課標(biāo)通用高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章與4.8解三角形應(yīng)用舉例學(xué)案理.docx

4.8解三角形應(yīng)用舉例考綱展示能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.考點1距離的測量 測量距離的基本類型及方案類型A，B兩點間不可通或不可視A，B兩點間可視，但有一點不可達(dá)A，B兩點都不可達(dá)圖形方法先測角C，ACb，BCa，再用余弦定理求AB以點A不可達(dá)為例，先測角B，C，BCa，再用正弦定理求AB測得CDa，BCD，BDC，ACD，ADC，ACB，在ACD中用正弦定理求AC；在BCD中用正弦定理求BC；在ABC中用余弦定理求AB續(xù)表類型A，B兩點間不可通或不可視A，B兩點間可視，但有一點不可達(dá)A，B兩點都不可達(dá)結(jié)論ABABAC；BC；AB(1)教材習(xí)題改編海上有A，B，C三個小島，A，B相距5海里，從A島望C和B成45視角，從B島望C和A成75視角，則B，C兩島間的距離是_海里答案：5解析：易知ACB60，由，得，得BC5.(2)教材習(xí)題改編已知A，B兩地間的距離為10 m，B，C兩地間的距離為20 m，現(xiàn)測得ABC120，則A，C兩地間的距離是_答案：10 m解析：AC2AB2BC22ABBCcos ABC10220221020cos 120700，所以AC10(m)考情聚焦研究測量距離問題是高考中的?？純?nèi)容，題型既有客觀題，也有解答題，難度一般適中，屬中檔題解題時要選取合適的輔助測量點，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正余弦定理求解主要有以下幾個命題角度：角度一兩點可視但有一點不可到達(dá)典題1某同學(xué)騎電動車以24 km/h的速度沿正北方向的公路行駛，在點A處測得電視塔S在電動車的北偏東30方向上，15 min后到點B處，測得電視塔S在電動車的北偏東75方向上，則點B與電視塔的距離是_km.答案3解析由題意知AB246，在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，ASB45，由正弦定理知，BS3.角度二兩點不可到達(dá)的距離典題22017遼寧沈陽一模如圖，A，B，C，D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂測量船于水面A處測得B點和D點仰角分別為75，30，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60，AC0.1 km.試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B，D的距離(計算結(jié)果精確到0.01 km，1.414，2.449)解在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1，又BCD180606060，故CB是CAD底邊AD的中垂線，所以BDBA.在ABC中，即AB，又sin 15sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 45，所以AB，因此，BD0.33(km)故B，D的距離約為0.33 km.角度三兩點不相通的距離典題3如圖所示，要測量一水塘兩側(cè)A，B兩點間的距離，其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測出角，再分別測出AC，BC的長b，a，則可求出A，B兩點間的距離即AB.若測得CA400 m，CB600 m，ACB60，試計算AB的長為_答案200 m解析在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos ACB，AB2400260022400600cos 60280 000.AB200 m，即A，B兩點間的距離為200 m.點石成金求距離問題的注意事項(1)選定或確定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理(3)解法：選擇合適的輔助測量點，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正余弦定理求解考點2測量高度問題 測量高度的基本類型及方案類型點B與點C，D共線點B與點C，D不共線圖形方法先測得CDa，ACB和ADB，再用正弦定理求出AC或AD，最后解直角三角形求出AB先測得BCD，BDC，CDa，在BCD中先用正弦定理求出BC，在ABC中ACB可測，CAB90BCDACB，再用正弦定理求AB結(jié)論ABAB1.實際問題中角的概念理解錯誤為測量某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20 m的建筑物的頂部測得塔頂A的仰角為30，測得塔基B的俯角為45，那么塔AB的高度是_答案：20m解析：由題意畫出示意圖，如圖所示，易知AD m，BDCD20 m，故AB2020(m)2實際問題中把求解目標(biāo)納入三角形某路邊一棵樹的樹干被臺風(fēng)吹斷后，折斷部分與地面成45角，樹干傾斜并與地面成75角，樹干底部與樹尖著地處相距20 m，則折斷點與樹干底部的距離是_m.答案：解析：由題意畫出示意圖，如圖所示，設(shè)樹干底部為O，樹尖著地處為B，折斷點為A，則ABO45，AOB75，OAB60.由正弦定理，知，AO(m)典題4某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進(jìn)40 m后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0，求塔高解如圖所示，某人在C處，AB為塔高，他沿CD前進(jìn)，CD40，此時DBF45，過點B作BECD于E，則AEB30，在BCD中，CD40，BCD30，DBC135，由正弦定理，得，所以BD20(m)因為BDE1801353015，所以在RtBED中，BEDBsin 152010(1)(m)在RtABE中，AEB30，所以ABBEtan 30(3)(m)故所求的塔高為(3)m.點石成金求解高度問題的三個關(guān)注點(1)在處理有關(guān)高度問題時，理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.要測量電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45，在D點測得塔頂A的仰角是30，并測得水平面上的BCD120，CD40 m，則電視塔的高度為_m.答案：40解析：設(shè)電視塔AB高為x m，則在RtABC中，由ACB45，得BCx.在RtADB中，由ADB30，得BDx.在BDC中，由余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(x)2x24022x40cos 120，解得x40，所以電視塔高為40 m.考點3測量角度問題 1.仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線_的角叫仰角，在水平線_的角叫俯角(如圖)答案：上方下方2方位角從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點的方位角為(如圖)3方向角相對于某一正方向的水平角(1)北偏東，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向(如圖)；(2)北偏西，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向；(3)南偏西等其他方向角類似4坡角與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖，角為坡角)；(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖，i為坡度)坡度又稱為坡比 典題52017浙江適應(yīng)性考試如圖所示，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點進(jìn)行測量，已知AB50 m，BC120 m，于A處測得水深A(yù)D80 m，于B處測得水深BE200 m，于C處測得水深CF110 m，求DEF的余弦值解作DMAC交BE于N，交CF于M.DF10，DE130，EF150.在DEF中，由余弦定理，得cosDEF.點石成金測量角度問題的基本思路測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解提醒方向角是相對于某點而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點的方向角.在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45方向，相距12 n mile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時10 n mile的速度沿南偏東75方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時14 n mile的速度，沿北偏東45方向攔截藍(lán)方的小艇若要在最短的時間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角的正弦值解：如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時后在C處追上藍(lán)方的小艇，則AC14x，BC10x，ABC120.根據(jù)余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.根據(jù)正弦定理得，解得sin .所以紅方偵察艇所需要的時間為2小時，角的正弦值為. 真題演練集訓(xùn) 12014浙江卷如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練已知點A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點P沿墻面上的射線CM移動，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點P，需計算由點A觀察點P的仰角的大小(仰角為直線AP與平面ABC所成角)若AB15 m，AC25 m，BCM30，則tan 的最大值是()A. B. C. D.答案：D解析：如圖，過點P作POBC于點O，連接AO，則PAO.設(shè)COx m，則OPx m.在RtABC中，AB15 m，AC25 m，所以BC20 m所以cos BCA.所以AO(m)所以tan .當(dāng)，即x時，tan 取得最大值為.22015湖北卷如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30，則此山的高度CD_m. 答案：100解析：由題意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)32014新課標(biāo)全國卷如圖，為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點從A點測得M點的仰角MAN60，C點的仰角CAB45以及MAC75；從C點測得MCA60，已知山高BC100 m，則山高M(jìn)N_m.答案：150解析：在三角形ABC中，AC100，在三角形MAC中，解得MA100，在三角形MNA中，sin 60，故MN150，即山高M(jìn)N為150 m.42014四川卷如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67，30，此時氣球的高是46 m，則河流的寬度BC約等于_ m(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位參考數(shù)據(jù)：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73)答案：60解析：根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)構(gòu)造適當(dāng)?shù)娜切吻蠼飧鶕?jù)已知的圖形可得AB.在ABC中，BCA30，BAC37，由正弦定理，得，所以BC20.6060 (m) 課外拓展閱讀 有關(guān)解三角形的應(yīng)用題的解題方法1解決關(guān)于解三角形的應(yīng)用問題的步驟2解三角形的應(yīng)用題的兩種情形及解題方法 (1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解； (2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上三角形，這時需作出(或找出)這些三角形，先解能直接解的三角形，然后逐步求出其他三角形的解，有時需設(shè)出未知量，利用幾個三角形中邊角所滿足的關(guān)系列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解3解決關(guān)于解三角形的應(yīng)用問題應(yīng)注意的事項 (1)要注意仰角、俯角、方位角以及方向角等名詞，并能準(zhǔn)確地找出這些角； (2)要注意將平面幾何中的性質(zhì)、定理與正弦、余弦定理結(jié)合起來使用，這樣可以優(yōu)化解題過程； (3)注意題目中的隱含條件以及解的實際意義典例如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運行的速度為130 m/min，山路AC長為1260 m，經(jīng)測量，cos A，cos C.(1)求索道AB的長；(2)問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？解(1)在ABC中，因為cos A，cos C，所以sin A，sin C.從而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的長為1 040 m.(2)設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