高中數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何課件人教版選修21.ppt

選修2 1空間向量與立體幾何教學(xué)指導(dǎo)意見解讀及教學(xué)體會(huì) 鎮(zhèn)海中學(xué)楊一麗2009 2 15 基本思想 根據(jù)立體幾何問題的特點(diǎn) 以適當(dāng)?shù)姆绞?例如構(gòu)建向量 建立空間直角坐標(biāo)系 用空間向量表示空間圖形中的點(diǎn) 線 面等元素 建立起空間圖形與空間向量的聯(lián)系 然后通過空間向量的運(yùn)算 研究相應(yīng)元素之間的關(guān)系 平行 垂直和夾角等 最后對(duì)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義作出解釋 從而解決立體幾何問題 教科書通過例題 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解決立體幾何問題的三種方法 向量方法 坐標(biāo)法 綜合法 進(jìn)行比較 分析各自的優(yōu)勢(shì) 因題而宜作出適當(dāng)?shù)倪x擇 從而提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力 利用向量來解決立體幾何問題是學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的重點(diǎn) 要讓學(xué)生體會(huì)向量的思想方法 在數(shù)學(xué)2 立體幾何初步 中 側(cè)重于定性地研究線 面的位置關(guān)系 而本章則借助于空間向量 側(cè)重于定量研究 一 空間向量與立體幾何 教學(xué)中幾個(gè)問題的探析 1 如何進(jìn)行空間向量及其運(yùn)算的教學(xué) 空間向量及其運(yùn)算 要求讓學(xué)生經(jīng)歷由平面向空間推廣的過程 目的是讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的思想方法 體驗(yàn)數(shù)學(xué)在結(jié)構(gòu)上的和諧性與在推廣過程中可能帶來的問題 并嘗試如何解決這些問題 同時(shí) 在這個(gè)過程中 也讓學(xué)生感知一個(gè)數(shù)學(xué)概念的推廣可能帶來很多更好的性質(zhì) 同時(shí)注意空間向量與平面向量的區(qū)別的聯(lián)系 教學(xué)中 要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)類比 歸納 推廣 化歸等思想方法 提高數(shù)學(xué)素養(yǎng) 向量運(yùn)算的引人 使數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)象發(fā)生了重大變化 從數(shù) 字母與代數(shù)式到向量 這為進(jìn)一步理解其他數(shù)學(xué)運(yùn)算 如函數(shù)的運(yùn)算 映射 變換的運(yùn)算 等等 創(chuàng)造了條件 特別是當(dāng)學(xué)生利用向量運(yùn)算解決了立體幾何中的問題時(shí) 如證明直線與平面垂直的判定定理 就更有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義 感悟運(yùn)算 推理在探索和發(fā)現(xiàn)中的作用 體會(huì)數(shù)學(xué)研究方法的模式化特點(diǎn) 感受理性思維的力量 教材定義 平行于同一平面的向量叫做共面向量 為此 先規(guī)定向量與平面平行的含義 若表示向量的有向線段平行于平面或在平面內(nèi) 則稱向量與平面平行 共面向量實(shí)質(zhì)為 能平移到同一平面內(nèi)的向量 突出了空間向量是 自由向量 的特征 所以任意兩個(gè)空間向量都是共面向量 定理的教學(xué)要注意與平面向量基本定理加以類比 兩者不僅在形式上是相同的 而且在本質(zhì)上也是一致的 這是因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)空間向量a b都可以平移到同一個(gè)平面 當(dāng)a b不共線時(shí) 它們可以作為基向量 向量p與它們共面 也就是向量p可以平移到這個(gè)平面 所以就能用a b線性表示 2 注意 共面向量 的有關(guān)概念教學(xué) 3 注意空間向量的數(shù)量積的教學(xué) 由于任意兩個(gè)空間向量都是共面向量 所以空間兩個(gè)向量的夾角的定義和取值范圍 兩個(gè)向量垂直的定義和符號(hào) 兩個(gè)空間向量的數(shù)量積等等 都與平面向量相同 教學(xué)中 應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自己將平面向量中數(shù)量積的有關(guān)概念 運(yùn)算和方法推廣到空間 要求學(xué)生理解向量的數(shù)量積是實(shí)施向量等式向數(shù)量等式轉(zhuǎn)化的重要途徑 教材中引入了兩個(gè)向量a與b夾角的符號(hào) 要求學(xué)生能正確使用 例如 bac 空間向量數(shù)量積運(yùn)算律的證明不作要求 4 為何引入直線的方向向量和平面的法向量 空間線線 線面 面面的位置關(guān)系中 角是反映了它們?cè)?