（試題 試卷 真題）2012年高考文科數(shù)學(xué)解析分類匯編：圓錐曲線

2012年高考文科數(shù)學(xué)解析分類匯編：圓錐曲線一、選擇題1 （2012年高考（浙江文）如圖,中心均為原點(diǎn)O的雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn),M,N是雙曲線的兩頂點(diǎn).若M,O,N將橢圓長軸四等分,則雙曲線與橢圓的離心率的比值是（）A3B2CD2 （2012年高考（四川文）已知拋物線關(guān)于軸對(duì)稱,它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),并且經(jīng)過點(diǎn).若點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為,則（）ABCD3 （2012年高考（山東文）已知雙曲線:的離心率為2.若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為2,則拋物線的方程為（）ABCD來4 （2012年高考（遼寧文）已知P,Q為拋物線x2=2y上兩點(diǎn),點(diǎn)P,Q的橫坐標(biāo)分別為4,2,過P,Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點(diǎn)A,則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為（）A1B3C4D85 （2012年高考（課標(biāo)文）等軸雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,與拋物線的準(zhǔn)線交于、兩點(diǎn),=,則的實(shí)軸長為（）ABC4D86 （2012年高考（課標(biāo)文）設(shè),是橢圓:=1(0)的左、右焦點(diǎn),為直線上一點(diǎn),是底角為的等腰三角形,則的離心率為（）ABCD7 （2012年高考（江西文）橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是A,B,左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列,則此橢圓的離心率為（）ABCD8 （2012年高考（湖南文）已知雙曲線C :-=1的焦距為10 ,點(diǎn)P (2,1)在C 的漸近線上,則C的方程為（）A-=1B-=1C-=1D-=1w、ww.zz&9 （2012年高考（福建文）已知雙曲線-=1的右焦點(diǎn)為,則該雙曲線的離心率等于A BCD 10（2012年高考（大綱文）已知為雙曲線的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)在上,則（）ABCD11（2012年高考（大綱文）橢圓的中心在原點(diǎn),焦距為4,一條準(zhǔn)線為,則該橢圓的方程為（）ABCD二、填空題12（2012年高考（重慶文）設(shè)為直線與雙曲線 左支的交點(diǎn),是左焦點(diǎn),垂直于軸,則雙曲線的離心率_13（2012年高考（天津文）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,且的右焦點(diǎn)為,則_,_.14（2012年高考（四川文）橢圓為定值,且的的左焦點(diǎn)為,直線與橢圓相交于點(diǎn)、,的周長的最大值是12,則該橢圓的離心率是_.15（2012年高考（陜西文）右圖是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在時(shí),拱頂離水面2米,水面寬4米,水位下降1米后,水面寬 米.16（2012年高考（遼寧文）已知雙曲線x2 y2 =1,點(diǎn)F1,F2為其兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn),若P F1PF2,則P F1+P F2的值為_.17（2012年高考（安徽文）過拋物線的焦點(diǎn)的直線交該拋物線于兩點(diǎn),若,則=_三、解答題18（2012年高考（重慶文）(本小題滿分12分,()小問5分,()小問7分)已知橢圓的中心為原點(diǎn),長軸在 軸上,上頂點(diǎn)為 ,左、右焦點(diǎn)分別為 ,線段 的中點(diǎn)分別為 ,且是面積為4的直角三角形.()求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;()過 作直線交橢圓于,求的面積19（2012年高考（浙江文）（本題滿分14分）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（1，）到拋物線C：=2px（P0）的準(zhǔn)線的距離為。點(diǎn)M（t，1）是C上的定點(diǎn)，A，B是C上的兩動(dòng)點(diǎn)，且線段AB被直線OM平分。（1）求p,t的值。（2）求ABP面積的最大值。20（2012年高考（天津文）已知橢圓,點(diǎn)在橢圓上.(I)求橢圓的離心率.(II)設(shè)為橢圓的右頂點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若在橢圓上且滿足,求直線的斜率的值.21（2012年高考（四川文）如圖,動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)、構(gòu)成,且直線的斜率之積為4,設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.