AB：AF。AC：4=2R：4R，AC=2。O的半徑為3，AC的長為2?！究键c(diǎn)】弧、圓周角和圓心角的關(guān)系，圓周角定理，平行的判定和性質(zhì)，切線的判定，銳角三角函數(shù)定義，平行線分線段成比例定理?！痉治觥浚?）連接OD，根據(jù)圓周角定理，可得BOD=A，則ODAC，從而得出ODF=90，即EF是O的切線。（2）先解直角AEF，由sinF= ，得出AF=3AE=12，再在RtODF中，由sinF=，得出OF=3OD，設(shè)O的半徑為R，由AF=12列出關(guān)于R的方程，解方程即可求出O的半徑。連接BC，證明BCEF，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出AC：AE=AB：AF，即可求出AC的長。8. （2012江蘇泰州12分）如圖，已知直線l與O相離，OAl于點(diǎn)A，OA=5，OA與O相交于點(diǎn)P，AB與O相切于點(diǎn)B，BP的延長線交直線l于點(diǎn)C（1）試判斷線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若PC=，求O的半徑和線段PB的長；（3）若在O上存在點(diǎn)Q，使QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求O的半徑r的取值范圍【答案】解：（1）AB=AC。理由如下：連接OB。AB切O于B，OAAC，OBA=OAC=90。OBP+ABP=90，ACP+CPB=90。OP=OB，OBP=OPB。OPB=APC，ACP=ABC。AB=AC。（2）延長AP交O于D，連接BD，設(shè)圓半徑為r，則由OA=5得，OP=OB=r，PA=5r。又PC=， 。由（1）AB=AC得，解得：r=3。AB=AC=4。PD是直徑，PBD=90=PAC。DPB=CPA，DPBCPA。，即，解得。 （3）作線段AC的垂直平分線MN，作OEMN，則OE=AC=AB=。又圓O要與直線MN交點(diǎn)，OE=r，r。又圓O與直線l相離，r5。O的半徑r的取值范圍為r5【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)和垂直得出OBA=OAC=90，推出OBP+ABP=90，ACP+CPB=90，求出ACP=ABC，根據(jù)等腰三角形的判定推出即可。（2）延長AP交O于D，連接BD，設(shè)圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5r，根據(jù)AB=AC推出，求出r，證DPBCPA，得出 ，代入求出PB即可。（3）根據(jù)已知得出Q在AC的垂直平分線上，作出線段AC的垂直平分線MN，作OEMN，求出OEr，求出r范圍，再根據(jù)相離得出r5，即可得出答案。9. （2012江蘇南京10分）如圖，A、B為O上的兩個(gè)定點(diǎn)，P是O上的動(dòng)點(diǎn)（P不與A、B重合），我們稱APB為O上關(guān)于A、B的滑動(dòng)角。（1）已知APB是上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角。 若AB為O的直徑，則APB= 若O半徑為1，AB=，求APB的度數(shù)（2）已知為外一點(diǎn)，以為圓心作一個(gè)圓與相交于A、B兩點(diǎn)，APB為上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角，直線PA、PB分別交于點(diǎn)M、N（點(diǎn)M與點(diǎn)A、點(diǎn)N與點(diǎn)B均不重合），連接AN，試探索APB與MAN、ANB之間的數(shù)量關(guān)系?！敬鸢浮拷猓海?）900。如圖，連接AB、OA、OB在AOB中，OA=OB=1AB=，OA2+OB2=AB2。AOB=90。當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧 AB 上時(shí)（如圖1），APB=AOB=45；當(dāng)點(diǎn)P在劣弧 AB 上時(shí)（如圖2），APB=（360AOB）=135。（2）根據(jù)點(diǎn)P在O1上的位置分為以下四種情況第一種情況：點(diǎn)P在O2外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間，如圖3，MAN=APB+ANB，APB=MAN-ANB。第二種情況：點(diǎn)P在O2外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)N在點(diǎn)P與點(diǎn)B之間，如圖4，MAN=APB+ANP=APB+（180ANB），APB=MAN+ANB180。第三種情況：點(diǎn)P在O2外，且點(diǎn)M在點(diǎn)P與點(diǎn)A之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間，如圖5，APB+ANB+MAN=180，APB=180MANANB。第四種情況：點(diǎn)P在O2內(nèi)，如圖6，APB=MAN+ANB?！究键c(diǎn)】圓周角定理，勾股定理逆定理，三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)。【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角等于90即可得APB=900。根據(jù)勾股定理的逆定理可得AOB=90，再分點(diǎn)P在優(yōu)弧上；點(diǎn)P在劣弧上兩種情況討論即可。