方向 上的差異 因此 用向量來刻畫這種差異 就先要規(guī)定直線和平面的 方向 這樣 就需要引入直線的方向向量和平面的法向量 直線l上的向量e以及與e共線的向量叫做直線的方向向量 直線的方向向量不止一個(gè) 它們都是共線向量 兩條平行直線的方向向量是共線向量 因此 研究空間直線與直線 直線與平面的平行與垂直關(guān)系 以及它們所成的角的問題 即研究它們?cè)?方向 上的差異程度時(shí) 就可以用直線的方向向量來刻畫直線的 方向 由于垂直于同一平面的直線是互相平等的 因此可以用平面的垂線的方向向量來刻畫平面的 方向 平面的法向量不止一個(gè) 它們都是共線向量 兩個(gè)平行平面的法向量是共線向量 也就是說 兩個(gè)平行平面的 方向 是相同的 因此 研究空間直線與平面 平面與平面的平行與垂直關(guān)系 以及它們所成角的問題 即研究它們?cè)?方向 上的差異程度時(shí) 就可以用平面的法向量來刻畫平面的 方向 5 如何利用空間向量解決立體幾何問題 關(guān)于度量計(jì)算 只要求用向量法解決線線 線面 面面的夾角的計(jì)算 而不要求去解決有關(guān)距離的計(jì)算等問題 用向量法求線線 線面 面面所成的角時(shí) 一般可結(jié)合圖形來確定 由于兩個(gè)向量夾角的取值范圍是 0 空間兩條直線所成的角的范圍是 0 2 所以空間兩條直線所成的角等于這兩條直線的方向向量的夾角 或者其補(bǔ)角 平面的斜線與平面所成的角的范圍是 0 2 所以平面的斜線與平面所成的角等于這條斜線的方向向量與平面法向量的夾角 或者其補(bǔ)角 的余角 二面角的取值范圍是 0 所以它的大小等于兩個(gè)平面的法向量夾角的補(bǔ)角 當(dāng)兩個(gè)法向量 指向 相同時(shí) 或者就等于法向量的夾角 當(dāng)兩個(gè)法向量 指向 相反時(shí) 6 如何把握三垂線定理的教學(xué) 在數(shù)學(xué)2立體幾何中 三垂線定理淡出 只是在例題中用綜合法通過直線與平面的垂直證明了這個(gè)定理 但是沒給出 三垂線定理 的名稱 選修2 1中要求學(xué)生會(huì)用向量方法證明三垂線定理 進(jìn)一步體會(huì)向量方法在研究幾何圖形中的作用 但不要求將三垂線定理作為推理的依據(jù) 課程目標(biāo)空間向量為處理立體幾何問題提供了新工具和新方法 通過學(xué)習(xí)本章 可以使學(xué)生在對(duì)平面向量已有認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上 進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間向量 并運(yùn)用空間向量研究立體幾何中的問題 進(jìn)一步體會(huì)向量方法在解決幾何問題中的作用 一 課程目標(biāo)與學(xué)習(xí)目標(biāo) 二 指導(dǎo)意見解讀 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由二維平面情形向三維空間情形推廣的過程 2 了解空間向量的概念 了解空間向量的基本定理 掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 3 掌握空間向量的線性運(yùn)算及其表示 4 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示 能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線 平行 與垂直 5 理解直線的方向向量與平面的法向量 6 能用向量語言描述直線與直線 直線與平面 平面與平面的垂直 平行關(guān)系 7 能用向量方法證明有關(guān)直線 平面位置關(guān)系的一些定理 8 能用向量方法解決直線與直線 直線與平面 平面與平面的夾角等的計(jì)算問題 體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用 二 與原大綱教材的比較 三 內(nèi)容與要求 本章共分兩節(jié) 3 1空間向量及其運(yùn)算3 