25課堂教學(xué)要體現(xiàn)知識的力量.doc

課堂教學(xué)要體現(xiàn)知識的力量武清區(qū)楊村一中 梁 棟注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念之一.一直以來，人們對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力傾注了極大的熱情，也積累了很多行之有效的方法但是，數(shù)學(xué)思維能力的形成一般要經(jīng)過感知、感受、體驗的過程，在這個過程中，能夠吸引學(xué)生、打動學(xué)生、進而激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚興趣的是教師對數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解和演繹，是學(xué)生能感受到的知識的力量。因此，深入挖掘知識的內(nèi)涵是提高課堂教學(xué)效率的關(guān)鍵.本文將通過一個案例，談?wù)劰P者對課堂中體現(xiàn)知識力量的理解和嘗試.已知集合A=x|x=1n,nN+.探究1從集合A中選9個元素，使這9個元素之和恰好等于1，寫出滿足條件的9個元素.這是學(xué)完裂項法后我們設(shè)置的一個問題，目的是使學(xué)生對裂項法有一個深層的理解.從表面上看題目涉及的知識不多，難度也不大，即使用“湊”的方法似乎也能解決，但深入下去發(fā)現(xiàn)問題并非想象的那么簡單，找出滿足條件的9個數(shù)并不是一件容易的事.本題是以一個常見的等式112+123+1n(n+1)=1-1n+1(nN+)為背景，這個等式的證明方法就是學(xué)生熟悉的裂項法.在這個等式中當(dāng)取n=8時，得112+123+189=1-19，整理得112+123+189+19=1.滿足條件的9個數(shù)就這樣找到了！等式一經(jīng)寫出，很多問題不言自明，這種以數(shù)學(xué)方法為依托，尋求解題途徑的思維方式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法的價值和魅力，會對學(xué)生產(chǎn)生強烈的震撼.問題雖然普通，卻具有一定的思維含量.裂項法是一種獨特的數(shù)學(xué)方法，初次接觸時，學(xué)生會被它的精妙折服，但隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生總結(jié)并掌握了應(yīng)用這種方法的規(guī)律，遇到數(shù)列求和的問題，他們從形式上就能判斷能否使用裂項法，漸漸地裂項法失去了昔日的輝煌，僅僅作為一種解題工具而存在.探究1的解決，使曇花一現(xiàn)的裂項法又煥發(fā)了新的活力，這個活力不僅僅是方法的應(yīng)用，更主要的是這種方法的呈現(xiàn)形式，它對學(xué)生從更高的層次認識數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，會產(chǎn)生積極的影響.探究2請你把集合A中每一個元素表示成A中9個元素之和的形式.這個問題設(shè)問的形式比較新穎，感覺有一定難度，一時難以找到解題的切入點.設(shè)置這個問題的意圖是使學(xué)生養(yǎng)成主動探索的意識，學(xué)會思考問題的方法.事實上探究2是探究1的一般形式，仿照探究1的方法就可以解決探究2.對集合A中的任意一個元素1k(kN+)，應(yīng)用裂項法可得1k(k+1)+1(k+1)(k+2)+1(k+7)(k+8)=(1k-1k+1)+(1(k+1-1k+2)+(1k+7-1k+8)=1k-1k+8，所以1k=1k(k+1)+1(k+1)(k+2)+1(k+7)(k+8)+1k+8.當(dāng)答案擺在面前時，一切都顯得那么自然合理，那么順理成章，但對于上面的解法，如果沒有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，沒有探究1做鋪墊和對探究2的本質(zhì)性認識，一般很難聯(lián)想到“近在咫尺”的裂項法，從這個意義上說，探究2的作用是教師單純介紹解題方法所無法替代的.需要說明的是上面的解法并非無懈可擊，等式的右邊雖然是9個數(shù)，但這9個數(shù)中是否有相等的呢？如果其中兩個數(shù)相等，就意味著并沒有真正解決這個問題，前8個數(shù)的分母依次增大，任何兩個數(shù)不可能相等，但不能排除最后一個數(shù)1k+8與前8個數(shù)有相等的可能.質(zhì)疑又引發(fā)了新的探究.9個數(shù)的分子都是1，只需考慮分母即可，前8個數(shù)中第一個數(shù)的分母k(k+1)=k2+k最小，它含有k2，感覺上要比k+8大，于是下面的探索方法便應(yīng)運而生.k(k+1)-(k+8)=k2-8，當(dāng)k3時，k2-80，即k(k+1)k+8，此時k+8不可能和任何一個數(shù)的分母相等；當(dāng)k=1和k=2時，容易檢驗9個元素同樣沒有相同的，至此問題得到了徹底解決.