2.6克萊姆法則ppt課件.ppt

2 6克萊姆法則 授課題目2 6克萊姆法則授課時(shí)數(shù)2課時(shí)教學(xué)目標(biāo)掌握克萊姆法則 并能應(yīng)用克萊姆法則來求方程組的解 教學(xué)重點(diǎn) 1法則的含意 2法則的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn) 對法則局限性的理解與應(yīng)用 現(xiàn)在來討論一般線性方程組 所謂一般線性 方程組是指形式為 一 線性方程組的概念 的方程組 其中x1 x2 xn代表n個(gè)未知量 s 是方程的個(gè)數(shù) aij i 1 2 s j 1 2 n 稱 為方程組的系數(shù) bi i 1 2 s 稱為常數(shù)項(xiàng) 方程中未知量的個(gè)數(shù)n與方程的個(gè)數(shù)s不一定相等 系數(shù)aij的第一個(gè)指標(biāo)i表示它在第i個(gè)方程 第二 個(gè)指標(biāo)j表示它是xj系數(shù) 因?yàn)?1 含有n個(gè)未知量 所以稱為n元線性方程組 所謂方程組 c1 c2 cn組成的有序數(shù)組 c1 c2 cn 當(dāng) x1 x2 xn分別用c1 c2 cn代入后 1 中每 個(gè)等式都變成恒等式 方程組 1 的解的全體稱為 的一個(gè)解就是指由n個(gè)數(shù) 它的解集合 解方程組實(shí)際上就是找出它全部的 解 或者說 求出它的解集合 如果兩個(gè)方程組有 相同的解集合 它們就稱為同解的 關(guān)于線性方程組需要解決的問題有 線性方程組是否有解 如果有解 它有多少個(gè)解 如何求出這些解 本節(jié)只討論方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相等 即s n 的情形 如果線性方程組 1 的系數(shù)行列式 二 克萊姆法則 那么這個(gè)方程組有解 并且解是唯一 的可表示為 的元素用方程組 1 的常數(shù)項(xiàng)代換 所得的一個(gè)n階行列式 即 用常數(shù)項(xiàng)列替換D的第i列 其余列不變 證明思路 1 驗(yàn)證 滿足各方程 存在性 2 1 的解定能表成形式 唯一性 所用結(jié)果 4 左 證 b1 滿足第1個(gè)方程 類似驗(yàn)證第2 n個(gè)方程也滿足 是方程組 1 的解 2 由1 知 1 有解 a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2 an1x1 an2x2 annxn bn 用D的第i列元素的代數(shù)余子式乘兩邊 Ani A2i A1i A1i 這證明了 1 有解 A1i A1i A2i A2i A2i Ani Ani Ani 對應(yīng)相加整理 由定理4和定理5 證畢 說明 2 克萊姆法則的三條結(jié)論 1 克萊姆法則的三個(gè)條件 1 待解的方程組是線性方程組 2 待解方程組未知數(shù)的個(gè)數(shù)與方程組的個(gè)數(shù)相等 3 待解的方程組的系數(shù)行列式不等于零 1 有解 2 唯一解 3 解的公式 不足之處 方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)不等 或D 0 不能用 如果線性方程組 1 無解或有兩個(gè)不同的解 則它的系數(shù)行列式一定為零 克萊姆法則的等價(jià)命題是 思考 若D 0呢 第三章給出答案 可能無解 可能有無窮多個(gè)解 例2 解線性方程組 點(diǎn)評 1 一共要計(jì)算n 1個(gè)n階行列式 計(jì)算量大 不如用初等變換簡單 第三章介紹 2 理論價(jià)值高于計(jì)算價(jià)值 常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程組稱為齊次線性方 程組 顯然 齊次線性方程組總是有解的 因?yàn)?0 0 0 就是一個(gè)解 它稱為零解 對于齊次 線性方程組 我們關(guān)心的問題是 它除去零解以外 還有沒有其他解 或者說 它有沒有非零解 對于方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相同的齊次線性方 程組 應(yīng)用克拉默法則就有 二 齊次線性方程組克拉默法則 定理7如果齊次線性方程組 的系數(shù)行列式D 0 那么它只有零解 換句話說 如果它有非零解 則必有D 0 現(xiàn)在只能得出有無非零解這種定性結(jié)果 求非零解的方法在第三章介紹 點(diǎn)評 補(bǔ)例若下列齊次線性方程組有非零解 k為何值 解 思路 由定理知 方程組有非零解 則D 0 計(jì)算D 令其為零 解k 由方程組有非零解 則 即k 1 練習(xí) 解 故方程組只有零解 例3 證明下列方程組p95第13題 只有零解 其中不全為0 證 系數(shù)行列式 由不全為0 有 即 故方程組只有零解 1 用克拉默法則解方程組的三個(gè)條件 2 方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù) 3 系數(shù)行列式不等于零 2 克拉默法則建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系 它主要適用于理論推導(dǎo) 三 小結(jié) 作業(yè) 習(xí)題2 6P641 2 2 1 待解的方程組是線性方程組 評論 cramer法則給出一類線性方程組的公式解 明確了解與系數(shù)的關(guān)系 這在以后的許多問題的討論中是重要的 同時(shí)便于編成程序上計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算 但作為一種計(jì)算方法而言要解一個(gè)n個(gè)未知量 n個(gè)方程的線性方程組 要計(jì)算n 1個(gè)階行列式 計(jì)算量較大 另一方面該公式解對n個(gè)未知量 m個(gè)方程的一般線性方程組的求解無能為力 促使人們對線性方程組解法作更深入的研究 Cramer法則的應(yīng)用 資料 克萊姆是瑞士數(shù)學(xué)家 1704年7月31日生于日內(nèi)瓦 1752年1月4日去世于法國塞茲河畔的巴尼奧勒 早年在日內(nèi)瓦讀書 1724年起在日內(nèi)瓦加爾文學(xué)院任教 1734年成為幾何學(xué)教授 1750年任哲學(xué)教授 1750年 他在專著 線性代數(shù)分析導(dǎo)論 中首次提出了由線性方程組的系數(shù)確定方程組解的表達(dá)式 即著名的 克萊姆法則 其實(shí)萊布尼茲 1693年 和馬克勞林 1748年 也給出了該法則 但他們的記法不如克萊姆 故流傳下來 他一生未婚 專心治學(xué) 平易近人 德高望重 先后當(dāng)選為倫敦皇家學(xué)會 柏林研究院和法國 意大利等