初中數(shù)學 數(shù)學名師 馮諾伊曼

1 馮馮 諾伊曼諾伊曼 馮 諾伊曼 j von neumann john 1903 年 12 月 28 日生于匈牙利布達佩斯 1957 年 2 月 8 日卒于美國華盛頓 數(shù)學 物理學 計算機科學 馮 諾伊曼出生于猶太人家庭 父親麥克斯 馮 諾伊曼 max von neumann 是位富有的 銀行家 1913 年 奧匈帝國皇帝弗朗西斯 約瑟夫一世 franz joseph i 授予麥克斯貴族 的封號 諾伊曼家族的姓中便有了 von 字 馮 諾伊曼自幼受到良好的教育 父親特地聘請了家庭教師 向他系統(tǒng)傳授數(shù)學 外語 歷史和自然常識 而他很早就顯示出超人的記憶力和理解力 傳說他 6 歲能心算 8 位數(shù)除 法 8 歲掌握了微積分 12 歲時還學習了 e 波萊爾 borel 的 函數(shù)論教程 lecons sur la th orie des fonctions 第一次世界大戰(zhàn)爆發(fā)的 1914 年 馮 諾伊曼剛滿 10 歲 被送入大學預科學習 他的過 人才智引起了老師 l 瑞茲 ratz 的注意 瑞茲覺得讓馮 諾伊曼接受傳統(tǒng)的中學教育是在 浪費時間 應該對他進行專門的數(shù)學訓練 使其天才得到充分發(fā)展 瑞茲把馮 諾伊曼推薦 給布達佩斯大學的 j 屈爾沙克 k rschak 教授 屈爾沙克則安排助教 m 費克特 fekete 擔任了他的家庭輔導工作 他發(fā)表的第一篇論文 便是在不到 18 歲時與費克特合寫的 推 廣了切比雪夫 多項式求根的費耶爾 fej r 定理 1921 年他通過中學生 畢業(yè)考試時 已被公認為前途遠大的數(shù)學新秀 這之后的四年 馮 諾伊曼先后在柏林大學和瑞士蘇黎世的同業(yè)高等技術(shù)學院攻讀化學 同時保留著布達佩斯大學數(shù)學系的學籍 每學期末 他都要從歐洲趕回布達佩斯 探望家 人并參加數(shù)學考試 1925 年和 1926 年春 他先后獲得了蘇黎世的化學工程學位和布達佩 斯大學的數(shù)學博士學位 在柏林 馮 諾伊曼參加過 a 愛因斯坦 einstein 關(guān)于統(tǒng)計力學的講座并跟隨 e 施 密特 schmidt 學習 在蘇黎世 他與 h 外爾 weyl 和 g 波利亞 p lya 都有過密切接 觸 馮 諾伊曼曾說 對他早年學術(shù)思想影響最大的數(shù)學家 便是外爾和施密特 他還數(shù)次前往格丁根大學 拜訪大數(shù)學家 d 希爾伯特 hi lbert 他被希爾伯特的 量子力學和證明論深深吸引住了 希爾伯特也非常賞識這位年輕學者 1926 年初他尚未拿 到博士學位時 希爾伯特就設法為他謀到了格丁根大學的訪問學者資格 1927 1929 年 馮 諾伊曼被聘為柏林大學的義務講師 其間在集合論 代數(shù)學和量 子理論方面取得了大量研究成果 受到數(shù)學界的矚目 1929 年他轉(zhuǎn)入漢堡大學任義務講 師 經(jīng)外爾推薦 他于 1930 年以客座講師的身份來到美國普林斯頓大學數(shù)學系 第二年成 為該系終身教授 這樣 他每年有一半時間生活在歐洲 另一半則在美國度過 1933 年 高級研究院在普林斯頓成立 馮 諾伊曼從一開始便受聘擔任研究院的數(shù)學 物理終身教授 年僅 29 歲 是院內(nèi)最年輕的教授 他在 1937 年取得了美國公民權(quán) 當時 世界經(jīng)濟正處于大蕭條時期 戰(zhàn)爭的陰云籠罩著歐洲 而普林斯頓卻成為數(shù)學 和物理學精英云集之地 在濃厚的學術(shù)氣氛和安定的生活中 馮 諾伊曼一直全身心地從事 著研究工作 1932 年 他從數(shù)學上總結(jié)了量子力學的發(fā)展 出版 量子力學的數(shù)學基礎(chǔ) mathematische grundlagen der quantenmechanik 一書 同時推出了著名的弱遍歷定 理 1937 年他發(fā)表關(guān)于算子環(huán)的理論 還確立了連續(xù)幾何學 希爾伯特第五問題的部分解 決 也是他在這個時期的主要成就之一 1930 年 馮 諾伊曼與 m 柯維斯 kov si 結(jié)婚 女兒瑪麗娜 marina 在 1935 年出 生 兩年后 他們的婚姻破裂 1938 年夏 馮 諾伊曼回布達佩斯講學 探親 與克拉拉 丹 klaradan 結(jié)婚并于年底一起來到了普林斯頓 克拉拉后來成為首批為計算機編制數(shù)學 問題碼的學者之一 2 第二次世界大戰(zhàn)爆發(fā)后 馮 諾伊曼的科學生涯發(fā)生了轉(zhuǎn)折 1940 年 他被阿伯丁彈 道實驗研究所聘為科學顧問 1941 年受聘任海軍兵工局顧問 從 1943 年底起 他又以顧 問身份參加了洛斯阿拉莫斯研究所的工作 指導原子彈最佳結(jié)構(gòu)的設計 探討實現(xiàn)大規(guī)模 熱核反應的方案 在數(shù)學上 除了解決各種數(shù)值計算問題外他的最重要成就是 1944 年正式 創(chuàng)立了對策論和現(xiàn)代數(shù)理經(jīng)濟學 大戰(zhàn)后期 他轉(zhuǎn)向電子計算機的研究 1944 年夏 他參觀了尚未竣工的第一臺電子計 算機 eniac 并參加了為改進計算機性能而舉行的一系列專家會議 此后一年里 他提出 電子計算機及程序設計的嶄新思想 制訂出兩份全新方案 edvac 機方案和 ias 機方 案 1951 年 ias 機研制成功 證明了他的理論的正確性 