第五章 第一節(jié)

第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法1數(shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照一定順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列an的第n項(xiàng)an通項(xiàng)公式數(shù)列an的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系能用公式anf(n)表示，這個(gè)公式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和數(shù)列an中，Sna1a2an叫做數(shù)列的前n項(xiàng)和2.數(shù)列的表示方法列表法列表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法把點(diǎn)(n，an)畫(huà)在平面直角坐標(biāo)系中公式法通項(xiàng)公式把數(shù)列的通項(xiàng)使用公式表示的方法遞推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等表示數(shù)列的方法3.通項(xiàng)公式和遞推公式的異同點(diǎn)不同點(diǎn)相同點(diǎn)通項(xiàng)公式可根據(jù)某項(xiàng)的序號(hào)n的值，直接代入求出an都可確定一個(gè)數(shù)列，也都可求出數(shù)列的任意一項(xiàng)遞推公式可根據(jù)第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))的值，通過(guò)一次(或多次)賦值，逐項(xiàng)求出數(shù)列的項(xiàng)，直至求出所需的an4.an與Sn的關(guān)系若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則an5數(shù)列的分類分類的標(biāo)準(zhǔn)名稱含義例子按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列1,2,3,4，100無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列1,4,9，n2，按項(xiàng)的變化趨勢(shì)遞增數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3,4,5，n遞減數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列1，常數(shù)列各項(xiàng)都相等的數(shù)列6,6,6,6，擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列1，2,3，4按項(xiàng)的有界性有界數(shù)列任一項(xiàng)的絕對(duì)值都小于某一正值1，1,1，1,1，1，無(wú)界數(shù)列不存在某一正值能使任一項(xiàng)的絕對(duì)值小于它1,3,4,4，1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)()(2)1,1,1,1，不能構(gòu)成一個(gè)數(shù)列()(3)任何一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列()(4)如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)nN*，都有an1Sn1Sn.()答案：(1)(2)(3)(4)2已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an912n，則在下列各數(shù)中，不是an的項(xiàng)的是()A21B33C152 D153解析：選C由912n152，得nN*.3在數(shù)列an中，a11，an1(n2)，則a4()A. B.C. D.解析：選B由題意知，a11，a212，a31，a41.4已知數(shù)列an滿足a11，anan12n(n2)，則a7()A53 B54C55 D109解析：選C由題意知，a2a122，a3a223，a7a627，各式相加得a7a12(2347)55.5數(shù)列1，的一個(gè)通項(xiàng)公式an_.解析：由已知得，數(shù)列可寫(xiě)成，故通項(xiàng)公式可以為an.答案：6已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n3，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是_解析：當(dāng)n1時(shí)，a1S1231，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(2n3)(2n13)2n2n12n1.又a11不適合上式，故an答案：an考什么怎么考由Sn和an的關(guān)系求通項(xiàng)公式是一種常見(jiàn)題型，高考中選擇題、填空題、解答題都有呈現(xiàn)，但以解答題的分支命題為重點(diǎn)，近幾年來(lái)考查難度有所降低.考法(一)已知Sn，求an1已知Sn3n2n1，則an_.解析：因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，a1S16；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(3n2n1)3n12(n1)123n12，由于a1不適合此式，所以an答案：2(2017全國(guó)卷改編)設(shè)數(shù)列an滿足a13a2(2n1)an2n，則an_.解析：因?yàn)閍13a2(2n1)an2n，故當(dāng)n2時(shí)，a13a2(2n3)an12(n1)兩式相減得(2n1)an2，所以an(n2)又由題設(shè)可得a12，滿足上式，從而an的通項(xiàng)公式為an(nN*)答案：(nN*)題型技法已知Sn求an的3步驟(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用anSnSn1(n2)便可求出當(dāng)n2時(shí)an的表達(dá)式；(3)注意檢驗(yàn)n1時(shí)的表達(dá)式是否可以與n2的表達(dá)式合并考法(二)由Sn與an的關(guān)系，求an，Sn3設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn2(an1)(nN*)，則an()A2nB2n1C2n D2n1解析：選C當(dāng)n1時(shí)，a1S12(a11)，可得a12，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12an2an1，an2an1，數(shù)列an為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an2n.4(2015全國(guó)卷)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，an1SnSn1，則Sn_.