()求軌跡的方程;()設(shè)直線與軸交于點(diǎn),與軌跡相交于點(diǎn),且,求的取值范圍.22（2012年高考（上海文）在平面直角坐標(biāo)系中,已知雙曲線.(1)設(shè)F是C的左焦點(diǎn),M是C右支上一點(diǎn). 若|MF|=2,求過M點(diǎn)的坐標(biāo);(2)過C的左頂點(diǎn)作C的兩條漸近線的平行線,求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積;(3)設(shè)斜率為的直線l交C于P、Q兩點(diǎn),若l與圓相切,求證:OPOQ;23（2012年高考（陜西文）已知橢圓,橢圓以的長軸為短軸,且與有相同的離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在橢圓和上,求直線的方程.24（2012年高考（山東文）如圖,橢圓的離心率為,直線和所圍成的矩形ABCD的面積為8.()求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;() 設(shè)直線與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn).求的最大值及取得最大值時(shí)m的值.25（2012年高考（課標(biāo)文）設(shè)拋物線:(0)的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,為上一點(diǎn),已知以為圓心,為半徑的圓交于,兩點(diǎn).()若,的面積為,求的值及圓的方程;()若,三點(diǎn)在同一條直線上,直線與平行,且與只有一個(gè)公共點(diǎn),求坐標(biāo)原點(diǎn)到,距離的比值.26（2012年高考（江西文）已知三點(diǎn),曲線上任意一點(diǎn)滿足。(1)求曲線的方程;(2)點(diǎn)是曲線上動(dòng)點(diǎn),曲線在點(diǎn)處的切線為,點(diǎn)的坐標(biāo)是與分別交于點(diǎn),求與的面積之比。27（2012年高考（湖南文）在直角坐標(biāo)系xOy中,已知中心在原點(diǎn),離心率為的橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為圓C:x2+y2-4x+2=0的圓心.()求橢圓E的方程;()設(shè)P是橢圓E上一點(diǎn),過P作兩條斜率之積為的直線l1,l2.當(dāng)直線l1,l2都與圓C相切時(shí),求P的坐標(biāo).28（2012年高考（湖北文）設(shè)A是單位圓上任意一點(diǎn),是過點(diǎn)與軸垂直的直線,是直線與軸的交點(diǎn),點(diǎn)在直線上,且滿足,當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),記點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程,判斷曲線為何種圓錐曲線,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo).(2)過原點(diǎn)斜率為的直線交曲線于兩點(diǎn),其中在第一象限,且它在軸上的射影為點(diǎn),直線交曲線于另一點(diǎn),是否存在,使得對(duì)任意的,都有?若存在,請說明理由.29（2012年高考（廣東文）(解析幾何)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓:()的左焦點(diǎn)為且點(diǎn)在上.()求橢圓的方程;()設(shè)直線同時(shí)與橢圓和拋物線:相切,求直線的方程.30（2012年高考（福建文）如圖,等邊三角形的邊長為,且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線上.(1)求拋物線的方程;(2)設(shè)動(dòng)直線與拋物線相切于點(diǎn),與直線相較于點(diǎn).證明以為直徑的圓恒過軸上某定點(diǎn).31（2012年高考（大綱文）已知拋物線C:與圓:有一個(gè)公共點(diǎn),且在處兩曲線的切線為同一直線上.()求;()設(shè)是異于且與及都切的兩條直線,的交點(diǎn)為,求到的距離.32（2012年高考（北京文）已知橢圓:的一個(gè)頂點(diǎn)為,離心率為.直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M,N.()求橢圓的方程;()當(dāng)AMN得面積為時(shí),求的值.33（2012年高考（安徽文）如圖,分別是橢圓:+=1()的左、右焦點(diǎn),是橢圓的頂點(diǎn),是直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn),.()求橢圓的離心率;()已知面積為40,求 的值2012年高考文科數(shù)學(xué)解析分類匯編：圓錐曲線參考答案一、選擇題1. 【答案】B 【命題意圖】本題主要考查了橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì),通過對(duì)兩者公交點(diǎn)求解離心率的關(guān)系. 