大戰(zhàn)結(jié)束后 馮 諾伊曼擔任高級研究院計算機研究所所長 同時繼續(xù)在美國海軍武器 實驗室等軍事機關(guān)中服務 1954 年 10 月 他被任命為美國原子能委員會委員 便于次年 辭去了在高級研究院的職務 由工作 生活了 23 年的普林斯頓遷居到華盛頓 從 40 年代末直到逝世前 馮 諾伊曼還集中研究了自動機理論 包括對各種人造自動 機和天然自動機的比較 解決自動機的自適應 自繁殖和自恢復等問題 1951 年發(fā)表 自 動機的一般邏輯理論 the general and logical theory of automata 開辟了計算機 科學的一個新領(lǐng)域 并為以后人工智能的研究奠定了基礎(chǔ) 1955 年夏 馮 諾伊曼被確診患有骨癌 病情迅速惡化 他在輪椅上堅持進行思考 寫作 參加學術(shù)會議 還為耶魯大學準備了希利曼 hilliman 講座的講稿 1957 年 2 月 8 日 他在華盛頓陸軍醫(yī)院與世長辭 享年 53 歲 馮 諾伊曼一生擔任過許多科學職位 獲得了眾多榮譽 最主要的有 1937 年獲美國 數(shù)學會博歇 b cher 獎 1947 年獲美國數(shù)學會吉布斯 gibbs 講師席位 并得到功勛獎章 總統(tǒng)獎 1951 1953 年任美國數(shù)學會主席 1956 年獲愛因斯坦紀念獎及費米 fermi 獎 他發(fā)表的學術(shù)論文共有 150 余篇 全部收錄在 1961 年珀格蒙出版社出版的 馮 諾伊 曼文集 collected works of john vonneumann 中 其中 60 篇是純粹數(shù)學方面的 60 篇關(guān)于應用數(shù)學 20 篇屬于物理學 馮 諾伊曼以其超人的才思和豐碩的學術(shù)成果 成為 一代科學巨匠 純 粹 數(shù) 學 馮 諾伊曼在純粹數(shù)學方面的工作集中于 1925 1940 年 主要可分為以下六個方向 1 集合論與數(shù)學基礎(chǔ) 本世紀初 為了克服悖論給 g 康托爾 cantor 集合論帶來的困難 并系統(tǒng)整理康托 爾的理論與方法 人們開始致力于公理化方法的研究 1908 年 出現(xiàn)了兩個著名的公理系 統(tǒng) e 策梅羅 zermelo 的系統(tǒng) 后由 a 弗倫克爾 fraenkel 和 a 斯科朗 skolem 修改 補充 成為 zf 公理系統(tǒng) 和 b 羅素 russell 的類型論 馮 諾伊曼很早就對集合論問題感興趣 1923 年還在蘇黎世就讀期間 他發(fā)表了自己 的第二篇論文 超窮序數(shù)引論 zur einf hrung der transfiniten ordnungszahlen 力圖將康托爾的序數(shù)概念 具體化 精確化 在康托爾的定義中 序數(shù)是良序集的序型 而根據(jù) zf 公理系統(tǒng) 序型的存在性是無法證明的 馮 諾伊曼借助于 zf 公理系統(tǒng)中初始截 斷的概念和無窮公理 給出了序數(shù)及超限序數(shù)形式化的新定義 這種定義一直沿用至今 此后六七年中 他積極傳播公理化的思想 并試圖建立更具形式化和精確性的公理系 統(tǒng) 1923 年 他向德國 數(shù)學雜志 ma thematische zeitschrift 編輯部提交了長篇 論文 集合論的公理化 die axiomatisierung der mengenlehre 施密特代表編輯部把 3 論文推薦給集合論方面的權(quán)威弗倫克爾 經(jīng)過與弗倫克爾詳盡地探討 馮 諾伊曼根據(jù)原文 寫出一篇介紹性文章 集合論的一種公理化 eine axiomatisierung der mengenlehre 于 1925 年發(fā)表 集合論的公理化 后來成為馮 諾伊曼的博士畢業(yè)論文 它所建立的公理體系經(jīng) p 貝爾納斯 bernays 和 k 哥德爾 g del 完善之后 形成了公理化集合論中又一新的系 統(tǒng) nbg 系統(tǒng) nbg 系統(tǒng)不像 zf 系統(tǒng)那樣 把集合與從屬關(guān)系作為原始概念 并采取限制集合產(chǎn)生的 辦法來達到排除悖論的目的 也不同于類型論中以集合與層次的語言描述集合體系 它的 特點是在 集合 與 屬于 之外 引入了 類 作為不定義概念 比集合的概念更具概 括性 類分為集合和真類 規(guī)定真類不能作為類的元素 這樣 就排除了由 所有集合的 集合 產(chǎn)生悖論的可能性 與 zf 公理系統(tǒng)相比 nbg 系統(tǒng)保留了更多 更有用的論證方法 而且在 zf 系統(tǒng)中 包含著由無窮多條公理組成的公理模式 nbg 系統(tǒng)則不含公理模式 是一有窮公理系統(tǒng) 有著如同初等幾何公理那樣簡單的邏輯結(jié)構(gòu) 這是它最主要的優(yōu)點 現(xiàn)已證明 nbg 系統(tǒng)是 zf 系統(tǒng)的擴充 哥德爾在證明選擇公理與連續(xù)統(tǒng)假設同其他公 理的相容性時 就受到了 nbg 系統(tǒng)的啟發(fā) 到今天 nbg 系統(tǒng)仍是集合論最好的基礎(chǔ)之 一 與集合論公理化的工作相適應 馮 諾伊曼在 20 年代后期參與了希爾伯特的元數(shù)學計 劃 1927 年的文章 關(guān)于希爾伯特的證明論 zur hilbertschen beweistheorie 對數(shù)學 形式主義的基本概念進行了闡釋 它指出 