（2）根據(jù)點(diǎn)P在O1上的位置分為四種情況得到APB與MAN、ANB之間的數(shù)量關(guān)系。10. （2012四川宜賓10分）如圖，O1、O2相交于P、Q兩點(diǎn)，其中O1的半徑r1=2，O2的半徑r2=過點(diǎn)Q作CDPQ，分別交O1和O2于點(diǎn)CD，連接CP、DP，過點(diǎn)Q任作一直線AB交O1和O2于點(diǎn)AB，連接AP、BP、ACDB，且AC與DB的延長線交于點(diǎn)E（1）求證：；（2）若PQ=2，試求E度數(shù)【答案】（1）證明：O1的半徑r1=2，O2的半徑r2=，PC=4，PD=2。CDPQ，PQC=PQD=90。PCPD分別是O1、O2的直徑，在O1中，PAB=PCD，在O2中，PBA=PDC，PABPCD。，即。（2）解：在RtPCQ中，PC=2r1=4，PQ=2，cosCPQ=。CPQ=60。在RtPDQ中，PD=2r2=2，PQ=2，sinPDQ=。PDQ=45。CAQ=CPQ=60，PBQ=PDQ=45。又PD是O2的直徑，PBD=90。ABE=90PBQ=45。在EAB中，E=180CAQABE=75。答：E的度數(shù)是75?！究键c(diǎn)】相交兩圓的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理?！痉治觥浚?）求出PC、PD，證PABPCD，得出，從而。（2）由cosCPQ=，求出CPQ=60，同理求出PDQ=45。由圓周角定理，得出CAQ=CPQ=60，PBQ=PDQ=45，求出PBD=90，求出ABE=45根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可。11. （2012四川廣安9分）如圖，在ABC中，ABC=ACB，以AC為直徑的O分別交AB、BC于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P在AB的延長線上，且CAB=2BCP（1）求證：直線CP是O的切線（2）若BC=2，sinBCP=，求點(diǎn)B到AC的距離（3）在第（2）的條件下，求ACP的周長【答案】解：（1）ABC=ACB且CAB=2BCP，在ABC中，ABC+BAC+BCA=180，2BCP+2BCA=180。BCP+BCA=90，即PCA=90。又AC是O的直徑，直線CP是O的切線。（2）如圖，作BDAC于點(diǎn)D，PCAC，BDPC。PCB=DBC。C=2，sinBCP=，解得：DC=2。由勾股定理得：BD=4。點(diǎn)B到AC的距離為4。（3）如圖，連接AN，在RtACN中，又CD=2，AD=ACCD=52=3。BDCP，ABDACP。，即。在RtACP中，。ACP的周長為?！究键c(diǎn)】切線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義。【分析】（1）根據(jù)ABC=AC且CAB=2BCP，在ABC中ABC+BAC+BCA=180，得到2BCP+2BCA=180，從而得到BCP+BCA=90，證得直線CP是O的切線。（2）作BDAC于點(diǎn)D，得到BDPC，從而利用求得DC=2，再根據(jù)勾股定理求得點(diǎn)B到AC的距離為4。（3）先求出AC的長度，然后由BDPC求得ABDACP，利用比例線段關(guān)系求得CP的長度，再由勾股定理求出AP的長度，從而求得ACP的周長。12. （2012四川達(dá)州7分）如圖，C是以AB為直徑的O上一點(diǎn)，過O作OEAC于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作O的切線交OE的延長線于點(diǎn)F，連結(jié)CF并延長交BA的延長線于點(diǎn)P.（1）求證：PC是O的切線.（2）若AF=1，OA=，求PC的長. 【答案】解：（1）證明：連結(jié)OC， OEAC，AE=CE。FA=FC。FAC=FCA。OA=OC，OAC=OCA。OAC+FAC=OCA+FCA，即FAO=FCO。FA與O相切，且AB是O的直徑，F(xiàn)AAB。FCO=FAO=90。又OC是O的半徑，PC是O的切線。（2）PC是O的切線，PCO=90。而FPA=OPC，PAF=90，PAFPCO 。CO=OA=，AF=1，PC=PA 。設(shè)PA=x，則PC=在RtPCO中，由勾股定理得， ，解得：。PC。【考點(diǎn)】切線的判定和性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥浚?）連接OC，根據(jù)垂徑定理，利用等角代換可證明FAC=FCA，然后根據(jù)切線的性質(zhì)得出FAO=90，然后即可證明結(jié)論。 （2）先證明PAFPCO，利用相似三角形的性質(zhì)得出PC與PA的關(guān)系，在RtPCO中，利用勾股定理可得出x的值，從而也可得出PC得長。13. （2012四川德陽14分） 如圖，已知點(diǎn)C是以AB為直徑的O上一點(diǎn)，CHAB于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作O 的切線交直線AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為CH的中點(diǎn)，連結(jié)并延交BD于點(diǎn)F，直線CF交AB的延長線于G.求證：AEFD=AFEC；求證：FC=FB；若FB=FE=2，求O 的半徑r的長.【答案】（1）證明：BD是O的切線，DBA=90。CHAB，CHBD。AECAFD。AEFD=AFEC。（2）證明：CHBD，AECAFD，AHEABF。CE=EH（E為CH中點(diǎn)），BF=DF。AB為O的直徑，ACB=DCB=90。CF=DF=BF，即CF=BF。（3）解：BF=CF=DF（已證），EF=BF=2，EF=FC。