【解析】設(shè)橢圓的長軸為2a,雙曲線的長軸為,由M,O,N將橢圓長軸四等分,則,即,又因?yàn)殡p曲線與橢圓有公共焦點(diǎn),設(shè)焦距均為c,則雙曲線的離心率為,. 2. 答案B 解析設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0),則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(),準(zhǔn)線方程為x=, 點(diǎn)評(píng)本題旨在考查拋物線的定義: |MF|=d,(M為拋物線上任意一點(diǎn),F為拋物線的焦點(diǎn),d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離). 3. 解析:由雙曲線:的離心率為2可知,則雙曲線的漸近線方程為,拋物線的焦點(diǎn),則,拋物線的方程為,答案應(yīng)選D. 4. 【答案】C 【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P,Q的橫坐標(biāo)分別為4,2,代人拋物線方程得P,Q的縱坐標(biāo)分別為8,2.由所以過點(diǎn)P,Q的拋物線的切線的斜率分別為4,2,所以過點(diǎn)P,Q的拋物線的切線方程分別為聯(lián)立方程組解得故點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的方法,直線的方程、兩條直線的交點(diǎn)的求法,屬于中檔題.曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率,從而把點(diǎn)的坐標(biāo)與直線的斜率聯(lián)系到一起,這是寫出切線方程的關(guān)鍵. 5. 【命題意圖】本題主要考查拋物線的準(zhǔn)線、直線與雙曲線的位置關(guān)系,是簡單題. 【解析】由題設(shè)知拋物線的準(zhǔn)線為:,設(shè)等軸雙曲線方程為:,將代入等軸雙曲線方程解得=,=,=,解得=2, 的實(shí)軸長為4,故選C. 6. 【命題意圖】本題主要考查橢圓的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想,是簡單題. 【解析】是底角為的等腰三角形, ,=,=,故選C. 7. 【答案】B 【解析】,由成等比數(shù)列得. 【考點(diǎn)定位】本題主要考查橢圓和等比數(shù)列的知識(shí),根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得結(jié)果. 8. 【答案】A 【解析】設(shè)雙曲線C :-=1的半焦距為,則. 又C 的漸近線為,點(diǎn)P (2,1)在C 的漸近線上,即. 又,C的方程為-=1. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程、雙曲線的漸近線方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查了數(shù)形結(jié)合的思想和基本運(yùn)算能力,是近年來?？碱}型. 9. 【答案】C 【解析】由,C答案正確. 【考點(diǎn)定位】本題主本考查雙曲線的方程與基本性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題. 10. 答案C 【命題意圖】本試題主要考查了雙曲線的定義的運(yùn)用和性質(zhì)的運(yùn)用,以及余弦定理的運(yùn)用.首先運(yùn)用定義得到兩個(gè)焦半徑的值,然后結(jié)合三角形中的余弦定理求解即可. 【解析】解:由題意可知,設(shè),則,故,利用余弦定理可得. 11. 答案C 【命題意圖】本試題主要考查了橢圓的方程以及性質(zhì)的運(yùn)用.通過準(zhǔn)線方程確定焦點(diǎn)位置,然后借助于焦距和準(zhǔn)線求解參數(shù),從而得到橢圓的方程. 【解析】因?yàn)?由一條準(zhǔn)線方程為可得該橢圓的焦點(diǎn)在軸上縣,所以.故選答案C 二、填空題12. 【答案】 【解析】由,又垂直于軸,所以 【考點(diǎn)定位】本題考查了雙曲線的焦點(diǎn)、離心率,考查了兩條直線垂直的條件,考查了方程思想. 13. 【解析】雙曲線的漸近線為,而的漸近線為,所以有,又雙曲線的右焦點(diǎn)為,所以,又,即,所以. 14. 答案 解析根據(jù)橢圓定義知:4a=12, 得a=3 , 又 點(diǎn)評(píng)本題考查對(duì)橢圓概念的掌握程度.突出展現(xiàn)高考前的復(fù)習(xí)要回歸課本的新課標(biāo)理念. 15. xy解析:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則拋物線方程為,當(dāng)時(shí), ,所以水面寬米。16. 【答案】 【解析】由雙曲線的方程可知 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力,難度適中.解題時(shí)要充分利用雙曲線的定義和勾股定理,實(shí)現(xiàn)差積和的轉(zhuǎn)化. 17. 【解析】 設(shè)及;則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 得: 又 三、解答題18. 