解析：an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1，即1.又1，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列1(n1)(1)n，Sn.答案：題型技法Sn與an關(guān)系問(wèn)題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問(wèn)題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化(1)利用anSnSn1(n2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn1的關(guān)系式，再求解(2)利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為只含an，an1的關(guān)系式，再求解考什么怎么考由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，有選擇題、填空題，也出現(xiàn)在解答題的第(1)問(wèn)中，近幾年考查難度有所降低，但也要引起關(guān)注.方法(一)疊乘法求通項(xiàng)公式1在數(shù)列an中，a11，anan1(n2)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_(kāi)解析：anan1(n2)，an1an2，an2an3，a2a1.以上(n1)個(gè)式子相乘得ana1.當(dāng)n1時(shí)，a11，上式也成立an(nN*)答案：an(nN*)方法點(diǎn)撥疊乘法求通項(xiàng)公式的4步驟方法(二)疊加法求通項(xiàng)公式2設(shè)數(shù)列an滿足a11，且an1ann1(nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_(kāi)解析：由題意有a2a12，a3a23，anan1n(n2)以上各式相加，得ana123n.又a11，an(n2)當(dāng)n1時(shí)也滿足上式，an(nN*)答案：an(nN*)方法點(diǎn)撥疊加法求通項(xiàng)公式的4步驟方法(三)構(gòu)造法求通項(xiàng)公式3已知數(shù)列an滿足a11，an13an2，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_(kāi)解析：an13an2，an113(an1)，3，數(shù)列an1為等比數(shù)列，公比q3，又a112，an123n1，an23n11(nN*)答案：an23n11(nN*)方法點(diǎn)撥構(gòu)造法求通項(xiàng)公式的3步驟怎樣快解準(zhǔn)解1正確選用方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)對(duì)于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為f(n)的數(shù)列，并且容易求數(shù)列f(n)前n項(xiàng)的積時(shí)，采用疊乘法求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)對(duì)于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為an1anf(n)的數(shù)列，通常采用疊加法(逐差相加法)求其通項(xiàng)公式(3)對(duì)于遞推關(guān)系式形如an1panq(p0,1，q0)的數(shù)列，采用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)2避免2種失誤(1)利用疊乘法，易出現(xiàn)兩個(gè)方面的問(wèn)題：一是在連乘的式子中只寫(xiě)到，漏掉a1而導(dǎo)致錯(cuò)誤；二是根據(jù)連乘求出an之后，不注意檢驗(yàn)a1是否成立(2)利用構(gòu)造法求解時(shí)應(yīng)注意數(shù)列的首項(xiàng)的正確求解以及準(zhǔn)確確定疊加、疊乘后最后一個(gè)式子的形式從近幾年高考可以看出，數(shù)列中的最值、周期是高考的熱點(diǎn)，一般難度稍大.在復(fù)習(xí)中，從函數(shù)的角度認(rèn)識(shí)數(shù)列，注意數(shù)列的函數(shù)特征，特別是利用函數(shù)的方法研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì).典題領(lǐng)悟1已知數(shù)列an滿足an1，若a1，則a2 018()A1B.C1 D2解析：選D由a1，an1，得a22，a31，a4，a52，于是可知數(shù)列an是以3為周期的周期數(shù)列，因此a2 018a36722a22.2已知數(shù)列an滿足an(nN*)，則數(shù)列an的最小項(xiàng)是第_項(xiàng)解析：因?yàn)閍n，所以數(shù)列an的最小項(xiàng)必為an0，即0,3n160，從而n.又nN*，所以當(dāng)n5時(shí)，an的值最小答案：5解題師說(shuō)1解決數(shù)列周期性問(wèn)題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值2判斷數(shù)列單調(diào)性的2種方法(1)作差比較法：比較an1an與0的大小(2)作商比較法：比較與1的大小，注意an的符號(hào)3求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法(1)利用不等式組(n2)找到數(shù)列的最大項(xiàng)；(2)利用不等式組(n2)找到數(shù)列的最小項(xiàng)沖關(guān)演練1已知數(shù)列an滿足a11，an1a2an1(nN*)，則a2 018()A1 B0C2 018 D2 018解析：選Ba11，an1a2an1(an1)2，a2(a11)20，a3(a21)21，a4(a31)20，可知數(shù)列an是以2為周期的數(shù)列，a2 018a20，選B.2等差數(shù)列an的公差d0，且aa，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn取得最大值時(shí)的項(xiàng)數(shù)n的值為()A5 B6C5或6 D6或7解析：選C由aa，可得(a1a11)(a1a11)0，因?yàn)閐0，所以a1a110，所以a1a110，又2a6a1a11，所以a60.