2立體幾何中的向量方法 3 1空間向量及其運(yùn)算空間向量及其加減法運(yùn)算空間向量數(shù)乘運(yùn)算 直線的方向向量 共面向量定理 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 空間向量基本定理 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 3 1節(jié)的重點(diǎn)與難點(diǎn) 空間向量及其運(yùn)算 是本章的基礎(chǔ) 這一節(jié)的重點(diǎn)是空間向量的基本概念和基本運(yùn)算 空間向量的基本定理 難點(diǎn)是空間向量的基本定理 3 2立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法 三步曲 1 向量表示2 向量運(yùn)算3 回歸幾何 3 2節(jié)的重點(diǎn)與難點(diǎn) 立體幾何中的向量方法 從一個(gè)側(cè)面 立體幾何 反映了空間向量的應(yīng)用 同時(shí)也是對(duì)空間向量的再認(rèn)識(shí) 重點(diǎn)是理解并掌握向量方法解決立體幾何問題的一般方法 三步曲 難點(diǎn)是建立立體圖形與空間向量之間的聯(lián)系 把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題 閱讀與思考 本章在3 1節(jié) 空間向量及其運(yùn)算 之后安排了一個(gè) 閱讀與思考 向量概念的推廣與應(yīng)用 介紹了三維以上的高維向量 并通過例子說明高維向量的應(yīng)用 它可供學(xué)有余力的學(xué)生學(xué)習(xí) 本章知識(shí)結(jié)構(gòu) 四 課時(shí)分配 12課時(shí) 1 把重點(diǎn)放在空間向量和向量法上 空間向量和向量方法是重點(diǎn) 而對(duì)于立體幾何知識(shí)并不作系統(tǒng)安排 只是通過幾個(gè)立體幾何具體問題的例子 體現(xiàn)空間向量在解決立體幾何問題時(shí)的應(yīng)用 要使學(xué)生加強(qiáng)對(duì)幾何中向量方法的一般性認(rèn)識(shí) 空間向量的教學(xué)中 用好平行六面體 類比平面向量提出空間向量中的問題和研究方法 可以自學(xué) 3 2節(jié)的教學(xué) 以立體幾何問題為載體 以向量法學(xué)習(xí)為主 注意引導(dǎo)學(xué)生思考幾何問題的向量表示 向量法中 要抓住根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)?基底 建立空間坐標(biāo)系的訓(xùn)練 五 教學(xué)建議 2 注意數(shù)與形的關(guān)聯(lián) 向量 數(shù)與形的結(jié)合體 要注意與立體幾何的橫向聯(lián)系 特別要注意點(diǎn) 線 面關(guān)系的向量表示 這是核心 如 2 注意數(shù)與形的關(guān)聯(lián) 向量的特征之一是其本身具有數(shù)與形兩重含義 本章教學(xué)中 除了要關(guān)注前面多次提及的知識(shí)縱向聯(lián)系之外 還要特別關(guān)注知識(shí)的橫向聯(lián)系 從不同角度研究同一問題 認(rèn)識(shí)與運(yùn)用向量及其運(yùn)算中數(shù)與形的關(guān)聯(lián) 教學(xué)中應(yīng)結(jié)合幾何圖形予以探討 特別要重視平行六面體的模型作用 引導(dǎo)學(xué)生借助圖形理解它們 注意避免不聯(lián)系幾何意義的死記硬背 3 平面的法向量的計(jì)算 待定系數(shù)法 例如 在棱長(zhǎng)為a的正方體abcd a1b1c1d1中 e f分別是ab與bc的中點(diǎn) 求平面b1ef的法向量 4 空間角的計(jì)算 1 線線角設(shè)e1 e2分別為直線l1 l2的方向向量 直線l1 l2所成的角為 則 解 以點(diǎn)c為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示 設(shè)則 c 所以與所成角的余弦值為 c1 d 2 線面角設(shè)e為直線l的方向向量 n為平面 的法向量 l與平面 所成的角為 則 a c b m e d 3 二面角設(shè)n1 n2分別為平面 1 2的法向量 平面 1 2所成的二面角為 則 用法向量求二面角 圖1 圖2 設(shè)平面 5 深化理解向量運(yùn)算的作用空間向量的線性運(yùn)算 加 減 數(shù)乘 和數(shù)量積 要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合幾何問題 關(guān)