沿著裂項法的思路繼續(xù)下去，發(fā)現(xiàn)解題的途徑并不唯一.由11(k+1)+1(k+1)(2k+1)+1(7k+1)(8k+1)=1k(1-18k+1)，得1k=1k(k+1)+1(k+1)(2k+1)+1(7k+1)(8k+1)+1k(8k+1).同樣的疑問，等式的最后一個數(shù)和其它8個數(shù)是否有相等的可能？這里無法套用剛才的方法論證了，因為k(8k+1)明顯大于k+1，甚至大于(k+1)(2k+1)，但又比(7k+1)(8k+1)小，只能另辟蹊徑.前8個數(shù)的分母都是(mk+1)(m+1)k+1形式的數(shù)，其中kN+，mN，且0m7，如果k(8k+1)等于其中一個數(shù)的分母，則存在mN，使k(8k+1)=(mk+1)(m+1)k+1，整理得8-m(m+1)k2=2km+1.注意到m(m+1)是偶數(shù)，故8-m(m+1)k2是偶數(shù)，而2km+1是奇數(shù)，可見m不存在，9個元素是彼此相異的.整數(shù)問題學(xué)生普遍感到困難，主要是接觸比較少，這里涉及的奇數(shù)偶數(shù)的判斷會使學(xué)生對這類問題的解決方法有進一步了解.探究2是思維深化的過程，只有親身體驗了提出問題、解決問題的整個過程，才能逐漸體會數(shù)學(xué)的思維方式，在探究中形成批判性的思維習(xí)慣，在反思中實現(xiàn)對數(shù)學(xué)理性精神的崇尚.探究3從集合A中選3個元素，使這3個元素恰好成等差數(shù)列.由于只涉及三個元素，采用具體嘗試的方法也不失為一種選擇，但顯然是低層次的，有了上面兩個問題的探究，引導(dǎo)學(xué)生借助裂項法得到答案，可謂瓜熟蒂落，水到渠成.我們知道，x,y,z成等差數(shù)列的充要條件是2y=x+z，由123=12-13，即16=12-13，得12=13+16，從而24=13+16，可見13,14,16成等差數(shù)列.同樣，由156=15-16，可得16,110,130成等差數(shù)列.用這種方法，可以迅速寫出一組等差數(shù)列，這是理解數(shù)學(xué)方法并應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決問題的又一次深化.司空見慣的裂項法竟有如此意想不到的作用，這無疑是知識力量的一種體現(xiàn).當(dāng)按照某種套路運用數(shù)學(xué)方法解題時，數(shù)學(xué)方法就是一種程式化的工具，如果把自己的理解融進數(shù)學(xué)方法，并加以靈活運用，就會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)方法也有它生動的一面，其中的內(nèi)涵也會隨之慢慢展現(xiàn)出來.仔細品味，這種基于裂項法尋找等差數(shù)列的方法，確實精彩絕妙，回味無窮，它將有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式的形成.探究4從集合A中選4個元素，使這4個元素恰好成等差數(shù)列.從3個元素到4個元素，雖然只是數(shù)量上的增加，但解題思路變化很大，在沒有直接結(jié)論支持的情況下，最自然的想法是在探究3的基礎(chǔ)上進一步探索.等差數(shù)列13,14,16的公差等于16-14=-112，再添一個數(shù)x，使13,14,16,x成等差數(shù)列，可求出x=112，也就是說13,14,16,112這4個數(shù)成等差數(shù)列.然而在等差數(shù)列16,110,130的基礎(chǔ)上卻無法得到探究4中含有4項的等差數(shù)列.進一步思考：能否寫出所有含有A中4個元素的等差數(shù)列？是否存在含有A中5個元素、6個元素，甚至更多元素的等差數(shù)列？這時教師可引導(dǎo)學(xué)生觀察已經(jīng)得到的兩個等差數(shù)列13,14,16,112和16,110,130，不難發(fā)現(xiàn)每一項的分母都是最后一項分母的因數(shù)，或者說最后一項的分母是其他各項分母的公倍數(shù)，另外，求公差時要用到分數(shù)的減法運算，這就需要分數(shù)通分，通分后兩個等差數(shù)列分別是412,312,212,112和530,330,130.第一個數(shù)列的特點讓我們豁然開朗，考慮正整數(shù)n的階乘，當(dāng)n3時，數(shù)列nn!,n-1n!,n-2n!,1n!是項數(shù)為n的等差數(shù)列，且數(shù)列中的每一項都是集合A中的元素，這里n!=123n.從形式上看，這個等差數(shù)列讓人賞心悅目，這是數(shù)學(xué)的形式之美、和諧之美；簡簡單單的一列數(shù)，透出無窮的智慧和豐富的內(nèi)涵，這又是數(shù)學(xué)的簡潔之美、