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文檔簡介
平行四邊形的判定1、 平行四邊形的判定定理 平行四邊形的性質(zhì):兩組對邊分別平行;兩組對邊分別相等;對角線互相平分;兩組對角分別相等。一、考慮“對邊”關(guān)系思路1:證明兩組對邊分別相等ABCDEF(圖1)123例1 如圖1所示,在ABC中,ACB90,BC的垂直平分線DE交BC于D,交AB于E,F(xiàn)在DE上,并且AFCE.求證:四邊形ACEF是平行四邊形. 證明:DE是BC的垂直平分線,DFBC,DB = DC.FDB = ACB = 90. DFAC .CE = AE =AB.1 = 2 . 又EFAC,AF = CE = AE ,2 =1 =3 =F. ACEEFA. AC = EF .四邊形ACEF是平行四邊形. 思路2:證明兩組對邊分別平行ABCDEF例 2 已知:如圖2,在ABC中,ABAC,E是AB的中點(diǎn),D在BC上,延長ED到F,使ED = DF = EB. 連結(jié)FC.求證:四邊形AEFC是平行四邊形. 證明:ABAC,B =ACB.ED = EB,B =EDB.ACB =EDB. EFAC.E是AB的中點(diǎn),BD = CD.EDB =FDC,ED = DF,EDBFDC. DEB =F.ABCF.四邊形AEFC是平行四邊形.思路3:證明一組對邊平行且相等例3 如圖3,已知平行四邊形ABCD中,E、F 分別是AB、CD上的點(diǎn),AE = CF,M、N分別是DE、BF的中點(diǎn).求證:四邊形ENFM是平行四邊形. 證明:四邊形ABCD是平行四邊形,AD = BC,A =C .ABCDEFMN3321又AE = CF,ADECBF.1 =2,DE = BF .M、N分別是DE、BF的中點(diǎn),EM = FN .DCAB,3 =2.1 =3. EM FN .四邊形ENFM是平行四邊形.二、考慮“對角”關(guān)系 思路:證明兩組對角分別相等例4 如圖4,在正方形ABCD中,點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn).求證:(1)ABECDF;(2)四邊形BFDE是平行四邊形. 證明:(1)在正方形ABCD中,AB = CD,AD = BC,A =C =90,AE =AD,CF =BC,AE = CF. ABECDF.(2)由(1)ABECDF知,1 =2,3 =4. BED =DFB.在正方形ABCD中,ABC =ADC,EBF =EDF. 四邊形BFDE是平行四邊形.三、考慮“對角線”的關(guān)系 思路:證明兩條對角線相互平分例5 如圖5,在平行四邊形ABCD中, P1、P2是對角線BD的三等分點(diǎn).ABCDOP1P2(圖5)求證:四邊形AP1CP2是平行四邊形. 證明:連結(jié)AC交BD于O.四邊形ABCD是平行四邊形,OA = OC,OB = OD.BP1 = DP2 ,OP1 = OP2 .四邊形AP1CP2是平行四邊形.課堂學(xué)習(xí)檢測一、填空題1平行四邊形的判定方法有:從邊的條件有:兩組對邊_的四邊形是平行四邊形;兩組對邊_的四邊形是平行四邊形;一組對邊_的四邊形是平行四邊形從對角線的條件有:兩條對角線_的四邊形是平行四邊形從角的條件有:兩組對角_的四邊形是平行四邊形注意:一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形_是平行四邊形(填“一定”或“不一定”)2四邊形ABCD中,若AB180,CD180,則這個四邊形_(填“是”、“不是”或“不一定是”)平行四邊形3一個四邊形的邊長依次為a、b、c、d,且滿足a2b2c2d22ac2bd,則這個四邊形為_4四邊形ABCD中,AC、BD為對角線,AC、BD相交于點(diǎn)O,BO4,CO6,當(dāng)AO_,DO_時,這個四邊形是平行四邊形5如圖,四邊形ABCD中,當(dāng)12,且_時,這個四邊形是平行四邊形二、選擇題6下列命題中,正確的是( )(A)兩組角相等的四邊形是平行四邊形(B)一組對邊相等,兩條對角線相等的四邊形是平行四邊形(C)一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形(D)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形7已知:園邊形ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)O,如果只給出條件“ABCD”,那么還不能判定四邊形ABCD為平行四邊形,給出以下四種說法:如果再加上條件“BCAD”,那么四邊形ABCD一定是平行四邊形;如果再加上條件“BADBCD”,那么四邊形ABCD一定是平行四邊形;如果再加上條件“OAOC”,那么四邊形ABCD一定是平行四邊形;如果再加上條件“DBACAB”,那么四邊形ABCD一定是平行四邊形其中正確的說法是( )(A)(B)(C)(D)8能確定平行四邊形的大小和形狀的條件是( )(A)已知平行四邊形的兩鄰邊(B)已知平行四邊形的相鄰兩角(C)已知平行四邊形的兩對角線(D)已知平行四邊形的一邊、一對角線和周長綜合、運(yùn)用、診斷一、解答題9如圖,在ABCD中,E、F分別是邊AB、CD上的點(diǎn),已知AECF,M、N是DE和FB的中點(diǎn),求證:四邊形ENFM是平行四邊形10如圖,在ABCD中,E、F分別是邊AD、BC上的點(diǎn),已知AECF,AF與BE相交于點(diǎn)G,CE與DF相交于點(diǎn)H,求證:四邊形EGFH是平行四邊形11如圖,在ABCD中,E、F分別在邊BA、DC的延長線上,已知AECF,P、Q分別是DE和FB的中點(diǎn),求證:四邊形EQFP是平行四邊形12如圖,在ABCD中,E、F分別在DA、BC的延長線上,已知AECF,F(xiàn)A與BE的延長線相交于點(diǎn)R,EC與DF的延長線相交于點(diǎn)S,求證:四邊形RESF是平行四邊形13已知:如圖,四邊形ABCD中,ABDC,ADBC,點(diǎn)E在BC上,點(diǎn)F在AD上,AFCE,EF與對角線BD交于點(diǎn)O,求證:O是BD的中點(diǎn)14已知:如圖,ABC中,D是AC的中點(diǎn),E是線段BC延長線上一點(diǎn),過點(diǎn)A作BE的平行線與線段ED的延長線交于點(diǎn)F,連結(jié)AE、CF求證:CFAE.15已知:如圖,ABC,D是AB的中點(diǎn),E是AC上一點(diǎn),EFAB,DFBE(1)猜想DF與AE的關(guān)系;(2)證明你的猜想1分別平行; 分別相等; 平行且相等;互相平分; 分別相等;不一定;2不一定是3平行四邊形提示:由已知可得(ac)2(bd)20,從而46,4; 5AD,BC6D 7C 8D9提示:先證四邊形BFDE是平行四邊形,再由EMNF得證10提示:先證四邊形AFCE、四邊形BFDE是平行四邊形,再由GEFH,GFEH得證11提示:先證四邊形EBFD是平行四邊形,再由EPQF得證12提示:先證四邊形EBFD是平行四邊形,再證REA
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