希爾伯特元數(shù)學計劃所提出的各種問題 雖經(jīng) 希爾伯特本人及貝爾納斯 w 阿克曼 ackermann 等人的努力而有所進展 但從總體上而 言仍未得到令人滿意的解決 尤其是阿克曼關(guān)于自然數(shù)論無矛盾性的證明 不能在古典分 析中實現(xiàn) 1931 年 哥德爾不完全性定理提出之后 希爾伯特計劃的完全實現(xiàn)落空了 對此 馮 諾伊曼并未感到過分驚奇 因為早在 1925 年發(fā)表的 集合論的一種公理化 中 他便隱 約地預見到哥德爾的結(jié)論 任一形式化體系中都存在著本系統(tǒng)內(nèi)無法判定的命題 原文的 最后一句話是 暫時 除了陳述集合論本身的缺陷外 我們還能做什么呢 沒有一種已 知的方法可以避免其中的困難 他認為 由哥德爾的結(jié)果應當引出一條新的途徑 去理 解數(shù)學形式主義的作用 而不應把它當作問題的結(jié)束 他本人對數(shù)學基礎(chǔ)保持著長久的興 趣 并在后期關(guān)于計算機邏輯設計和機械化證明中得到體現(xiàn) 2 測度論 測度論在馮 諾伊曼的整個研究工作中并非處于中心地位 但他給出了許多很有價值的 方法和結(jié)果 在 1929 年的 一般測度理論 zur allgemeinen theorie desmasses 一文中 馮 諾 伊曼對群的子集討論了有限可加測度 n 維歐氏空間 rn 中的 測度問題 是 rn 的冪集上 是否存在一非負 正規(guī)化且關(guān)于剛體運動不變的可加集函數(shù) f 豪斯多夫 hau sdorff 和 s 巴拿赫 banach 證明 測度問題在 n 為 1 和 2 時有無窮多個解 在其他情況下無 解 這個結(jié)論給人的感覺是 當維數(shù)由 2 變?yōu)?3 時 空間的特性發(fā)生了根本的 難以捉摸 的變化 馮 諾伊曼則指出 問題在本質(zhì)上是屬于群論的 造成性質(zhì)差異的根源在于群的變 化而非空間的變化 探討測度問題的可解性 需要用到群的可解性這一代數(shù)概念 他繼續(xù)運用群論的思想 分析了豪斯多夫 巴拿赫 塔爾斯基 tarski 悖論 rn n 3 中兩個不同半徑的球 可以分別被分解為有限個互不相交的不可測子集 使兩球的子集間 可建立起兩兩全等的關(guān)系 在 n 為 1 或 2 時 這種分解不存在 他解釋說 這是因為在 n 為 3 或更大時 正交群包含著自由非阿貝爾 abel 群 而在小于 3 時則不然 4 這樣 測度問題便從 rn 推廣到了一般的非阿貝爾群 而巴拿赫關(guān)于 r2 的一切子集使 用同一測度的可能性被證明對阿貝爾群的所有子集也成立 最后 他得出結(jié)論 所有可解 群都是可測度的 即某種測度能夠引入到可解群上 這篇文章屬于最早將集合論的結(jié)果從歐氏空間推廣到更一般的代數(shù)和拓撲結(jié)構(gòu)中去的 工作之一 從那時起 這種思想方法開始受到了更廣泛的重視 同一時期 匈牙利數(shù)學家 a 哈爾 haar 提出這樣一個問題 在 rn 中是否有一種挑選 可測子集的方法 使得每個子集均與給定的集合等價 并且選擇過程保持有限集運算 馮 諾伊曼給出了肯定的回答 并把結(jié)論推廣到可測函數(shù)的情形 這成為解決測度分解問題的 出發(fā)點 1935 年 他還與 m 斯通 stone 合作 討論了更一般的問題 a 是一布爾代數(shù) m 為 a 的理想 何時存在 a 的子代數(shù) 使 a 到 a m 的映射限制在子代數(shù)上時為同構(gòu) 他們 給出了存在性的各種充分條件 另一成果是他在 1934 年對緊致群證明了哈爾測度的唯一性 在相差常數(shù)因子的意義下 證明過程中構(gòu)造了緊致群上連續(xù)函數(shù)的 不變平均 invariant means 用到不同于哈 爾的方法來引進測度 以光滑測度 m 代替給定的左不變測度 m m 由下式定義 其中 為適當?shù)臋?quán)函數(shù) m 不但具有 m 的所有性質(zhì) 且具有右零不變性 這些方法 在后來他與 s 博赫納 bochner 研究可分拓撲群上殆周期函數(shù)時得到了系統(tǒng)的應用 1933 1934 年 馮 諾伊曼在高級研究院作過有關(guān)測度論的報告 非常詳細地闡釋了 歐氏空間中勒貝格測度的古典理論 并推廣到抽象測度空間中 報告的內(nèi)容在很長一段時 間內(nèi)是美國在測度論方面的主要資料來源 1950 年由普林斯頓出版社編輯成為 函數(shù)算子 functional operators 一書 3 遍歷理論 馮 諾伊曼在這一領(lǐng)域的首要成就 是證明了平均遍歷定理 mean ergodic theorem 亦稱弱遍歷定理 19 世紀 70 年代 l 玻爾茲曼 boltzmann 提出了統(tǒng)計力學中的遍歷性 假設 并希望以此為前提 推導出保測變換的空間平均等于 離散 時間平均 這就是玻爾 茲曼計劃 從數(shù)學上實現(xiàn)這一計劃 首先需要證明作為時間平均的極限的存在性 1931 年 b 庫普曼 koopman 和 a 韋伊 weil 同時發(fā)現(xiàn) 由保測變換誘導出的函數(shù)算子是酉算 子 它給馮 諾伊曼以很大啟示 當時 他正致力于算子理論的研究 這一發(fā)現(xiàn)促使他嘗試 著用希爾伯特空間的自共軛算子去解決存在性問題 很快 他便提出并證明了遍歷理論的 第一個重要定理 平均遍歷定理 對保測變換 t 遍歷平均 依 l2 的范數(shù)收斂到函數(shù) pf 其中 ut 是 t 誘導的算子 utf x f tx xx 而 p 是 l2 到 ut 不變函數(shù)空間的正交投影 在這一結(jié)果發(fā)表 1932 年 之前 馮 諾伊曼把它介紹給了 g d 伯克霍夫 birkhoff 和庫普曼 伯克霍夫?qū)?