數(shù)學(xué)人教版六年級(jí)下冊(cè)抽屜原理——分配問(wèn)題.doc

抽屜原理分配問(wèn)題新華小學(xué) 徐姍教學(xué)目標(biāo)：1經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過(guò)程，初步了解“抽屜原理”，會(huì)用“抽屜原理”解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。2通過(guò)操作發(fā)展學(xué)生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學(xué)思維。3通過(guò)“抽屜原理”的靈活應(yīng)用感受數(shù)學(xué)的魅力。教學(xué)重、難點(diǎn)：經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過(guò)程，理解“抽屜原理”，并對(duì)一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題加以“模型化”。教學(xué)過(guò)程：一、生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化 初步感知抽屜原理模型。師：同學(xué)們，你們玩過(guò)搶椅子的游戲嗎？現(xiàn)在，老師這里準(zhǔn)備了3把椅子，請(qǐng)4個(gè)同學(xué)上來(lái)，誰(shuí)愿來(lái)？（學(xué)生上來(lái)后）1. 師提出游戲要求：(1)聽(tīng)清要求 ，老師開(kāi)始拍手以后，開(kāi)始搶凳子, 在停止之前老師會(huì)提醒參賽人員喊：“三、二、一、停！”(2)今天我們得”搶凳子游戲可和以往的不一樣哦. 聽(tīng)清要求: 請(qǐng)你們4個(gè)都坐在椅子上，（強(qiáng)調(diào)）每個(gè)人必須都坐下，好嗎？（好）。這時(shí)教師面向全體，背對(duì)那4個(gè)人。2.師：剛才老師一直面對(duì)著你們沒(méi)看到他們?cè)趺磽屢巫?，但是我大膽的猜測(cè)：“不管怎么坐，總有一把椅子上至少坐兩個(gè)同學(xué)”我說(shuō)得對(duì)嗎？（生：對(duì)）生：對(duì)?。ㄉ幌嘈胚€可以再玩搶椅子游戲驗(yàn)證。）師：“總有”是什么意思？“至少”是什么意思？3生嘗試解釋：“不管怎么坐，總有一把椅子上至少坐兩位同學(xué)”這個(gè)猜測(cè)。4.師揭示課題：你知道老師為什么猜的那么準(zhǔn)嗎？其實(shí)這中間蘊(yùn)含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)原理，叫做抽屜原理，這節(jié)課我們就一起來(lái)研究這個(gè)原理。設(shè)計(jì)意圖教師從學(xué)生熟悉的“搶椅子”游戲開(kāi)始，讓學(xué)生初步體驗(yàn)不管 怎么坐，總有一把椅子上至少坐兩個(gè)同學(xué)，使學(xué)生 明確這是現(xiàn)實(shí)生活中存在著的一種現(xiàn)象，即是生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化，不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模進(jìn)入躍躍欲試的狀態(tài)，為后面開(kāi)展教與學(xué)的活動(dòng)做了鋪墊。 二、感悟數(shù)學(xué)思想，建立數(shù)學(xué)模型。1.提問(wèn)引入。 師：你們知道抽屜是做什么用的呢？生：放東西的。有了放東西的,還要有什么？生：要放的東西。我們就假設(shè)要放的東西是小棒，下面我們就來(lái)研究往杯子里放小棒。同學(xué)們可以把杯子當(dāng)作抽屜。2.教學(xué)例一。（課件出示題目）：把4根小棒放入3個(gè)杯子，不管怎么放，總有一個(gè)杯子至少放2根小棒。