線性代數(shù)課件4-1矩陣的對(duì)角化

1 一 矩陣的特征值和特征向量 二 相似矩陣和矩陣對(duì)角化 三 向量的內(nèi)積和施密特正交化 四 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化 第四章矩陣的對(duì)角化 本章安排 2 第一節(jié)矩陣的特征值和特征向量 一 特征值與特征向量的概念 二 特征值與特征向量的性質(zhì) 三 特征值與特征向量的求法 四 小結(jié)思考題 3 一 特征值與特征向量的概念 使得 注 是方陣 2 特征向量是非零列向量 4 4 一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值 的特征向量 即有 5 或 已知 所以齊次線性方程組 2 有非零解 或 定義2 數(shù) 二 特征值與特征向量的求法 6 稱為矩陣的特征方程 求特征值 特征向量的步驟 求齊次線性方程組 的非零解 即為所求特征向向量 7 例1 求矩陣 的特征值和全部特征向量 解 第一步 寫出矩陣A的特征方程 求出特征值 特征值為 第二步 對(duì)每個(gè)特征值 代入齊次線性方程組 求非零解 8 系數(shù)矩陣 自由未知量 9 當(dāng) 時(shí) 齊次線性方程組為 得基礎(chǔ)解系 10 三 特征值和特征向量的性質(zhì) 性質(zhì)1 若的特征值是 是的對(duì)應(yīng)于的特征向量 則 的特征值是 是任意常數(shù) 的特征值是 是正整數(shù) 若可逆 則的特征值是 的特征值是 且仍然是矩陣 分別對(duì)應(yīng)于的特征向量 為A的多項(xiàng)式 則的特征值為 11 再繼續(xù)施行上述步驟 次 就得 與題設(shè)矛盾 由 證明 12 回顧 的特征值為 的特征值為 的特征值為 4 設(shè) 則 13 設(shè)為矩陣的特征值 求的特征值 若可逆 求的特征值 例2 解 在題設(shè)條件下 由性質(zhì)1中的 4 知 的特征值為 為A的多項(xiàng)式 則的特征值為 由性質(zhì)1中的 3 知 的特征值為 的特征值為 進(jìn)而 的特征值為 14 矩陣和的特征值相同 證明 性質(zhì)2 15 設(shè)階方陣的個(gè)特征值為 則 稱為矩陣A的跡 主對(duì)角元素之和 定理2 16 解 1 求 1 A的特征值和特征向量 2 求可逆矩陣 使得為對(duì)角陣 例3設(shè) 得 17 18 自由未知量 得基礎(chǔ)解系 19 取 20 存在 本題啟示 問(wèn)題 矩陣是否唯一 矩陣是否唯一 2 提供了一種求的方法 21 則 是方陣的個(gè)特征值 依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量 如果各不相等 則線性無(wú)關(guān) 即 方陣的屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān) 定理3設(shè) 22 把上列各式合寫成矩陣形式 得 等號(hào)左邊第二個(gè)矩陣的行列式為Vandermonde行列式 當(dāng)各不相同時(shí) 該行列式的值不等于零 所以存在逆矩陣 類推之 有 23 等號(hào)兩邊同時(shí)右乘它的逆矩陣 有 即 又因?yàn)闉樘卣飨蛄?所以 線性無(wú)關(guān) 24 1 屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的 2 屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量 3 矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的 一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一 一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值 注意 的特征向量 即有 與定義矛盾 25 內(nèi)容小結(jié) 求矩陣特征值與特征向量的步驟 26 思考與練習(xí) 矩陣 計(jì)算行列式 知識(shí)點(diǎn)鏈接 解 27 例2向量 是矩陣 知識(shí)點(diǎn)鏈接 28 例3設(shè) 是 的特征向量 則 的值為 A 5 2 B 1 3 C 3 1 D 2 5 29 例4設(shè)矩陣 的屬于特征值 的特征向量