因?yàn)閐a2a5a60a7a8，顯然前5項(xiàng)和或前6項(xiàng)和最大，故選C.(一)普通高中適用作業(yè)A級(jí)基礎(chǔ)小題練熟練快1已知數(shù)列1,2，則2在這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)是()A16B24C26 D28解析：選C因?yàn)閍11，a22，a3，a4，a5，所以an.令an2，解得n26.2數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n23n(nN*)，若pq5，則apaq()A10 B15C5 D20解析：選D當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n5，當(dāng)n1時(shí)，a1S11，符合上式，所以an4n5，所以apaq4(pq)20.3(2017河南許昌二模)已知數(shù)列an滿足a11，an2an6，則a11的值為()A31 B32C61 D62解析：選A數(shù)列an滿足a11，an2an6，a3617，a56713，a761319，a961925，a1162531.4(2018云南檢測(cè))設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann2bn，若數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為()A(，1 B(，2C(，3) D.解析：選C因?yàn)閿?shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，所以an1an2n1b0(nN*)，所以b2n1(nN*)，所以b(2n1)min3，即b100時(shí)，n的最小值為()A3 B4C5 D6解析：選C由a1，an4an11(n2)得，a24a11413，a34a2143113，a44a31413153，a54a414531213100.2(2018咸陽(yáng)模擬)已知正項(xiàng)數(shù)列an中，(nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為()Aann Bann2Can Dan解析：選B，(n2)，兩式相減得n(n2)，ann2(n2)又當(dāng)n1時(shí)，1，a11，適合上式，ann2，nN*.故選B.3若數(shù)列an滿足：a119，an1an3(nN*)，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí)，n的值為()A6 B7C8 D9解析：選Ba119，an1an3，數(shù)列an是以19為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，an19(n1)(3)223n.設(shè)an的前k項(xiàng)和數(shù)值最大，則有kN*，k，kN*，k7.滿足條件的n的值為7.4在數(shù)列an中，an0，且前n項(xiàng)和Sn滿足4Sn(an1)2(nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_(kāi)解析：當(dāng)n1時(shí)，4S1(a11)2，解得a11；當(dāng)n2時(shí)，由4Sn(an1)2a2an1，得4Sn1a2an11，兩式相減得4Sn4Sn1aa2an2an14an，整理得(anan1)(anan12)0，因?yàn)閍n0，所以anan120，即anan12，又a11，故數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以an12(n1)2n1.答案：an2n15.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(1)n2n1，該數(shù)列的項(xiàng)排成一個(gè)數(shù)陣(如圖)，則該數(shù)陣中的第10行第3個(gè)數(shù)為_(kāi)a1a2a3a4a5a6解析：由題意可得該數(shù)陣中的第10行第3個(gè)數(shù)為數(shù)列an的第12393348項(xiàng)，而a48(1)4896197，故該數(shù)陣中的第10行第3個(gè)數(shù)為97.答案：976已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是ann2kn4.(1)若k5，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值；(2)對(duì)于nN*，都有an1an，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解：(1)由n25n40，解得1nan，知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，又因?yàn)橥?xiàng)公式ann2kn4，可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到nN*，所以3.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(3，)7已知二次函數(shù)f(x)x2axa(a0，xR)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snf(n)(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn1(nN*)，定義所有滿足cmcm10得a4，所以f(x)x24x4.所以Snn24n4.當(dāng)n1時(shí)，a1S11441；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n5.所以an(2)由題意得cn由cn1可知，當(dāng)n5時(shí)，恒有cn0.