線段最值問(wèn)題.doc

【通過(guò)做對(duì)稱求出最小值】1、在邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PQ，則PBQ周長(zhǎng)的最小值為 cm2、如圖所示，正方形ABCD的面積為12，ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PDPE的和最小，則這個(gè)最小值為_(kāi) 3、已知四邊形ABCD為菱形，BAD60，E為AD中點(diǎn)，AB6，DCEBPA P為AC上任一點(diǎn).求PE+PD的最小值是 .ACPEFBD【變式】在菱形ABCD中，對(duì)角線AC=6，BD=8，點(diǎn)E、F分別是邊 AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在PE+PF的最小值，則這個(gè)最小值是 .【模擬練習(xí)】1、如圖，在銳角ABC中，AB=4，BAC=45，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是 ABCDNM第1題2、如圖，在五邊形ABCDE中，BAE120，BE90，ABBC1，AEDE2，在BC、DE上分別找一點(diǎn)M、N，使AMN的周長(zhǎng)最小，則AMN的最小周長(zhǎng)為_(kāi)BADEMCN第2題3、如圖6，AB是O的直徑，AB=8，點(diǎn)M在O上，MAB=20,N是弧MB的中點(diǎn),P是直徑AB上的一動(dòng)點(diǎn)，若MN=1，則PMN周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)4、如圖，點(diǎn)P是AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=5cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，PMN周長(zhǎng)的最小值是5cm，則AOB的度數(shù)是（ ） A25 B30 C35 D405、菱形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，頂點(diǎn)B（2，0），DOB=60，點(diǎn)P是對(duì)角線OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E（0，1），當(dāng)EP+BP最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 6、如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，則BE+DE的最小值為_(kāi)7、如圖，AOB=30，點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，OP平分AOB，且OP=6，當(dāng)PMN的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，四邊形PMON的面積為 8、如圖，AOB30，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM1，ON3，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MPPQQN的最小值是_9、如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A為圓心，1為半徑畫圓，E是A上一動(dòng)點(diǎn)，P是BC上的一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PD的最小值是 【通過(guò)三角形三邊關(guān)系或圓求最值】1、 如圖，MON=90，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為_(kāi)2、如圖，MON=90，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，等邊三角形的形狀保持不變，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C到點(diǎn)O的最大距離為_(kāi)3、如圖，正方形ABCD中，AB=2，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段AF、BE相交于點(diǎn)P，M是線段BC上任意一點(diǎn)，則MD+MP的最小值為 ADCBEFPM 4、如圖，在平行四邊形ABCD中，BCD=30，BC=4，CD=，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將AMN沿MN所在直線翻折得到AMN，連接AC，則AC長(zhǎng)度的最小值是_5、如圖，在矩形中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將EBF沿EF所在直線折疊得到EBF，連接BD，則BD的最小值是_6、如圖，在ABC中，ACB=90，AB=5，BC=3，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），將BCP沿CP所在的直線翻折，得到BCP，連接BA，則BA長(zhǎng)度的最小值是 【通過(guò)點(diǎn)到直線距離，垂線段最短求最小值】1、 已知點(diǎn)D與點(diǎn)A（8，0），B（0，6），C（a，a）是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，則CD長(zhǎng)的最小值為_(kāi)2、如圖，已知直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，P是以C（0，1）為圓心，1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA、PB則PAB面積的最大值是（ ）A8 B12 C D3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0）、B（0，4），O的半徑為1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P在直線AB上，過(guò)點(diǎn)P作O的一條切線PQ，Q為切點(diǎn)，則切線長(zhǎng)PQ的最小值為（ ）A.B.3C.D.CABEF4、如圖，在ABC中，AB = 10，AC = 8，BC = 6，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與AB相切的動(dòng)圓與CB、CA分別相交于點(diǎn)E、F，則線段EF長(zhǎng)度的最小值是 ( )A B4.75 C4.8 