依平均測度 意義下的收斂改善為 處處收斂 得出了更強的結(jié) 論 逐點遍歷定理 pointwise ergodic theorem 亦稱個體遍歷定理 并于 1931 年 12 月率先發(fā)表 盡管如此 由于伯克霍夫與庫普曼在 1932 年撰寫了 遍歷理論的近期發(fā)展 recent contributions to the ergodic theory 使學術(shù)界了解到遍歷定理產(chǎn)生的前因后果 馮 5 諾伊曼的首創(chuàng)性工作得到了肯定 不久 第 33 卷 數(shù)學紀事 annals of mathematics 1932 又刊登了他頗具影響力 的文章 古典力學中的算子方法 zuroperatorenmethode in der klassischen mechanik 這標志著對遍歷理論系統(tǒng)研究的開端 論文首先給出了平均遍歷定理的詳盡證明 然后推出 6 條重要的定理 第一條是分解 定理 position theorem 任何保測變換均可分解為若干遍歷變換的直 積分 它說明在所有保測變換中 具有遍歷性的是最基本 最重要的 任何保測變換都可 由它們構(gòu)造而得 定理 2 則進一步指出 單參數(shù)保測變換群的分類問題在本質(zhì)上可歸結(jié)為對遍歷變換進 行分類 保測變換的分類問題后來成為遍歷理論的中心問題 其中最關(guān)鍵的第一步 當屬馮 諾 伊曼與 p 哈爾莫斯 halmos 1942 年共同證明的結(jié)論 f1 和 f2 分別是有限測度空間 x1 和 x2 上的保測變換 u1 和 u2 分別是 x1 x2 在 l2 上 誘導出的酉算子 若 f1 f2 有離散譜 則 f1 與 f2 同構(gòu)當且僅當 u1 和 u2 作為希爾伯特空 間上酉算子時是相同的 馮 諾伊曼在處理遍歷理論的問題時 往往著重于測度和譜的內(nèi)在聯(lián)系 定理 5 就是關(guān) 于離散譜的典型結(jié)果 對于具有純點譜的酉算子 u 由遍歷變換誘導而得 其譜實際上構(gòu) 成實數(shù)群的一可數(shù)子群 反過來 實數(shù)群的每個無窮可數(shù)子群均可作為某些遍歷變換所誘 導的酉算子的純點譜 與此對應 又有馮 諾伊曼和庫普曼關(guān)于連續(xù)譜的混合定理 mixing theorem 它斷言 遍歷變換的幾何性質(zhì) 混合性 與酉算子的譜性質(zhì) 無非平凡的特征值 是等價的 對于馮 諾伊曼在測度論和遍歷理論方面所取得的成果 哈爾莫斯給予了如此的評價 從文獻數(shù)量上看 它們尚不及馮 諾伊曼全部科學論著的十分之一 但就質(zhì)量而言 即使 他從未在其他方面作過研究 這些成果也足以使他在數(shù)學界享有永久的聲望 4 群論 馮 諾伊曼的一個著名成果 是在 1933 年對緊致集解決了希爾伯特第五問題 早在 1929 年 他曾證明對連續(xù)群有可能改變參數(shù) 使群的運算成為解析的 具體地說 對于 n 維空間中的線性變換群 它有一正規(guī)子群 可以被解析地且按有限個參數(shù)一一對應的方式 局部表出 這是第一篇對解決希爾伯特第五問題做出貢獻的文章 1933 年 他在 數(shù)學紀事 第 34 卷上發(fā)表 拓撲群中解析參數(shù)導論 die einfhrung analytischer parameter in topologischen gruppen 證明每個局部同胚于 歐氏空間的緊致群允許一李群結(jié)構(gòu) 這樣 希爾伯特第五問題在緊致群的條件下得到了肯 定的回答 問題的解決用到了彼得 peter 外爾積分在群上的類比 施密特的函數(shù)逼近定理及 l e j 布勞威爾 brouwer 關(guān)于歐氏空間的區(qū)域不變性定理 體現(xiàn)出馮 諾伊曼豐富的集 合論與實變函數(shù)知識以及他對積分方程 矩陣計算技巧的熟練應用 另一項工作亦同群論相關(guān) 群上的殆周期函數(shù) almost pe riodic function 理 論 他把 h 玻爾 bohr 首創(chuàng)的實數(shù)集上殆周期函數(shù)概念擴展到任意群 g 中 繼而在新的 殆周期函數(shù)理論與彼得 外爾的群表示理論之間建立起聯(lián)系 設群 g 的有限矩陣表示為 d x dij x 則下述三個條件等價 1 每個 dij x 都是 g 上的有界函數(shù) 2 每個 dij x 都是 g 上的殆周期函數(shù) 3 d 等價于一個酉矩陣的表示 6 他由此指出 群上的殆周期函數(shù)構(gòu)成了群表示理論的最大適用范圍 5 算子理論 對算子理論的探索貫穿了馮 諾伊曼的整個科學生涯 這方面的論文占他全部著述的三 分之一 他在這個領(lǐng)域有著 20 多年的領(lǐng)導地位 1927 1930 年 他首先給出了希爾伯特空間的抽象定義 即現(xiàn)在所使用的定義 然后 對于希爾伯特空間上自共軛算子譜理論從有界到無界的推廣 做了系統(tǒng)的奠基性工作 引 入稠定閉算子的概念 給出無界自共軛算子 酉算子以及正規(guī)算子的譜分解定理 指出了 對稱算子和自共軛算子在性質(zhì)上的差異 還與外爾共同研究了無界算子經(jīng)過擾動后譜的變 