又c13，c25，c33，c4，c5，c6，即c1c20，c2c30，c4c50，所以數(shù)列cn的變號(hào)數(shù)為3.C級(jí)重難題目自主選做1已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(n2)n(nN*)，則數(shù)列an的最大項(xiàng)是()Aa6或a7 Ba7或a8Ca8或a9 Da7解析：選B因?yàn)閍n1an(n3)n1(n2)nn，當(dāng)n0，即an1an；當(dāng)n7時(shí)，an1an0，即an1an；當(dāng)n7時(shí)，an1an0，即an1an，則a1a2a9a10，所以此數(shù)列的最大項(xiàng)是第7項(xiàng)或第8項(xiàng)，即a7或a8.故選B.2(2018成都診斷)在數(shù)列an中，a11，anan1(n2，nN*)，則an_.解析：由題意知，所以ana11.答案：(二)重點(diǎn)高中適用作業(yè)A級(jí)保分題目巧做快做1已知數(shù)列1,2，則2在這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)是()A16B24C26 D28解析：選C因?yàn)閍11，a22，a3，a4，a5，所以an.令an2，解得n26.2.(2018鄭州模擬)已知數(shù)列an滿足a11，an2an6，則a11的值為()A31 B32C61 D62解析：選A數(shù)列an滿足a11，an2an6，a3617，a56713，a761319，a961925，a1162531.3數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n23n(nN*)，若pq5，則apaq()A10 B15C5 D20解析：選D當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n5，當(dāng)n1時(shí)，a1S11，符合上式，所以an4n5，所以apaq4(pq)20.4(2018湖南湘潭一中、長(zhǎng)沙一中等六校聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足：m，nN*，都有anamanm，且a1，那么a5()A. B.C. D.解析：選A數(shù)列an滿足：m，nN*，都有anamanm，且a1，a2a1a1，a3a1a2，a5a3a2.5若數(shù)列an滿足：a119，an1an3(nN*)，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和最大時(shí)，n的值為()A6 B7C8 D9解析：選Ba119，an1an3，數(shù)列an是以19為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，an19(n1)(3)223n.設(shè)an的前k項(xiàng)和最大，則有kN*，k，kN*，k7.滿足條件的n的值為7.6.(2018河北唐山一模)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn，若a432，則a1_.解析：Sn，a432，S4S332，a1.答案：7已知數(shù)列an為，則數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式是_解析：各項(xiàng)的分母分別為21,22,23,24，易看出從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)的分子都比分母少3，且第1項(xiàng)可變?yōu)椋试瓟?shù)列可變?yōu)?，故其通?xiàng)公式為an(1)n，nN*.答案：an(1)n，nN*8在一個(gè)數(shù)列中，如果nN*，都有anan1an2k(k為常數(shù))，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個(gè)數(shù)列的公積已知數(shù)列an是等積數(shù)列，且a11，a22，公積為8，則a1a2a3a12_.解析：依題意得數(shù)列an是周期為3的數(shù)列，且a11，a22，a34，因此a1a2a3a124(a1a2a3)4(124)28.答案：289.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2kn，kN*，且Sn的最大值為8.試確定常數(shù)k，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：因?yàn)镾nn2kn(nk)2k2，其中k是常數(shù)，且kN*，所以當(dāng)nk時(shí)，Sn取最大值k2，故k28，k216，因此k4，從而Snn24n.當(dāng)n1時(shí)，a1S14；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(n1)24(n1)n.當(dāng)n1時(shí)，1a1，所以ann.10已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是ann2kn4.(1)若k5，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值；(2)對(duì)于nN*，都有an1an，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解：(1)由n25n40，解得1nan，知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，又因?yàn)橥?xiàng)公式ann2kn4，可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到nN*，所以3.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(3，)B級(jí)拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做1.(2018云南檢測(cè))設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann2bn，若數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為()A(，1 B(，2C(，3) D.解析：選C因?yàn)閿?shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，所以an1an2n1b0(nN*)，所以b2n1(nN*)，所以b(2n1)min3，即bf(6)，故f(n)的最小值為.3.(2018成