【答案】:()+=1() 【解析】(1)設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,右焦點(diǎn)為 由是直角三角形且,故,從而,即,結(jié)合,所以橢圓的離心率,在中, 故,由題設(shè)條件,從而,因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. (2)由(1)可知,由題意,直線的傾斜角不為0,故可設(shè)直線,代入橢圓的方程可得(*) 設(shè) 則 是上面方程的兩根,因此 又,所以 由 ,知 ,即 ,解得 當(dāng) 時(shí),方程(*)化為: 故 , 的面積 當(dāng) 時(shí),同理可得(或由對(duì)稱性可得) 的面積 綜上所述, 的面積為 . 19. 【命題意圖】本題主要考查了拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力.（1）由題意得，得.（2）設(shè)，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為由題意得，設(shè)直線AB的斜率為k（k）.由，得，得所以直線的方程為，即.由，整理得，所以，.從而得，設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d，則，設(shè)ABP的面積為S，則.由，得.令，則.設(shè)，則.由，得，所以，故ABP的面積的最大值為.20. 解:因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,故,于是,所以橢圓的離心率 (2)設(shè)直線的斜率為,則其方程為,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 21. 解析(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),當(dāng)x=-1時(shí),直線MA的斜率不存在;當(dāng)x=1時(shí),直線MB的斜率不存在. 于是x1且x-1.此時(shí),MA的斜率為,MB的斜率為. 由題意,有=4 化簡可得,4x2-y2-4=0 故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為4x2-y2-4=0(x1且x-1) (2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0. () 對(duì)于方程(),其判別式=(-2m)2-43(-m2-4)=16m2+480 而當(dāng)1或-1為方程(*)的根時(shí),m的值為-1或1. 結(jié)合題設(shè)(m0)可知,m0,且m1 設(shè)Q、R的坐標(biāo)分別為(XQ,YQ),(XR,YR),則為方程(*)的兩根. 因?yàn)?所以, 所以. 此時(shí) 所以 所以 綜上所述, 點(diǎn)評(píng)本小題主要考察直線、雙曲線、軌跡方程的求法等基礎(chǔ)知識(shí),考察思維能力、運(yùn)算能力,考察函數(shù)、分類與整合等思想,并考察思維的嚴(yán)謹(jǐn)性. 22. 解(1)雙曲線,左焦點(diǎn). 設(shè),則, 由M是右支上一點(diǎn),知,所以,得. 所以 (2)左頂點(diǎn),漸近線方程:. 過A與漸近線平行的直線方程為:,即.解方程組,得 所求平行四邊形的面積為 (3)設(shè)直線PQ的方程是.因直線與已知圓相切,故, 即 (*). 由,得. 設(shè)P(x1, y1)、Q(x2, y2),則. ,所以 . 由(*)知,所以O(shè)POQ 23. 24. 解:(I) 矩形ABCD面積為8,即 由解得:,橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是. (II), 設(shè),則, 由得. . 線段CD的方程為,線段AD的方程為. (1)不妨設(shè)點(diǎn)S在AD邊上,T在CD邊上,可知. 所以,則, 令,則 所以, 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值,此時(shí); (2)不妨設(shè)點(diǎn)S在AB邊上,T在CD邊上,此時(shí), 因此,此時(shí), 當(dāng)時(shí)取得最大值; (3)不妨設(shè)點(diǎn)S在AB邊上,T在BC邊上,可知 由橢圓和矩形的對(duì)稱性可知當(dāng)時(shí)取得最大值; 綜上所述當(dāng)和0時(shí),取得最大值. 25. 【命題意圖】本題主要考查圓的方程、拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線距離公式、線線平行等基礎(chǔ)知識(shí),考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力. 