化規(guī)律 馮 諾伊曼的譜理論的形成 加上 1933 年巴拿赫所著 線性算子理論 th orie des operations li naires 一書的問世 標志著數(shù)學領(lǐng)域中又一新的分支 泛函分析的誕 生 20 年代 e 諾特 noether 和 e 阿廷 artin 發(fā)展了非交換代數(shù)理論 馮 諾伊曼意 識到這是對矩陣論極好的闡釋和簡化 他嘗試著將有關(guān)概念擴展到希爾伯特空間上的算子 代數(shù)中 由此產(chǎn)生了 算子環(huán) 的概念 關(guān)于弱 或強 算子拓撲為閉且含有恒等算子 i 的 子代數(shù)稱為算子環(huán) 算子環(huán)可以認為是有限維空間內(nèi)矩陣代數(shù)的自然推廣 后來被人們 稱為馮 諾伊曼代數(shù) 以示對馮 諾伊曼的紀念 而在同構(gòu)意義下 它又可稱作 w 代數(shù) 算子環(huán)的正式定義出現(xiàn)在馮 諾伊曼 1929 年的論文 函數(shù)運算代數(shù)和正規(guī)算子理論 zur algebra der funktionaloperati oren und theorie der normalen operatoren 中 這篇論文還包括了 交換子 mutant 因子 factor 等重要定義 以及二次交換子定理 double mutant theorem 是算子環(huán) 則交換子也是算子環(huán) 且 這實際上給出了算子環(huán)的一個等價定義 希爾伯特空間 h 上有界線性算子全體 h 中 滿足 的 子代數(shù)稱為算子環(huán) 這一定義是研究算子環(huán)的重要工具 如判斷算子何時 與一算子環(huán)相伴 用于對稠定閉算子進行標準分解等 從 1935 年開始 馮 諾伊曼在 f j 默里 murray 的協(xié)助下 又寫出了題為 論算子 環(huán) on rings of operators 的系列文章 他們的首要結(jié)論是 算子環(huán)可以表示為因子的連續(xù)直積分 因此 對算子環(huán)的研究便 歸結(jié)為對因子的研究 受經(jīng)典非交換代數(shù)理論的啟示 人們曾推測所有因子均同構(gòu)于 h 馮 諾伊曼和默里 在 論算子環(huán) i 中證明 當因子包含極小射影時 它同構(gòu)于 h 但同時 他們又應用 遍歷論的技巧 構(gòu)造出一類重要的例子 說明并非所有的因子都有極小射影 因而有關(guān)因 子的性質(zhì)遠非人們推測的那樣簡單 他們在因子的射影之間建立了序關(guān)系 使之具有可比性 而這種序關(guān)系又可用維數(shù)函 數(shù) 定義于因子的等價類之上 來表述 根據(jù)維數(shù)函數(shù)值域的不同情況 對因子有以下分類 通過群測度空間的構(gòu)造 他們得到了 1 型和 型因子 1940 年的 論算子環(huán) 又給出了 型因子的例子 繼因子的分類和各類因子存在性的證明之后 一個重要的問題是 這種分類是否完成 了因子的代數(shù)分類 即某給定類型中的全體因子是否同構(gòu) 馮 諾伊曼和默里花去大量時間 考察這個問題 最終構(gòu)造出兩個新的 1 型因子并證明它們是非同構(gòu)的 從而給了原問題 否定的回答 7 6 格論 馮 諾伊曼在研究希爾伯特空間算子環(huán)時 遇到了一類完備有補模 定義 l 為連續(xù)幾何 continuous geome try 并構(gòu)造出一類重要的連續(xù)幾何 對任意可 除環(huán) f 和自然數(shù) n f 上的 2n 維子空間構(gòu)成 2n 1 維射影幾何 pg f 2n 1 將它度量完 備化之后得到的有補模格就是連續(xù)幾何 記為 cg f 他證明了希爾伯特空間中的 1 型因 子具有與 cg f 同構(gòu)的不變子空間格 正則環(huán) regular ring 是馮 諾伊曼引入的另一新概念 a 是有單 何的表示有著密切 聯(lián)系 連續(xù)幾何 l 與某正則環(huán) a 的主左理想構(gòu)成的格同構(gòu) 也就是說 將 a 分解為諸理想 的直和 對應于把 l 分解為諸格的直積的問題 在這些結(jié)論的證明過程中 馮 諾伊曼又發(fā)展了一些新的思想方法 其中主要是關(guān)于格 的分配性 數(shù)對的分配性 獨立元的分配性和無窮分配性等 他最早發(fā)現(xiàn) 在布爾代數(shù)中 交與并的運算必然是無窮分配的 而這種分配性又等價于連續(xù)性 他在格論方面的工作大部分未能及時發(fā)表 主要通過 1935 1937 年高級研究院的講義 復域幾何 geometry of plexdomains 連續(xù)幾何 及美國科學院會 議錄得以保存和傳播 應 用 數(shù) 學 1940 年以后 隨著第二次世界大戰(zhàn)中政治 經(jīng)濟和軍事形勢的發(fā)展 馮 諾伊曼開始 把精力更多地投注于實際問題之中 主要是計算數(shù)學和對策論兩方面的工作 1 計算數(shù)學 馮 諾伊曼認為 描述物理現(xiàn)象的方程一旦用數(shù)學語言給予表達 就可以從數(shù)值上得到 解決而無須借助于常規(guī)方法或進行重復試驗 他在計算數(shù)學方面的努力 是與他的這種觀 點以及解決實際問題的困難程度分不開的 大戰(zhàn)中 各種技術(shù)問題引起了快速估計和逼近解的需要 這些問題往往涉及一些不能 忽略或分離的外部擾動 