問(wèn)：這句話是什么意思？“總有”什么意思？“至少”呢？（生按照自己的理解說(shuō)一說(shuō)）這句話對(duì)嗎？（1）動(dòng)手操作。師課件出示活動(dòng)要求并說(shuō)明：在判斷之前讓我們先研究一下“把4根小棒任意放入3個(gè)杯子有幾種放法？”請(qǐng)同學(xué)們用圓圈表示杯子，斜杠表示小棒，動(dòng)手放一放、畫(huà)一畫(huà)，看有有幾種擺法，將結(jié)果寫(xiě)在記錄單上，然后同桌再互相討論看看有沒(méi)有各自遺漏的擺法。師：（師巡視，個(gè)別指導(dǎo)。）誰(shuí)上臺(tái)展示一下自己的擺法？（展示臺(tái)投影）師：看這位同學(xué)是怎么放的！生：第一種方法是第一個(gè)杯子里放2根，第二個(gè)杯子里放1根，第三個(gè)杯子里放1根師：咱們數(shù)學(xué)講究簡(jiǎn)潔，我們可以用2，1，1來(lái)表示。板書(shū)：（2，1，1）那么其他三種放法也請(qǐng)同學(xué)們用這種簡(jiǎn)便方法表示出來(lái)。（根據(jù)學(xué)生擺的情況，板書(shū)：（2，1，1）（2，2，0）（3，1，0）（4，0，0）（2）交流匯報(bào)。師：其實(shí)就四種放法，我們一起來(lái)看看。（課件先出示四種放法，再出示猜測(cè)：把4根小棒放入3個(gè)杯子，不管怎么放，總有一個(gè)杯子至少放2根小棒。這句話對(duì)嗎？你找到那個(gè)能判斷出至少放2根小棒的杯子了嗎？）師板書(shū)：圈出至少數(shù)“2”。生交流匯報(bào)：對(duì)，因?yàn)榈谝环N放法（2，1，1）中放的小棒最多的杯子里有2根小棒。第二種放法（2，2，0）中放的小棒最多的杯子里有2根小棒。第三種放法（3，1，0）中放的小棒最多的杯子里有3根小棒。第四種擺法（4，0，0）中放的小棒最多的杯子里有4根小棒。而最多的小棒數(shù)中至少有2根小棒。所以把4根小棒任意放入3個(gè)杯子，總有杯子比其他杯子放的小棒多，這個(gè)杯子里至少有2枝小棒。3.師出題（課件出示）：那5根小棒放進(jìn)4個(gè)杯子，不管怎么放，總有一個(gè)杯子至少放幾根小棒？學(xué)生猜測(cè)：2或3。師：還有其他猜測(cè)嗎？（學(xué)生無(wú)語(yǔ)）我們驗(yàn)證一下。把5根小棒放入4個(gè)杯子，有幾種放法？小組合作，將結(jié)果寫(xiě)在記錄單上，驗(yàn)證你們的猜測(cè)對(duì)不對(duì)。同學(xué)們也可以用剛才簡(jiǎn)便的方法來(lái)表示你的放法。小組動(dòng)手操作，交流匯報(bào)。（師巡視，個(gè)別指導(dǎo)。）師：誰(shuí)上臺(tái)展示一下自己的擺法？（展示臺(tái)投影）（根據(jù)學(xué)生擺的情況，板書(shū)：（2，1，1，1）（2，2，1，0）（3，1，1，0）（3，2，0，0）（4，1，0，0）（5，0，0，0）生：我們?nèi)Τ雒糠N放法最多放幾根小棒，然后發(fā)現(xiàn)最多放的小棒里面至少可以放2根小棒。（師板書(shū)：圈出每種放法中最多的放幾根小棒，然后讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)最多放的小棒里至少可以放2根小棒。）設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生在經(jīng)歷“抽屜原理”建模形成過(guò)程中積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想。讓學(xué)生從動(dòng)手畫(huà)圖到不用畫(huà)圖直接推理，經(jīng)歷從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從感性到理性的過(guò)程。師：同學(xué)們真是太厲害了！