【解析】(1)由對(duì)稱性知:是等腰直角,斜邊 點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,所以圓F的半徑為, 又 ,所以, 進(jìn)而圓心,所以圓的方程為 (2) 三點(diǎn)共線于,所以為的直徑,所以,由拋物線定義知:,所以,可取直線的傾斜角為,又直線過焦點(diǎn),所以直線的方程為:;的縱截距為 因直線直線, 所以可設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,消去得: 已知直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),所以(*)的判別式等于0,即有: , 求得:;即直線的縱截距為, 所以:坐標(biāo)原點(diǎn)到,距離的比為: 解法二:由對(duì)稱性設(shè),則 由點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱得: 得:,直線 切點(diǎn) 直線 坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值為. 26. 【解析】(1), 代入式子可得整理得 27. 【解析】()由,得.故圓C的圓心為點(diǎn) 從而可設(shè)橢圓E的方程為其焦距為,由題設(shè)知 故橢圓E的方程為: ()設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,的斜分率分別為則的方程分別為且由與圓相切,得 , 即 同理可得 . 從而是方程的兩個(gè)實(shí)根,于是 且 由得解得或 由得由得它們滿足式,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ,或,或,或. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線與方程、直線與曲線的位置關(guān)系,考查運(yùn)算能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)思想方法.第一問根據(jù)條件設(shè)出橢圓方程,求出即得橢圓E的方程,第二問設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo),利用過P點(diǎn)的兩條直線斜率之積為,得出關(guān)于點(diǎn)P坐標(biāo)的一個(gè)方程,利用點(diǎn)P在橢圓上得出另一方程,聯(lián)立兩個(gè)方程得點(diǎn)P坐標(biāo). 28. 圖2 圖3 圖1O D xyAM 考點(diǎn)分析:本題主要考察求曲線的軌跡方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,要求能正確理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì),并能熟練運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題,對(duì)運(yùn)算能力有較高要求. 解析: ()如圖1,設(shè),則由, 可得,所以,. 因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng),所以. 將式代入式即得所求曲線的方程為. 因?yàn)?所以 當(dāng)時(shí),曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓, 兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,; 當(dāng)時(shí),曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓, 兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,. ()解法1:如圖2、3,設(shè),則, 直線的方程為,將其代入橢圓的方程并整理可得 . 依題意可知此方程的兩根為,于是由韋達(dá)定理可得 ,即. 因?yàn)辄c(diǎn)H在直線QN上,所以. 于是,. 而等價(jià)于, 即,又,得, 故存在,使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上,對(duì)任意的,都有. 解法2:如圖2、3,設(shè),則, 因?yàn)?兩點(diǎn)在橢圓上,所以 兩式相減可得 . 依題意,由點(diǎn)在第一象限可知,點(diǎn)也在第一象限,且,不重合, 故. 于是由式可得 . 又,三點(diǎn)共線,所以,即. 于是由式可得. 而等價(jià)于,即,又,得, 故存在,使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上,對(duì)任意的,都有.【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系;考查分類討論的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算求解的能力.本題是一個(gè)橢圓模型,求解標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)注意對(duì)焦點(diǎn)的位置分類討論,不要漏解;對(duì)于探討性問題一直是高考考查的熱點(diǎn),一般先假設(shè)結(jié)論成立,再逆推所需要求解的條件,對(duì)運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力有較高的要求. 29. 解析:()由左焦點(diǎn)可知,點(diǎn)在上,所以,即,所以,于是橢圓的方程為. ()顯然直線的斜率存在,假設(shè)其方程為. 聯(lián)立,消去,可得,由可得.聯(lián)立,消去,可得,由可得.由,解得或,所以直線方程為或. 30. 【考點(diǎn)定位