概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一節(jié)：數(shù)學(xué)期望.ppt

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征 第一節(jié)數(shù)學(xué)期望 第二節(jié)方差 第三節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 第四節(jié)矩協(xié)方差矩陣 第一節(jié)數(shù)學(xué)期望 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布 那么X的全部概率特征也就知道了 然而 在實(shí)際問題中 概率分布一般是較難確定的 而在一些實(shí)際應(yīng)用中 人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì) 只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了 例如分布的中心位置 分散程度等等 因此 在對隨機(jī)變量的研究中 確定某些數(shù)字特征是重要的 在這些數(shù)字特征中 最常用的是 數(shù)學(xué)期望 方差 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) 一 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 1 概念的引入 例1 某車間對工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察 車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個隨機(jī)變量 如何定義X的平均值呢 我們先觀察小張100天的生產(chǎn)情況 若統(tǒng)計100天 32天沒有出廢品 30天每天出一件廢品 17天每天出兩件廢品 21天每天出三件廢品 可以得到這100天中每天的平均廢品數(shù)為 假定小張每天至多出現(xiàn)三件廢品 這個數(shù)能否作為X的平均值呢 可以想象 若另外統(tǒng)計100天 車工小張不出廢品 出一件 二件 三件廢品的天數(shù)與前面的100天一般不會完全相同 這另外100天每天的平均廢品數(shù)也不一定是1 27 n0天沒有出廢品 n1天每天出一件廢品 n2天每天出兩件廢品 n3天每天出三件廢品 可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為 假定小張每天至多出三件廢品 一般來說 若統(tǒng)計n天 這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均 當(dāng)N很大時 頻率接近于概率 所以我們在求廢品數(shù)X的平均值時 用概率代替頻率 得平均值為 這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均 這樣得到一個確定的數(shù) 我們就用這個數(shù)作為隨機(jī)變量X的平均值 2 定義 設(shè)X是離散型隨機(jī)變量 它的分布律是 P X xk pk k 1 2 請注意 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂的級數(shù)的和 數(shù)學(xué)期望簡稱期望 又稱為均值 若級數(shù) 絕對收斂 則稱級數(shù) 即 的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望 記為E X expectationormean 例1 1 0 1分布b 1 p 的數(shù)學(xué)期望 E X p 2 二項(xiàng)分布b n p 的數(shù)學(xué)期望 例2 幾個重要的離散型r v 的期望 3 泊松分布 一旅客8 20到車站 求他候車時間的數(shù)學(xué)期望 例3 按規(guī)定 某車站每天8 00 9 00和9 00 10 00都恰有一輛客車到站 但到站時刻是隨機(jī)的 且兩者到站的時間相互獨(dú)立 其規(guī)律為 二 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量 其密度函數(shù)為f x 在數(shù)軸上取很密的分點(diǎn)x0 x1 x2 則X落在小區(qū)間 xi xi 1 的概率是 小區(qū)間 xi xi 1 陰影面積近似為 由于xi與xi 1很接近 所以區(qū)間 xi xi 1 中的值可以用xi來近似代替 這正是 的漸近和式 該離散型r v 的數(shù)學(xué)期望是 定義 設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量 其密度函數(shù)為f x 如果積分 絕對收斂 則稱此積分值為X的數(shù)學(xué)期望 即 請注意 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂的積分 1 均勻分布U a b 例4 幾個重要的連續(xù)型r v 的期望 2 指數(shù)分布E 3 正態(tài)分布N 2 三 二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 則 1 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量 X Y 的聯(lián)合分布律為 2 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 X Y 的聯(lián)合概率密度為f x y 則 解 例5 設(shè) X Y 的聯(lián)合密度為 求E X 四 隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 1 問題的提出 設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布 我們需要計算的是X的某個函數(shù)g X 的期望 那么應(yīng)該如何計算呢 一種方法是 因?yàn)間 X 也是隨機(jī)變量 它的分布可以由已知的X的分布求出來 一旦我們知道了g X 的分布 就可以按照期望的定義把E g X 計算出來 使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g X 的分布 一般是比較復(fù)雜的 1 當(dāng)X為離散型時 它的分布律為P X xk pk 2 當(dāng)X為連續(xù)型時 它的密度函數(shù)為f x 若 2 定理 設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù) Y g X g是連續(xù)函數(shù) 3 上述定理還可以推廣到兩個或兩個以上隨機(jī)變量的函數(shù)的情況 例6 例7 五 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 1 設(shè)C是常數(shù) 則E C C 4 設(shè)X Y相互獨(dú)立 則E XY E X E Y 2 若k是常數(shù) 則E kX kE X 3 E X Y E X E Y 諸Xi相互獨(dú)立時 請注意 由E XY E X E Y 不一定能推出X Y獨(dú)立 X b n p 若設(shè) 則 X X1 X2 Xn np i 1 2 n 因?yàn)?P Xi 1 p P Xi 0 1 p 所以 E X 則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的 成功 次數(shù) 例8求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望 例9 把數(shù)字1 2 n任意地排成一列 如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個位置上 則稱為一個巧合 求巧合個數(shù)的數(shù)學(xué)期望 由于 E Xk P Xk 1 解 設(shè)巧合個數(shù)為X k 1 2 n 則 故 引入 例10 一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場開出 旅客有10個車站可以下車 如到達(dá)一個車站沒有旅客下車就不停車 以X表示停車的次數(shù) 求E X 設(shè)每位旅客在各個車