借助剛才的經(jīng)驗(yàn)，先找到每組放法里面放的最多的杯子，他們組怎么一下子全找到了？生：他們組是有序思考。師：對(duì)啊，有序思考是我們研究數(shù)學(xué)常用的方法，它能做到不重復(fù)、不遺漏。他們組從最多里面再找到最少的，從而發(fā)現(xiàn)，不管怎么放，總有一個(gè)杯子里至少放2根小棒。不管是把4根小棒放入3個(gè)杯子，還是把5根小棒放入4個(gè)杯子，我們都是采用了一一列舉的方法來(lái)研究的，（板書(shū)：列舉法）列舉法是數(shù)學(xué)研究中一種常用的方法，它非常的直觀。4.師：如果這里有100根小棒放進(jìn)30個(gè)抽屜讓你用列舉法來(lái)研究，你覺(jué)得怎么樣？ 師：太麻煩了！是啊，那有沒(méi)有更簡(jiǎn)便的方法讓我們很快就找到至少數(shù)呢？我們?cè)倩仡^看。請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察每一種放法，分別找出哪一種放法最能說(shuō)明“總有一個(gè)杯子里至少放2根小棒呢？” 師：先來(lái)看把4根小棒放入3個(gè)杯子，哪種放法最能說(shuō)明至少數(shù)？生：（2，1，1）把5根小棒放入4個(gè)杯子呢？（生：（2，1，1，1）師：觀察這種放法和其他放法相比有什么特點(diǎn)？（生：它放的比較平均，讓每一個(gè)杯子里都有小棒。）師：均勻的放，在數(shù)學(xué)的語(yǔ)言上叫什么分？（生：平均分。）師：好了，那我們就以“4根小棒放入3個(gè)杯子”為例，來(lái)看一看它是怎么平均分的？（課件出示分的過(guò)程）哪位同學(xué)來(lái)說(shuō)說(shuō)是怎么分的？（生回答）設(shè)計(jì)意圖：鼓勵(lì)學(xué)生積極的自主探索，尋找不同的證明方法，在枚舉法的基礎(chǔ)上，學(xué)生意識(shí)到了要考慮最少的情況，從而引出假設(shè)法滲透平均分的思想。師：假設(shè)每個(gè)杯子放進(jìn)1根小棒，還剩1根小棒怎么放？生：可以放進(jìn)第一個(gè)杯子；可以放進(jìn)任意一個(gè)杯子。師：對(duì)，（課件演示）不管怎么放，總有一個(gè)杯子至少放（引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)“2根”），這樣我們就可以很快的找出至少，平均分確實(shí)很簡(jiǎn)便。師：你們能不能把剛才的平均分用算式表示出來(lái)？請(qǐng)寫(xiě)在記錄單的橫線上。（據(jù)生匯報(bào)板書(shū)：43=11）師：那至少2根，2是怎么來(lái)的呢？生：1+1=2。（師板書(shū)：1+1=2）師：1+1=2，這兩個(gè)1的意思一樣嗎？生：前一個(gè)1表示每個(gè)杯子里放1根小棒，后一個(gè)1表示剩下的1根小棒。師：所以我們要加上剩下的1。那你們能不能把“5根小棒放入4個(gè)杯子”的過(guò)程也用算式表示出來(lái)？寫(xiě)在記錄單上。生：54=11，1+1=2。設(shè)計(jì)意圖在這一環(huán)節(jié)的教學(xué)中緊抓假設(shè)法最核心的思路就是用“有余數(shù)除法” 形式表示出來(lái)，使學(xué)生學(xué)生借助直觀，能夠很好的理解如果把物品盡量多地“平均分”給各個(gè)抽屜里，看每個(gè)抽屜里能分到多少個(gè)物品，余下的物品不管放到哪個(gè)抽屜里，總有一個(gè)抽屜里比平均分得的物品數(shù)多1。師：看來(lái)同學(xué)們已經(jīng)會(huì)用有余數(shù)的方法來(lái)求至少數(shù)了。我們來(lái)回憶一下我們研究的過(guò)程。一開(kāi)始，我們是先把每種放法都列舉出來(lái)，然后在每種放法里面找出最多的，再?gòu)淖疃嗟睦锩嬲业阶钌俚?，從而發(fā)現(xiàn)至少數(shù)。