必須借助數(shù)值方法進行定性分析 馮 諾伊曼從數(shù)值穩(wěn)定性分析 誤差估計 矩陣求逆和含間斷性解的計算等數(shù)個方向進行了探索 1946 年 他和 v 巴格 曼 bargmann d 蒙哥馬利 montgomery 合作 向海軍武器實驗室提交了報告 高階線性 系統(tǒng)求解 solutionof linear systems of high order 對線性方程組的各種解法進行 了系統(tǒng)闡述 并探討了利用計算機進行實際求解的可能性 1947 年 他又同 h 哥德斯坦 goldstine 研究了高階矩陣的數(shù)值求逆 并給出嚴格的誤差估計 特別是對 150 階矩陣求 逆所能達到的精確程度給出了有意義的結(jié)果 在解決可壓縮氣體運動尤其是存在間斷性的情況時 馮 諾伊曼創(chuàng)始了人工粘性法 例 如 物理學上有系統(tǒng)守恒律 ut f u 0 u 為熱量 f 為流量 它所描述的系統(tǒng)即使在初值光滑的情形下也會自發(fā)地產(chǎn)生間斷性 激波 馮 諾伊曼和 r 里希特邁耶 richtmyer 把它看成分布方程 求解過程便相當于尋求有效的數(shù)值算法來 計算分布導數(shù) 他們以拋物正則方程 ut f u u 代替原方程 使分布導數(shù)成為普通導數(shù) 從而可用有限差分來近似 這樣得出的解總 是光滑的 這種在計算公式中人為加入 粘性 項的方法 使激波間斷成為光滑的過渡區(qū) 激波的位置與強度便很容易確定了 人工粘性法是現(xiàn)代流體動力學中拉格朗日方法的第一 個例子 提供了在電子計算機上對流體力學進行數(shù)值模擬的有力手段 8 電子計算機產(chǎn)生之后 馮 諾伊曼又推出了利用計算機進行數(shù)值分析的新思想 新方法 從而推動了計算數(shù)學的興起與形成 也使他成為現(xiàn)代科學計算的奠基人之一 詳見本文 計 算機的理論與實踐 部分 2 對策論與數(shù)理經(jīng)濟 馮 諾伊曼是對策論 又稱博弈論 的創(chuàng)始人和現(xiàn)代數(shù)理經(jīng)濟學的開拓者之一 本世紀 20 年代 波萊爾最早用數(shù)學語言刻畫了博弈問題 引進純策略與混合策略的概念 并提出 解決個人對策與零和二人對策的數(shù)學方案 但是 對策理論作為學科的真正創(chuàng)立 則是從 馮 諾伊曼 1928 年發(fā)表 關(guān)于伙伴游戲理論 zur the orie der gesellschaftsspiele 開始的 文中最重要的結(jié)論 是關(guān)于零和二人對策的極小極大定理 minimax theorem m n 矩陣 a 是正規(guī)化零和二人對策的支付矩陣 x 和 y 是對局雙方采取的混合策略的概率向量 存在唯一數(shù)值 v 使得 同時 存在最優(yōu)策略 x 和 y 使 以極小極大定理為依據(jù) 馮 諾伊曼首先討論了合作對策問題 特別是零和三人對策中 有兩方聯(lián)合的情形 為了給出合作對策解的概念 他引入特征函數(shù)的思想 最后又明確表 述了 n 個游戲者的一般博弈方案 結(jié)果表明 在附加條件下 n 人對策問題的解是存在并 且唯一的 極小極大定理是對策論的基石 30 年代 馮 諾伊曼本人及其他數(shù)學家陸續(xù)給出此定 理的一些新的證明方法 到了 40 年代 a 瓦爾德 wald 以極小極大定理為基礎(chǔ) 把決策 過程視為人與環(huán)境進行的二人對策問題 由此開創(chuàng)了統(tǒng)計決策理論 從那時起 對策論成 為應用數(shù)學中一個活躍的研究領(lǐng)域 1940 年 奧地利經(jīng)濟學家 o 摩根斯坦 morgenstern 來到普林斯頓 他使馮 諾伊曼 對經(jīng)濟問題特別是貨物交換 市場控制和自由競爭等產(chǎn)生興趣 經(jīng)過四年的合作 他們出 版了 對策論與經(jīng)濟行為 theory of games and economic behavior 這部著作對 1928 年的論文進行了進一步闡述 如增加了 分配 imputa tion 控制 domination 的概念 定義了馮 諾伊曼 摩根斯坦解 全書有近三分之二的篇幅是處理合 作對策問題的 對策論在經(jīng)濟理論基本問題中的應用 是書中另一重要成果 他們認為 盡管當時的 經(jīng)濟學還處于發(fā)展早期 如同 16 世紀的物理學 但最終它必將也像物理學一樣 發(fā)展成 為一門嚴密的數(shù)理科學 而對策論就是邁向綜合性的數(shù)理經(jīng)濟學的第一步 這實際上體現(xiàn) 了馮 諾伊曼將社會科學也納入公理化數(shù)學體系的愿望 早在 1932 年普林斯頓舉辦的一次學術(shù)討論會上 馮 諾伊曼還討論了一般經(jīng)濟平衡的 模型化問題 他給出貨物生產(chǎn)與消費的一個經(jīng)濟模型 并指出了模型問題與極小極大定理 的密切關(guān)系 當把經(jīng)濟活動視為零和對策問題時 經(jīng)濟模型的平衡點就是對策問題中的極 大極小值 v 物 理 學 馮 諾伊曼的眼光并未只局限于數(shù)學方面 他對物理科學同樣有著濃厚的興趣 可以說 對數(shù)學和物理學之間內(nèi)在聯(lián)系的探討 在他的科學成就中具有最重大的意義 前面提到的 9 算子理論和遍歷理論等 實質(zhì)上都與他在理論物理領(lǐng)域的工作 量子力學的數(shù)學化密不 可分 1926 年 馮 諾伊曼來到格丁根大學 