河北省保定市2015-2016年高二下期末數(shù)學(xué)試卷(文)含答案解析

第 1 頁（共 20 頁） 2015年河北省保定市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（文科） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的。 1已知 A=x|x+1 0， B=x|x2+x 2 0，則 A B=（ ） A（ 2， +） B（ 2， 1） C（ 1， 1） D（ 1， +） 2復(fù)數(shù) z= 的共軛復(fù)數(shù) 為（ ） A 3 i B i C + i D i 3 （ ） A B C D 4某算法的程序框圖如圖所示，則執(zhí)行該算法后輸出的結(jié)果為（ ） A B C D 5已知 0 ，則 1 是 （ ） A充要條件 B充分不必要條件 C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件 6若非零向量 ， 滿足（ ） ，則 的最大值 為（ ） A B 1 C D 7已知 是由曲線 y= 與 x 軸圍成的封閉區(qū)域，若將質(zhì)點 P（ x， y）投入?yún)^(qū)域 中，則 x y 的概率為（ ） A B C D 第 2 頁（共 20 頁） 8明代程大位所著算法統(tǒng)宗中記載 “遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？ ”這首古詩描述寶塔一共有七層，每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的 2 倍，總共有燈 381 盞，為這個塔頂層有幾盞燈？（ ） A 2 盞 B 3 盞 C 4 盞 D 5 盞 9球 O 的表面上有 3 個點 A、 B、 C，且 ， 外接圓半徑為 1，則該球的表面積為（ ） A 6 B 10 C 12 D 10若變量 x， y 滿足約束條件 ，則 的最大值為（ ） A 0 B 1 C 3 D 4 11一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為（ ） A B C D 12已知橢圓 E： + =1（ a b 0）的右焦點為 F，短軸的一個端點為 M，直線 l： 3x 4y=0 交橢圓 E 于 A， B 兩點，若 |4，點 M 到直線 l 的距離不小于 ，則橢圓E 的離心率的取值范圍是（ ） A（ 0， B（ 0， C ， 1） D ， 1） 二、填空題 :本大題共 4 小題。每小題 5 分，共 20 分 . 13已知雙曲線過點 且漸近 線方程為 y= x，則該雙曲線的標(biāo)準方程是 14在 ， a， b， c 分別為內(nèi)角 A， B， C 所對的邊長，且 3 3b 2c） 3c b） 15已知變量 x 與 y 線性相關(guān)，且滿足如下數(shù)據(jù)表： x 0 1 2 m y 1 2 6 n 第 3 頁（共 20 頁） 若 y 與 x 的回歸直線必經(jīng)過點（ ， 4），則 m+n= 16已知函數(shù) f（ x） =g（ x） = ，則 f（ x） g（ x）的零點個數(shù)是 三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分。解答寫出文字說明、證明或驗算步驟 17已知函數(shù) f（ x） =2 f（ x）的最小正周期及在區(qū)間 0， 上的最小值 18已知數(shù)列 前 n 項和為 任意 n N*滿足 3 （ 1）求 通項公式； （ 2）若 cn=數(shù)列 前 n 項和 19為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對此班 50 人進行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表： 喜愛打籃球 不喜愛打籃球 合計 男生 5 女生 10 合計 50 已知在全部 50 人中隨機抽取 1 人抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為 （ 1）請將上面的列聯(lián)表補充完整； （ 2）是否有 把握認為喜愛打籃球與性別有關(guān)？