而“用有余數(shù)的方法來(lái)求至少數(shù)”，這種方法在數(shù)學(xué)上叫做假設(shè)法（師板書(shū)），它里面蘊(yùn)含著同學(xué)們所說(shuō)的平均分。我們用有余數(shù)的算式把平均分的過(guò)程簡(jiǎn)明的表示出來(lái)了。現(xiàn)在同學(xué)們會(huì)用簡(jiǎn)便方法來(lái)求至少數(shù)了嗎？（生：會(huì)。）5.師：還記得我們玩的“搶椅子”游戲嗎？誰(shuí)能用假設(shè)法解釋：“6個(gè)人搶坐5把椅子，不管怎么坐，總有1把椅子上至少坐2個(gè)同學(xué)”？（師適當(dāng)引導(dǎo)：誰(shuí)是抽屜，誰(shuí)又相當(dāng)于要放的小棒？）生：5把椅子相當(dāng)于抽屜，6個(gè)人相當(dāng)于小棒，假設(shè)5把椅子上各坐了1個(gè)人，還剩1個(gè)人不管怎么坐，總有1把椅子上至少坐2人?？梢杂盟闶奖磉_(dá)：65=11，1+1=2。師：如果把7根小棒任意放入6個(gè)杯子里呢？（生：總有1個(gè)杯子至少有2根小棒。）請(qǐng)用假設(shè)法解釋“總有一個(gè)杯子至少有2根小棒”的結(jié)論。（師可引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)：假設(shè)剩下的小棒無(wú)論怎么放都保證至少）師要求同學(xué)繼續(xù)說(shuō)，不要停。師：停，你們累不累呀？還要一直說(shuō)下去嗎？能不能用一句話把它概括出來(lái)。（生回答）非常棒，你們知道嗎，這就是抽屜原理最簡(jiǎn)單的一種形式：把n+1個(gè)物品放進(jìn)n個(gè)抽屜里，如果每個(gè)抽屜各放1個(gè)物品，那么剩下1個(gè)物品，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜里至少有2個(gè)物品。三、豐滿提煉模型。1師：以上研究都是物品數(shù)只比抽屜數(shù)多1的情況，如果物品數(shù)比抽屜數(shù)多2，多3等等的時(shí)候總有1個(gè)抽屜的至少數(shù)又是多少呢？你們知道嗎，在其他國(guó)家是使用鴿籠來(lái)研究的，一起看：（課件出示：7只鴿子飛進(jìn)5個(gè)鴿舍，至少有幾只鴿子飛進(jìn)同一個(gè)鴿籠？（生獨(dú)立思考，自主探究，根據(jù)學(xué)生說(shuō)理情況，進(jìn)行課件操作演示。）問(wèn)：余下2只鴿子應(yīng)該怎么分？為什么？（生回答：雖然剩下的鴿子有2只，但是這兩只鴿子要分別飛進(jìn)不同的鴿舍才能保證至少的情況，所以結(jié)果也是至少有2只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿籠里。師進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)“至少”情況：這里鴿子數(shù)比鴿籠數(shù)多2，但是至少數(shù)是1+1=2，而不是1+2=3）問(wèn)：用一個(gè)什么算式表示呢？生：75=121+1=2（師板書(shū)）師：剛才我們?cè)诓恢挥X(jué)中把7只鴿子看成了什么？而把鴿籠又看成了什么？所以抽屜原理又被叫做“鴿籠原理”。如果把你們的文具盒看成是抽屜，那會(huì)不會(huì)創(chuàng)造出文具盒原理呢？（生：會(huì)）其實(shí)生活中抽屜原理是一種解決問(wèn)題的“模型”。用這個(gè)模型解決問(wèn)題時(shí)只要分清什么是待分物品，什么是抽屜就好了。2. 師：還記得“把100根小棒放進(jìn)30個(gè)杯子里，總有一個(gè)杯子至少放幾根小棒”這個(gè)問(wèn)題嗎？現(xiàn)在你能很快得出至少數(shù)了嗎？（課件出示：把100根小棒放進(jìn)30個(gè)杯子里，總有一個(gè)杯子至少放幾根小棒？）生：假設(shè)每個(gè)杯子平均放3根小棒，還剩下10根小棒，不管怎么放，總有一個(gè)杯子至少放4根小棒。 