他在跟隨希爾伯特研究數(shù)學基礎(chǔ)的同時 被格 丁根大學內(nèi)正在開展的量子力學工作深深吸引住了 當時的量子力學在數(shù)學上有兩種表述 體系 w 海森堡 heisenberg m 玻恩 born 和 w 泡利 pauli 從微觀粒子的粒子性出 發(fā)建立的矩陣力學 e 薛定諤 schr dinger 從波動性出發(fā)建立的波動力學 對于推測原 子的性質(zhì)這一實用目的來說 這兩種體系是足夠的 不久 薛定諤又證明了兩者的等價性 并歸結(jié)為由 p 狄拉克 dirac 和 p 約當 jordan 發(fā)展的變換理論的特殊情形 但是 馮 諾伊曼等人對此并不滿意 他們希望從中提取更多的共性 建立量子力學的形式化體系 這年冬天 希爾伯特就量子力學的新發(fā)展作了一次演講 l 諾德海姆 nordheim 為講 義的物理部分準備了材料 而關(guān)于數(shù)學形式化部分的主要工作 則是由馮 諾伊曼完成 的 量子理論的一個基本點 是原子狀態(tài)的數(shù)學描述 馮 諾伊曼對此并未明確定義 而是 給予了形式化的處理 原子的狀態(tài)由希爾伯特空間中的單位向量表征 這正如希爾伯特對 歐氏幾何進行形式化時 把點 直線作為不定義術(shù)語一樣 馮 諾伊曼指出 這種描述同海 森堡和薛定諤的定義是一致的 而且代數(shù)中的形式規(guī)則如加法 乘法規(guī)則 對他們的表述 體系同樣適用 他又構(gòu)造了基于五條公理之上的抽象希爾伯特空間 并證明海森堡和薛定諤的原子狀 態(tài)定義滿足五條公理 最后的結(jié)論是 量子力學的一種合適的形式語言 由抽象希爾伯特 空間的向量 代表系統(tǒng)狀態(tài) 某類算子 代表系統(tǒng)中的可觀察量 及其代數(shù)規(guī)則構(gòu)成 這些方法極好地體現(xiàn)了希爾伯特的公理化綱領(lǐng) 成為量子力學數(shù)學化的序曲 也促使 馮 諾伊曼對希爾伯特空間的算子理論給予了充分的發(fā)展 1932 年 他的名著 量子力學的數(shù)學基礎(chǔ) 由德國斯普林格公司出版 這是對先前的 方法和結(jié)論的綜合與完善 他特別指出 狄拉克等人在處理算子的概念時 對其定義域和 拓撲并未予以充分考慮 草率地假設當算子為自共軛時 總可以被對角化 而對于無法對 角化的 則引入狄拉克非正常函數(shù) 函數(shù) 的概念 馮 諾伊曼發(fā)現(xiàn)了它的自相矛盾的性 質(zhì) 并用自己的成就證明 變換理論能夠建立在清晰的數(shù)學基礎(chǔ)之上 其方法并非去修正 狄拉克的理論 而是發(fā)展希爾伯特的算子理論 當他成功地將算子譜論由有界推廣到無界 情形后 便最終完成了量子力學的形式化工作 它包含海森堡和薛定諤等人的體系作為特 殊情況 書中另一個主要內(nèi)容 是從統(tǒng)計學角度闡述了量子力學中的 因果律 causality 和 測不準原理 indeterminacy 他的結(jié)論是 量子系統(tǒng)的不確定性并非由于觀察者的狀 態(tài)未知所致 即使在系統(tǒng)中引入假想的 隱參量 hidden parameters 使觀察者處于精 確的狀態(tài) 最終仍會因為觀察者的主觀意識而導致不確定的觀察結(jié)果 這種觀點得到了大 多數(shù)物理學家的贊同 此書還包括了對量子力學中特殊問題的解決 例如遍歷假設在量子系統(tǒng)中的表述和證 明 這成為他后來開辟的遍歷理論的先聲 量子力學的數(shù)學基礎(chǔ) 德文版 先后被譯為法文 1947 年 西班牙文 1949 年 英 文 1955 年 和日文 它至今仍是理論物理領(lǐng)域的經(jīng)典之作 1927 年 馮 諾伊曼開始用概率術(shù)語對量子力學進行分析 引入統(tǒng)計矩陣 u 現(xiàn)稱為 矩陣 來描述各種量子狀態(tài)的系統(tǒng)之集合 統(tǒng)計矩陣成為量子統(tǒng)計學的主要工具 而他關(guān)于 量子力學的度量理論則為熱力學的發(fā)展奠定了基礎(chǔ) 計算機的理論與實踐 10 在洛斯阿拉莫斯 原子核裂變過程所提出的大量計算任務 促使馮 諾伊曼關(guān)注著電子 計算機的研制情況 從 1944 年 8 月到 1945 年 6 月 他參與了對電子數(shù)值積分和計算器 eniac ele ctronic numerical integrator and calculator 的考察和改進工作 他發(fā)現(xiàn) eniac 機的主要缺陷 是仍采取以往機電式計算機的 外插型 程序 在按給定程序執(zhí)行 運算時 每個問題都需要一個特殊的線路系統(tǒng) 因而缺乏高速計算所必需的靈活性和普遍 性 1945 年 3 月 馮 諾伊曼為賓夕法尼亞大學起草了離散變量自動電子計算機 edvac electronic discrete variable puter 的設計方案 轟 動了科學界 第二年 6 月 他又與 a 伯克斯 burks 哥德斯坦聯(lián)名提出更完善的報告 電子計算機邏輯設計初探 preliminary discussion of the the logical design of an electronic puting instrument 揭開了計算機發(fā)展史上新的一頁 在這兩份報告中 馮 諾伊曼建立了計算機組織的最主要結(jié)構(gòu)原理 存儲程序 stored program 原理 它確定計算機由五部分構(gòu)成 計算器 控制器 存儲器 輸入和 輸出裝置 