說明你的理由； （ 3）已知喜愛打籃球的 10 位女生中， 喜歡打羽毛球， 喜歡踢足球，現(xiàn)再從喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、喜歡踢足球的女生中各選出 1 名進行其他方面的調(diào)查，求 全被選中的概率 下面的臨界值表供參考： p（ k） k 參考公式： ，其中 n=a+b+c+d） 20如 圖所示，四棱錐 S 底面 等腰梯形， 足為O，側(cè)面 底面 ， ， ， ， M 為 中點 （ 1）求證 平面 （ 2）求三棱錐 B 體積 第 4 頁（共 20 頁） 21在平面直角坐標(biāo)系 ，以動圓經(jīng)過點（ 1， 0）且與直線 x= 1 相切，若該動圓圓心的軌跡為曲線 E （ 1）求曲線 E 的方程； （ 2）已知點 A（ 5， 0），傾斜角為 的直線 l 與線段 交（不經(jīng)過點 O 或點 A）且與曲線 E 交于 M、 N 兩點，求 積的最大值，及此時直線 l 的方程 22已知函數(shù) f（ x） =g（ x） = （ 1）若函數(shù) （ x） =f（ x） ，求函數(shù) （ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 2）設(shè)直線 l 為函數(shù) f（ x）的圖象上一點 A（ f（ 處的切線，在區(qū)間（ 1， +）上是否存在 得直線 l 與曲線 y=g（ x）相切，若存在，求出 個數(shù)；若不存在，請說明理由 第 5 頁（共 20 頁） 2015年河北省保定市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的。 1已知 A=x|x+1 0， B=x|x2+x 2 0，則 A B=（ ） A（ 2， +） B（ 2， 1） C（ 1， 1） D（ 1， +） 【考點】 并集及其運算 【 分析】 求出 A 與 B 中不等式的解集分別確定出 A 與 B，找出兩集合的并集即可 【解答】 解：由 A 中不等式解得： x 1，即 A=（ 1， +）， 由 B 中不等式變形得：（ x 1）（ x+2） 0， 解得： 2 x 1，即 B=（ 2， 1）， 則 A B=（ 2， +）， 故選： A 2復(fù)數(shù) z= 的共軛復(fù)數(shù) 為（ ） A 3 i B i C + i D i 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡復(fù)數(shù) z，則答案可求 【解答】 解：由復(fù)數(shù) z= = ， 得復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù) 為： 故選： C 3 （ ） A B C D 【考點】 兩角和與差的正弦函數(shù)；三角函數(shù)的化簡求值 【分析】 利用兩角和差的正弦公式，進行化簡即可 【解答】 解： 15 45） = = ， 故選： C 4某算法的程序框圖如圖所示，則執(zhí)行該算法后輸出的結(jié)果為（ ） 第 6 頁（共 20 頁） A B C D 【考點】 程序框圖 【分析】 按照程序框圖的流程寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，進而找到此程序框圖的功能是利用循環(huán)計算并輸出 S= + + 的值，利用裂項求和法即可計算得解 S 的值 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得程序框圖的功能是利用循環(huán)計算并輸出 S= + 的值， 由于： S= + + =（ 1 ） +（ ） +（ ） =1 = 故選： B 5已知 0 ，則 1 是 （ ） A充要條件 B充分不必要條件 C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件 【考點】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系和充分必要條件的定義即可判斷 【解答】 解 ： 0 ， 1， 1， 0， 當(dāng) 時， 0， 0， 0， 故 1 是 充分不必要條件， 故選： B 第 7 頁（共 20 頁） 6若非零向量 ， 滿足（ ） ，則 的最大值為（ ） A B 1 C D 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 根據(jù)（ ） 得出（ ） =0，從而求出 | |= | |求的最大值 【解答】 解：非零向量 ， 滿足（ ） ， （ ） =0， 即 =0， 即 = ； | |= | | 為 、 的夾角； = = ， 即 的最大值為 故選： D 7已知 是由曲線 y= 與 x 軸圍成的封閉區(qū)域，若將質(zhì)點 P（ x， y）投入?yún)^(qū)域 中，則 x y 的概率為（ ） A B C D 【考點】 幾何概型 【分析】 根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出對應(yīng)圖形的 面積比即可 【解答】 解：曲線 y= 與 x 軸圍成的封閉區(qū)域為半圓，且半徑為 2， 其面積為 S= 22=2； 其中點 P（ x， y）投入?yún)^(qū)域 且 x y 的面積為： S= 22= ，如圖 所示； 所以，所求的概率為： P= = = 故選： A 第 8 頁（共 20 頁） 8明代程大位所著算法統(tǒng)宗中記載 “遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？ ”這首古詩描述寶塔一共有七層，每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的 2 倍，總共有燈 381 盞，為這個塔頂層有幾盞燈？（ ） A 2 盞 B 3 盞 C 4 盞 D 5 盞 【考點】 等比數(shù)列的前 n 項和 【分析】 設(shè)這個塔頂層有 a 盞燈，由題意和等比數(shù)列的定義可得：從塔頂層依次向下每層燈數(shù)是等比數(shù)列，結(jié)合條件和等比數(shù)列的前 n 項公式列出方程，求出 a 的值 【解答】 解：設(shè)這個塔頂層有 a 盞燈， 寶塔一共有七層，每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的 2 倍， 從塔頂層依次向下每層燈數(shù)是以 2 為公比、 a 為首項的等比數(shù)列， 又總共有燈 381 盞， 381= =127a，解得 a=3， 則這個塔頂層有 3 盞燈， 故選 B 9球 O 的表面上有 3 個點 A、 B、 C，且 ， 外接圓半徑為 1，則該球的表面積為（ ） A 6 B 10 C 12 D 【考點】 球的體積和表面積 【分析】 根據(jù) ，可得 兩互相垂直， C=用 外接圓半徑為 1，可求球 O 的半徑，即可求得球的表面積 【解答】 解： ， 兩互相垂直， C= 外接圓半徑為 1，三角形的高為： B 第 9 頁（共 20 頁） 球的表面積為： =6 故選： A 10若變量 x， y 滿足約束條件 ，則 的最大值為（ ） A 0 B 1 C 3 D 4 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 本題考查的知識點是線性規(guī)劃，處理的思路為：根據(jù)已知的約束條件畫出滿足約束條件 的可行域，再用角點法，求出目標(biāo)函數(shù)的最大值 【解答】 解：滿足約束條件 的可行域如下圖中陰影部分所示： 的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點與（ 4， 4）連線的斜率， 的最大值在（ 3， 1）處取得，為 3， 故選： C 11一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為（ ） 第 10 頁（共 20 頁） A B C D 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖知該幾何體是一個半球挖去正四棱錐所得的組合體，由三視圖求出幾何元素的長度，由球體、錐體體的積公式求出幾何體的體積 【解答】 解：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個半球挖去正四棱錐所得的組合體， 且球的半徑是 1，四棱錐底面是邊長是 的正方形、高是 1， 該幾何體的體積 V= = ， 故選： D 12已知橢圓 E： + =1（ a b 0）的右焦點為 F，短軸的一個端點為 M，直線 l： 3x 4y=0 交橢圓 E 于 A， B 兩點，若 |4，點 M 到直線 l 的距離不小于 ，則橢圓E 的離心率的 取值范圍是（ ） A（ 0， B（ 0， C ， 1） D ， 1） 【考點】 直線與圓錐曲線的關(guān)系 【分析】 如圖所示，設(shè) F為橢圓的左焦點，連接 則四邊形 平行四邊形，可得 4=|+|2a取 M（ 0， b），由點 M 到直線 l 的 距離不小于 ，可得 ，解得 b 1再利用離心率計算公式 e= = 即可得出 【解答】 解：如圖所示，設(shè) F為橢圓的左焦點，連接 則四邊形 平行四邊形， 4=|+|2a， a=2 取 M（ 0， b）， 點 M 到直線 l 的距離不小于 ， ，解得 b 1 第 11 頁（共 20 頁） e= = = 橢圓 E 的離心率的取值范圍是 故選： A 二、填空題 :本大題共 4 小題。每小題 5 分，共 20 分 . 13已知雙曲線過點 且漸近線方程為 y= x，則該雙曲線的標(biāo)準方程是 【考點】 雙曲線的標(biāo)準方程 【分析】 設(shè)雙曲線方程為 ，代入點 ，求出 ，即可求出雙曲線的標(biāo)準方程 【解答】 解：設(shè)雙曲線方程為 ， 代入點 ，可得 3 =， = 1， 雙曲線的標(biāo)準方程是 故答案為： 14在 ， a， b， c 分別為內(nèi)角 A， B， C 所對的邊長，且 3 3b 2c） 3c b） 【考點】 正弦定理；余弦定理 【分析】 利用正弦定理化簡已知的等式，再利用余弦定理把表示出 得出的等式整理后代入表示出的 ，從而可求出 值 【解答】 解：利用正弦定理 ， 化 簡已知的等式得： 3a2=b（ 3b 2c） +c（ 3c b）， 整理得： a2=b2+ b2+a2= 由余弦定理得： = 第 12 頁（共 