10030=3103+1=4 設(shè)計(jì)意圖在分析這類題的結(jié)構(gòu)中提煉數(shù)學(xué)模型的精髓，解決一個(gè)問(wèn)題的價(jià)值在于建立這樣一種解決問(wèn)題的模型而不在于這個(gè)問(wèn)題本身，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維能力的目的。3.總結(jié)抽屜原理的一般形式。師：同學(xué)們，放進(jìn)抽屜的物品既可以是小棒，也可以是人、鴿子（板書(shū)：物品）；而抽屜既可以是杯子，也可以是椅子、鴿籠（板書(shū)：抽屜）。把物品放進(jìn)抽屜里，如果平均分后有剩余，無(wú)論余數(shù)是幾，總有一個(gè)抽屜里至少數(shù)是（引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)“商+1”個(gè)）。師：（課件出示抽屜原理）如果用m表示物品數(shù)，n表示抽屜數(shù)，把m個(gè)物品放進(jìn)n個(gè)抽屜里，如果mn=kc(c0),那么總有一個(gè)抽屜里至少有k+1個(gè)物品。這種原理統(tǒng)稱為抽屜原理。四、應(yīng)用擴(kuò)展。1.課件出示：算命先生說(shuō)：“5個(gè)人中至少有2個(gè)人在同一個(gè)季節(jié)出生的?！?問(wèn)：這位算命先生算得準(zhǔn)嗎?為什么?（說(shuō)明隱藏條件：四季） 這個(gè)問(wèn)題可以用一個(gè)什么算式表示呢？ 生54=11 師問(wèn)并板書(shū)：5表示什么？相當(dāng)于什么？（5表示人數(shù)，相當(dāng)于物品。） 4表示什么？相當(dāng)于什么？（4表示季節(jié)，相當(dāng)于抽屜。） 兩個(gè)1分別表示什么？ 問(wèn)：怎樣得到至少幾人在同一個(gè)季節(jié)出生?（生：假設(shè)其中4個(gè)人在春夏秋冬四個(gè)不同的季節(jié)出生，剩下的那個(gè)人不管是在哪個(gè)季節(jié)出生，都會(huì)出現(xiàn)“5個(gè)人中至少2人在同一季節(jié)出生”的情況。2.我們班有幾位同學(xué)？我們班至少有4個(gè)人出生在同一個(gè)月份，這個(gè)結(jié)論對(duì)嗎？ 生用假設(shè)法回答解釋，然后可現(xiàn)場(chǎng)舉手驗(yàn)證。3、小麗從書(shū)架上隨意拿下了13份報(bào)紙，你知道至少有幾份報(bào)紙是同一個(gè)月的嗎？4.一盒圍棋棋子,黑白子混放,我們?nèi)我饷?個(gè)棋子,至少有2個(gè)棋子是同顏色的,為什么?5.任意13人中,至少有幾個(gè)人的屬相是相同的?想一想,五、課堂小結(jié)。1.話說(shuō)抽屜：今天我們一起研究了“抽屜原理”，“抽屜原理”又稱“鴿籠原理”，最先是由19世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷提出的，所以又稱“狄利克雷原理”。在應(yīng)用抽屜原理解決問(wèn)題時(shí)，首先是分清把什么當(dāng)作“物品”，什么當(dāng)作“抽屜”。在我國(guó)古代文獻(xiàn)中，有不少成功地運(yùn)用抽屜原理來(lái)分析問(wèn)題的例子。例如宋代費(fèi)袞的梁溪漫志中，就曾運(yùn)用抽屜原理來(lái)批駁“算命”一類迷信活動(dòng)的謬論,清代錢(qián)大昕的潛研堂文集、阮葵生的茶余客話、陳其元的庸閑齋筆記中都有類似的文字。然而，令人不無(wú)遺憾的是：我國(guó)學(xué)者雖然很早就會(huì)用抽屜原理來(lái)分析具體問(wèn)題，但是在古代文獻(xiàn)中并未發(fā)現(xiàn)關(guān)于抽屜原理的概括性文字，沒(méi)有人將它抽象為一條普遍的原理。最后還不得不將這一原理冠以數(shù)百年后西方學(xué)者狄利克雷的名字。設(shè)計(jì)意圖穿插介紹抽屜原理、鴿籠原理的