FCE=FEC。AHE=CHG=90，F(xiàn)AH+AEH=90，G+GCH=90。AEH=CEF，G=FAG。AF=FG。FBAG，AB=BG。連接OC，BC，BF切O于B，F(xiàn)BC=CAB。OC=OA，CF=BF，F(xiàn)CB=FBC，OCA=OACFCB=CAB。ACB=90，ACO+BCO=90。FCB+BCO=90，即OCCG。CG是O切線。GBA是O割線，F(xiàn)B=FE=2，由切割線定理得：（2+FG）2=BGAG=2BG2，【注，沒學(xué)切割線定理的可由AGCCGB求得】在RtBFG中，由勾股定理得：BG2=FG2BF2，F(xiàn)G24FG12=0。解得：FG=6，F(xiàn)G=2（舍去）。由勾股定理得：AB=BG=。O的半徑r是。【考點(diǎn)】切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形判定和的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，切割線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】（1）由BD是O的切線得出DBA=90，推出CHBD，證AECAFD，得出比例式即可。（2）證AECAFD，AHEABF，推出BF=DF，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出CF=DF=BF即可。（3）求出EF=FC，求出G=FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，連接OC，BC，求出FCB=CAB推出CG是O切線，由切割線定理（或AGCCGB）得出（2+FG）2=BGAG=2BG2，在RtBFG中，由勾股定理得出BG2=FG2BF2，推出FG24FG12=0，求出FG即可，從而由勾股定理求得AB=BG的長，從而得到O的半徑r。14. （2012四川資陽9分）如圖，在ABC中，ABAC，A30，以AB為直徑的O交B于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)，連結(jié)DE，過點(diǎn)B作BP平行于DE，交O于點(diǎn)P，連結(jié)EP、CP、OP（1）(3分)BDDC嗎？說明理由；（2）(3分)求BOP的度數(shù)；（3）(3分)求證：CP是O的切線；如果你解答這個(gè)問題有困難，可以參考如下信息：為了解答這個(gè)問題，小明和小強(qiáng)做了認(rèn)真的探究，然后分別用不同的思路完成了這個(gè)題目在進(jìn)行小組交流的時(shí)候，小明說：“設(shè)OP交AC于點(diǎn)G，證AOGCPG”；小強(qiáng)說：“過點(diǎn)C作CHAB于點(diǎn)H，證四邊形CHOP是矩形”【答案】解：（1）BD=DC。理由如下：連接AD，AB是直徑，ADB=90。AB=AC，BD=DC。（2）AD是等腰ABC底邊上的中線， BAD=CAD 。BD=DE。BD=DE=DC。DEC=DCE。 ABC中，AB=AC，A=30，DCE=ABC= (18030)=75。DEC=75。EDC=1807575=30。BPDE，PBC=EDC=30。ABP=ABCPBC=7530=45。OB=OP，OBP=OPB=45。BOP=90。（3）設(shè)OP交AC于點(diǎn)G，則AOG=BOP =90。在RtAOG中，OAG=30，。又，。又AGO=CGP，wAOGCPG。GPC=AOG=90。CP是的切線?！究键c(diǎn)】圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定?！痉治觥浚?）連接AD，由圓周角定理可知ADB=90，再由AB=AC可知ABC是等腰三角形，故BD=DC。（2）由于AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，所以BAD=CAD，故，從而可得出BD=DE，故BD=DE=DC，所以DEC=DCE，ABC中由等腰三角形的性質(zhì)可得出ABC=75，故DEC=75由三角形內(nèi)角和定理得出EDC的度數(shù)，再根據(jù)BPDE可知PBC=EDC=30，進(jìn)而得出ABP的度數(shù)，再由OB=OP，可知OBP=OPB，由三角形內(nèi)角和定理即可得出BOP=90。（3）設(shè)OP交AC于點(diǎn)G，由BOP=90可知AOG=90在RtAOG中，由OAG=30，可知，由得， ，由AGO=CGP可得出AOGCPG，由相似三角形形的性質(zhì)可知GPC=AOG=90，故可得出CP是O的切線。 15. （2012山東濱州12分）如圖1，l1，l2，l3，l4是一組平行線，相鄰2條平行線間的距離都是1個(gè)單位長度，正方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D都在這些平行線上過點(diǎn)A作AFl3于點(diǎn)F，交l2于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CEl2于點(diǎn)E，交l3于點(diǎn)G（1）求證：ADFCBE；（2）求正方形ABCD的面積；（3）如圖2，如果四條平行線不等距，相鄰的兩條平行線間的距離依次為h1，h2，h3，試用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面積S【答案】解：（1）證明：在RtAFD和RtCEB中，AD=BC，AF=CE，RtAFDRtCEB（HL）。（2）ABH+CBE=90，ABH+BAH=90，CBE=BAH。又AB=BC，AHB=CEB=90，ABHBCE（AA