20 頁） 故答案為： 15已知變量 x 與 y 線性相關(guān)，且滿足如下數(shù)據(jù)表： x 0 1 2 m y 1 2 6 n 若 y 與 x 的回歸直線必經(jīng)過點（ ， 4），則 m+n= 10 【考點】 線性回歸方程 【分析】 先利用數(shù)據(jù)平均值的公式求出 x， y 的平均值，以平均值為橫、縱坐標(biāo)的點在回歸直線上，即樣本中心點在線性回歸直線上代入，即可得出結(jié)論 【解答】 解： = = ， = = 線性回歸方程所表示的直線必經(jīng)過點（ = ， ）， y 與 x 的回歸直線必經(jīng)過點（ ， 4）， = ， =4， m=3， n=7， m+n=10 故答案為： 10 16已知函數(shù) f（ x） =g（ x） = ，則 f（ x） g（ x）的零點個數(shù)是 4 【考點】 函數(shù)零點的判定定理 【分析】 由 f（ x） g（ x） =0 得 f（ x） =g（ x），利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù) f（ x）和 g（ x）的交點個數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可 【解答】 解：由 f（ x） g（ x） =0 得 f（ x） =g（ x）， 作出函數(shù) f（ x）和 g（ x）在 ， 3內(nèi) 的圖象， 由圖象知兩個函數(shù)有 4 個交點， 故函數(shù) f（ x） g（ x）的零點個數(shù)是 4， 故答案為： 4 第 13 頁（共 20 頁） 三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分。解答寫出文字說明、證明或驗算步驟 17已知函數(shù) f（ x） =2 f（ x）的最小正周期及在區(qū)間 0， 上的最小值 【考點】 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象 【分析】 利用二 倍角的余弦公式變形，兩角差的正弦公式化簡解析式，由三角函數(shù)的周期公式求出 f（ x）的最小正周期，由 x 的范圍和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出 f（ x）在區(qū)間 0，上的最小值 【解答】 解：由題意得， f（ x） =2 （ 1 = = ， 由 T= 得， f（ x）的最小正周期是 ， 由 得， ， 則 ， 即 ， 所以 f（ x）在區(qū)間 0， 上的最小值是 18已知數(shù)列 前 n 項和為 任意 n N*滿足 3 （ 1）求 通項公式； （ 2）若 cn=數(shù)列 前 n 項和 【考點】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式 【分析】 （ 1）當(dāng) n=1 時求得 ，當(dāng) n 2 時， n 1=221，整理得 1，數(shù)列 以 3 為首項，以 2 為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式求得 通項公式； （ 2）求得數(shù)列 通項公式，采用 “錯位相減法 ”即可求得數(shù)列 前 n 項和 【解答】 解：（ 1）當(dāng) n=1， 1=23，解得 ， 當(dāng) n 2 時， 1=21 3 第 14 頁（共 20 頁） n 1=23 21+3， 1， 數(shù)列 以 3 為首項，以 2 為公比的等比數(shù)列； 2n 1； （ 2） cn=n2n 1， 數(shù)列 前 n 項和 （ 1 1+2 21+3 22+n2n 1） 2（ 1 2+2 22+3 23+n2n） 兩式相減： （ 1+2+22+2n 1 n2n）， =3（ n2n）， =3（ 1 n） 2n 1， （ n 1） 2n+3 19為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對此班 50 人進行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表： 喜愛打籃球 不喜愛打籃球 合計 男生 5 女生 10 合計 50 已知在全部 50 人中隨機抽取 1 人抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為 （ 1）請將上面的列聯(lián)表補充完整； （ 2）是否有 把握認為喜愛打籃球與性別有關(guān)？