程序由指令組成并和數(shù)據(jù)一起存放在存儲器中 機器按程序指定的邏輯順序 把指令從存儲器中讀出來并逐條執(zhí)行 從而自動完成程序描述的處理工作 根據(jù)這一原理設計的 edvac 機和 ias 機方案 與 eniac 機相比有如下重要的改進 1 將十進制改為二進制 程序和數(shù)據(jù)均由二進制代碼 code 表示 2 程序由外插變?yōu)閮?nèi)存 當算題改變時 不必變換線路板而只需更換程序 3 以超聲波信號的方式存儲輸入的電信號 并建立多級存儲結(jié)構(gòu) 存儲能力大大提高 4 采用并行計算原理 即對數(shù)字的各位同時進行處理 從 1946 年開始 馮 諾伊曼組織哥德斯坦等人在高級研究院進行了 ias 機的實際建造 工作 1951 年終于獲得成功 它的運算速度達到每秒百萬次以上 比 eniac 機快數(shù)百倍 實現(xiàn)了馮 諾伊曼的設想 由存儲程序原理構(gòu)造的電子計算機稱為存儲程序計算機 后又被稱為馮 諾伊曼型 機 現(xiàn)代計算機的組織結(jié)構(gòu)雖然有了一些重大變化 但就原理而言 占主流的仍是以存儲 程序原理為基礎(chǔ)的馮 諾伊曼型機 馮 諾伊曼的思想深深地影響著現(xiàn)代計算機的存儲 速 度 指令選取和線路設計等各個方面 馮 諾伊曼的名字是與計算機設計家聯(lián)系在一起的 然而 他對計算機的主要興趣并不 在于計算機的設計與制造 而在于如何利用這種新型科學工具 開創(chuàng)現(xiàn)代科學計算的新天 地 古典的數(shù)值分析方法 對于計算機來說未必是最優(yōu)的 而一些在算術(shù)上極為復雜的方 法 編制為程序后反而容易在新型計算機上得以實現(xiàn) 馮 諾伊曼從這一實際情況出發(fā) 為 計算機程序設計做了大量工作 他和哥德斯坦發(fā)明了流程圖 flow diagram 以溝通所要計 算的問題和機器指令 他引入子程序和自動編程法 大大簡化了程序員編程時的繁瑣程 度 矩陣特征值計算 求逆 多元函數(shù)極值和隨機數(shù)產(chǎn)生等數(shù)十種計算技巧 也都是他在 戰(zhàn)后的幾年內(nèi)首創(chuàng)的 它們在工業(yè)部門和政府計劃工作中有著廣泛的應用 電子計算機誕生后 馮 諾伊曼和 s 烏拉姆 ulam 倡導了一種新型計算方法 蒙特 卡洛法 monte carlo method 它將所要求解的數(shù)學問題化為概率模型 在計算機上以較 小規(guī)模實現(xiàn)隨機模擬 獲得近似解 例如 在計算 n 維立方體的某子區(qū)域的體積時 不用 通常的將空間分割為一系列格點以逼近所求體積的方法 而是按均勻的概率在空間中隨機 選擇點 利用計算機確定落在孩子區(qū)域中的點與所有點的比 當所選點的數(shù)量足夠多時 這個比便給出了體積的近似值 11 蒙特卡洛法的優(yōu)點在于對問題的幾何形狀不敏感 收斂速度與維數(shù)無關(guān) 因此特別適 用于高維數(shù)的數(shù)學物理問題 利用此法 馮 諾伊曼通過適當?shù)膶Σ弋a(chǎn)生了具有給定概率分 布的隨機數(shù)列 設計了處理玻爾茲曼方程的概率模型 戰(zhàn)后 他在高級研究院領(lǐng)導了一個 氣象研究小組 建立起模擬大氣運動的模型 希望利用計算機逐步求解從而解決數(shù)值天 和 技術(shù)上都有著極大的啟發(fā)意義 1956 年 美國原子能委員會在向馮 諾伊曼頒發(fā)費米獎時 特別提到了他對于在計算 機上進行計算研究的貢獻 從 1945 年起 馮 諾伊曼還致力于自動機理論及腦神經(jīng)和計算機的對比研究 他被認 為是自動機理論的創(chuàng)立者 本世紀三 四十年代 c 尚農(nóng) shannon 的信息工程 a 圖靈 turing 的理想計算機 理論和 r 奧特維 ortvay 對人腦的研究 引發(fā)了馮 諾伊曼對信息處理理論的興趣 而 1943 年 w 麥考洛奇 mcculloch 與 w 匹茨 pitts 所著的 神經(jīng)活動中內(nèi)在意識的邏輯 分析 a logical calculus of the ideas imma nent in nervous activity 則使他 看到了將人腦信息過程數(shù)學定律化的潛在可能 在他 1945 年關(guān)于 edvac 機的設計方案中 所描述的存儲程序計算機便是由麥考洛奇和匹茨設想的 神經(jīng)元 neurons 所構(gòu)成 而非 利用真空管 繼電器或機械開關(guān)等常規(guī)元件 此后 他參加了有關(guān)信息論 控制論的系列會議 同數(shù)學家 物理學家 電工學家和 生物學家進行廣泛接觸 逐漸形成了能同時應用于生物和技術(shù)領(lǐng)域的自動機理論 1948 年 9 月 在?？怂?hixon 討論班上 他作了 自動機的一般邏輯理論 the ge neral and logical theory of automata 的報告 提出自動機的自繁殖和迭代陣列等新概念 并對人 造自動機 如計算機 和天然自動機 如人腦 進行了比較 他通過計算說明 計算機中電子 元件的數(shù)量不過是人腦神經(jīng)元數(shù)目的百萬分之一 而另一方面 信息在電子元件中的傳遞 速度大約是在腦神經(jīng)中的一萬倍 這樣 計算機以速度取勝 而大腦則在復雜性上占 優(yōu) 為了使兩者的特性具有可比性 可用每秒內(nèi)發(fā)生的電信過程作為標準 計算顯示 人 腦的特性要超出