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20 2 2方差和標準差 天馬行空官方博客 回顧 極差可以反映數(shù)據(jù)的波動范圍 探索 考察一組數(shù)據(jù)與它的平均數(shù)之間的差別的方法 來反映這組數(shù)據(jù)的波動情況 討論 在一次女子排球比賽中 甲 乙兩隊參賽選手的年齡如下 甲隊26252828242826282729乙隊28272528272628272726 1 兩隊參賽選手的平均年齡分別是多少 2 你能說說兩隊參賽選手年齡波動的情況嗎 26 9 26 9 兩組數(shù)據(jù)用圖表示如下 用圖表整理這兩組數(shù)據(jù) 分析你畫出的圖表 看看你能得出哪些結(jié)論 結(jié)論 甲隊選手的年齡與其平均年齡的偏差較大 乙隊選手的年齡較集中地分布在平均年齡左右 能否用一個量來刻畫呢 方差 來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小 并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差 一組數(shù)據(jù)方差越大 說明這組數(shù)據(jù)波動越大 方差越小 數(shù)據(jù)波動越小 性質(zhì) 1 數(shù)據(jù)的方差都是非負數(shù) 即 2 當(dāng)且僅當(dāng)每個數(shù)據(jù)都相等時 方差為零 反過來 若 方差的簡化公式 1 2 平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方 數(shù)學(xué)語言 數(shù)學(xué)語言 新數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去新數(shù)據(jù)平均數(shù)的平方 分析甲 乙兩隊隊員年齡的波動情況 兩組數(shù)據(jù)的方差分別是 例1 在一次芭蕾舞比賽中 甲 乙兩個芭蕾舞團表演了舞劇 天鵝湖 參加表演的女演員的身高 單位 cm 分別是甲團163164164165165165166167乙團163164164165166167167168哪個芭蕾舞團女演員的身高更整齊 解 甲 乙兩團演員的平均身高分別是 練習(xí)P155 1 2 請計算引例中機床甲 乙兩組數(shù)據(jù)的方差 從0 026 0 008可以比較出 機床甲生產(chǎn)的10個零件直徑比機床乙生產(chǎn)的10個零件直徑波動要大 例1已知兩組數(shù)據(jù) 分別計算這兩組數(shù)據(jù)的方差 1 求平均數(shù) 解 2 求方差 3 比較方差得出結(jié)論 用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動的方法還可用一組數(shù)據(jù)的標準差 即 公式 即標準差 也是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的重要的量 如 說明 計算標準差要比計算方差多開一次平方 但它的度量單位與原數(shù)據(jù)一致 有時用它比較方便 平均數(shù) 方差 標準差的幾個規(guī)律 練習(xí)1 6 5 18 1 數(shù)據(jù) 2 1 0 1 2的方差是 2 對甲 乙兩個小麥品種的各100株小麥的株高進行了測量 結(jié)果算得 3 五個數(shù)1 2 3 4 a的平均數(shù)是3 則a 這五個數(shù)的方差是 由此可估計株高較整齊的小麥是 4 已知一個樣本方差為 則這個樣本的容量是 平均數(shù)是 6 從甲 乙兩種棉苗中各抽10株 測得它們的株高分別如下 單位 cm 甲25414037221419392142乙27164427441640401640問 哪種棉花的苗長得高 哪種棉花的苗長得整齊 練習(xí)2 甲 5 2 10 4 16 本節(jié)小結(jié) 1 知識小結(jié) 通過這節(jié)課的學(xué)習(xí) 使我們知道了對于一組數(shù)據(jù) 有時只知道它的平均數(shù)還不夠 還需要知道它的波動大小 而描述一組數(shù)據(jù)的波動大小的量不止一種 最常用的是方差和標準差 方差與標準差這兩個概念既有聯(lián)系又有區(qū)別 2 方法小結(jié) 求一組數(shù)據(jù)方差的方法 先求平均數(shù) 再利用 求方差 求一組數(shù)據(jù)標準差的方法 先求這組數(shù)據(jù)的方差 然后再求方差的算術(shù)平方根 3 反映一組數(shù)據(jù)離散程度的指標 極差 方差 提高訓(xùn)練 1 公園里有兩條石級 哪條石級走起來更舒服 圖中數(shù)字表示每一級的高度 單位 cm 解 左邊石級路臺階高度的極差為16 14 2 右邊石級路臺階高度的極差為19 10 9 由以上可知 左邊石級路的極差 方差都比右邊小 所以左邊石級路起伏小 走起來舒服些 2 一次科技知識競賽 兩組學(xué)生成績統(tǒng)計如下 已經(jīng)算得兩個組的人平均分都是80分 請根據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計知識 進一步判斷這兩個組在這次競賽中的成績誰優(yōu)誰劣 并說明理由 解 1 甲組成績的眾數(shù)為90分 乙組成績的眾數(shù)為70分 以成績的眾數(shù)比較看 甲組成績好些 3 甲 乙兩組成績的中位數(shù)都是80分 甲組成績在中位數(shù)以上 包括中位數(shù) 的人有33人 乙組成績在中位數(shù)以上 包括中位數(shù) 的人有26人 從這一角度 看甲組成績總體較好 4 從成績統(tǒng)計表看 甲組成績高于80分的人數(shù)為14 6 20 人 乙組成績高于80分的人數(shù)為12 12 24 人 乙組成績集中在高分段的人數(shù)多 同時 乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6人 從這一角度看 乙組的成績較好 3 某農(nóng)民幾年前承包了甲 乙兩片荒山 各栽了100棵蜜橘 成活98 現(xiàn)已掛果 經(jīng)濟效益顯著 為了分析經(jīng)營情況 他從甲山隨意采摘了3棵樹上的蜜橘稱得質(zhì)量分別為25 18 20千克 他從乙山隨意采摘了