說明你的理由； （ 3）已知喜愛打籃球的 10 位女生中， 喜歡打羽毛球， 喜歡踢足球，現(xiàn)再從喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、喜歡踢足球的女生中各選出 1 名進行其他方面的調(diào)查，求 全被選中的概率 下面的臨界值表供參考： p（ k） k 參考公式： ，其中 n=a+b+c+d） 【考點】 獨立性檢驗 【分析】 （ 1）根據(jù)在全部 50 人中隨機抽取 1 人抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率，做出喜愛打籃球的人數(shù)，進而做出男生的人數(shù)，填好表格 （ 2）根據(jù)所給的公式，代入數(shù)據(jù)求出臨界值，把求得的結(jié)果同臨界值表進行比較，看出有多大的把握說明打籃球和性別有關(guān)系 （ 3）從 10 位女生中選出喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、喜歡踢足球的各 1 名，其一切可能的結(jié) 果組成的基本事件有 5 3 2，而滿足條件的事件 全被選中，通過列舉得到事件數(shù)，求出概率 【解答】 解：（ 1） 在全部 50 人中隨機抽取 1 人抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為 第 15 頁（共 20 頁） 在 50 人中，喜愛打籃球的有 =30， 男生喜愛打籃球的有 30 10=20， 列聯(lián)表補充如下： 喜愛打籃球 不喜愛打籃球 合計 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合計 30 20 50 （ 2） 有 把握認為喜愛打籃球與性別有關(guān) （ 3）從 10 位女生中選出喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、喜歡踢足球的各 1 名， 其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有 5 3 2=30 種，如下：（ （ （ （ （ （ （ （ 1， （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ 1， （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ 3， 基本事件的總數(shù)為 30， 用 M 表示 “全被選中 ”這一事件， 則其對立事件 表示 “被選中 ”這一事件， 由于 由（ （ （ （ （ 5 個基本事件組成， ， 由對立事件的概率公式得 20如圖所示，四棱錐 S 底面 等腰梯形， 足為O，側(cè)面 底面 ， ， ， ， M 為 中點 （ 1）求證 平面 （ 2）求三棱錐 B 體積 第 16 頁（共 20 頁） 【考點】 棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定 【分析】 （ 1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得出 平面 據(jù)等腰梯形及對角線垂直計算出 B， C，故而 是 平面 （ 2）計算 出 S 是 M 【解答】 證明：（ 1） 梯形 等腰梯形， D= B= 34=32+ ， 平面 平面 面 面 D，且 ， 平面 =8， = B， C M 是 中點， 又 面 面 M=M， 平面 （ 2） M 是 中點， M 到平面 距離 h= = B+ ， ， S = M = = 第 17 頁（共 20 頁） 21在平面直角坐標(biāo)系 ，以動圓經(jīng)過點（ 1， 0）且與直線 x= 1 相切，若該動圓圓心的軌跡為曲線 E （ 1）求曲線 E 的方程； （ 2）已知點 A（ 5， 0），傾斜角為 的直線 l 與線段 交（不經(jīng)過點 O 或點 A）且與曲線 E 交于 M、 N 兩點，求 積的最大值，及此時直線 l 的方程 【考點】 直線與圓錐曲線的綜合問題 【分析】 （ 1）由拋物線的定義求得拋物線方程 （ 2）直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組，構(gòu)造關(guān)于 m 的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得最大值 【解答】 解：（ 1）由題意得圓心到（ 1， 0）的距離等于直線 x= 1 的距離，由拋物線的定義可知，圓心的軌跡方程為： x （ 2）由題意，可設(shè) l 的方程為 y=x m，其中， 0 m 5 由方程組 ，消去 y，得 2m+4） x+， 當(dāng) 0 m 5 時，方程 的判別式 =（ 2m+4） 2 46（ 1+m） 0 成立 設(shè) M（ N（ 則 ， 又 點 A 到直線 l 的距離為 令 f（ m） =95m+25，（ 0 m 5） f（ m） =318m+15=3（ m 1）（ m 5），（ 0 m 5） 函數(shù) f（ m）在（ 0， 1）上單調(diào)遞增，在（ 1， 5）上單調(diào)遞減 當(dāng) m=1 時， f（ m）有最大值