D5【將圖形展開(kāi)后求線段最短】1、如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為_(kāi)cm【高中基本不等式】1、張華在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，利用“在面積一定的矩形中，正方形的周長(zhǎng)最短”的結(jié)論，推導(dǎo)出“式子（x0）的最小值是2”其推導(dǎo)方法如下：在面積是1的矩形中設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x，則另一邊長(zhǎng)是，矩形的周長(zhǎng)是2（）；當(dāng)矩形成為正方形時(shí)，就有x=（x0），解得x=1，這時(shí)矩形的周長(zhǎng)2（）=4最小，因此（x0）的最小值是2模仿張華的推導(dǎo)，你求得式子（x0）的最小值是_【其它】1、如圖，已知直線l與O相離，OAl于點(diǎn)A，OA=5，OA與O相交于點(diǎn)P，AB與O相切于點(diǎn)B，BP的延長(zhǎng)線交直線l于點(diǎn)C，若在O上存在點(diǎn)Q，使QAC是以AC為底邊的等腰三角形，則O的半徑的最小值是（ ）A. B. 2 C. D. 2、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，中心為點(diǎn)O，有一邊長(zhǎng)大小不定的正六邊形EFGHIJ繞點(diǎn)O可任意旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，這個(gè)正六邊形始終在正方形ABCD內(nèi)（包括正方形的邊），當(dāng)這個(gè)六邊形的邊長(zhǎng)最大時(shí)，AE的最小值為_(kāi) 3、如圖，AB=10，C是線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、CB為邊在AB的同側(cè)作等邊ACP和等邊CBQ，連結(jié)PQ，則PQ的最小值是（）A5B6C3D44、如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（4，4），拋物線y=a（xm）2+n的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，與x軸交于C、D兩點(diǎn)（C在D的左側(cè)），點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為3，則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最大值為5、如圖，ABC、EFG均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC、EF的中點(diǎn)，直線AG、FC相交于點(diǎn)M當(dāng)EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段BM長(zhǎng)的最小值是（ ）ABCD6、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A(13，0)，若直線ykx3k4與O交于B，C兩點(diǎn)，則弦BC的長(zhǎng)的最小值為_(kāi)7、在O中，圓的半徑為6，B=30，AC是O的切線，則CD的最小值是（ ） A1B3CD28、如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，2），C的圓心坐標(biāo)為（1，0），半徑為1若D是C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則ABE面積的最小值是（） A2B1CD9、如圖，AB是O的一條弦，點(diǎn)C是O上一動(dòng)點(diǎn)，且ACB=30，點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與O交于G、H兩點(diǎn)若O的半徑為7，則GE+FH的最大值為 第7題 第8題 第9題【構(gòu)造三角形】1、如圖，一條筆直的公路l穿過(guò)草原，公路邊有一消防站A，距離公路5千米的地方有一居民點(diǎn)B，A、B的直線距離是13千米.一天，居民點(diǎn)B著火，消防員受命欲前往救火，若消防車在公路上的最快速度是80千米/小時(shí)，而在草地上的最快速度是40千米/小時(shí)，則消防車在出發(fā)后最快經(jīng) 小時(shí)可到達(dá)居民點(diǎn)B.(友情提醒：消防車可從公路的任意位置進(jìn)入草地行駛.)2、如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，BC6，ABC150，則線段APBPPD的最小值為 ABCDP（第2題）3、問(wèn)題情境：如圖1，P是O外的一點(diǎn)，直線PO分別交O于點(diǎn)A、B，則PA是點(diǎn)P到O上的點(diǎn)的最短距離探究：請(qǐng)您結(jié)合圖2給予證明；歸納：圓外一點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的最短距離是：這點(diǎn)到連接這點(diǎn)與圓心連線與圓交點(diǎn)之間的距離圖中有圓，直接運(yùn)用：如圖3，在RtABC中，ACB=90，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是弧CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則AP的最小值是 圖中無(wú)圓，構(gòu)造運(yùn)用：如圖4，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，A=60，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將AMN沿MN所在的直線翻折得到AMN，連接AC，請(qǐng)求出AC長(zhǎng)度的最小值解：由折疊知AM=AM，又M是AD的中點(diǎn)，可得MA=MA=MD，故點(diǎn)A在以AD為直徑的圓上如圖8，以點(diǎn)M為圓心，MA為半徑畫M，過(guò)M作MHCD，垂足為H，（請(qǐng)繼續(xù)完成下列解題過(guò)程）遷移拓展，深化運(yùn)用：如圖6，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是 2、如圖，在ABC中，AB13，BC14，AC15（1）探究：如圖1，作AHBC于點(diǎn)H，則AH ，ABC的面積 （2）拓展：如圖2，點(diǎn)D在邊AC上（可與點(diǎn)A，C重合），分別過(guò)點(diǎn)A、C作直線BD的垂線，垂足為E，F(xiàn)，設(shè)BDx，AECFy求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值和最小值；對(duì)給定的一個(gè)x值，有時(shí)只能確定唯一的點(diǎn)D，請(qǐng)求出這樣的x的取值范圍ABCHABCDFE圖1圖23、如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，B=45，P是BC邊上一點(diǎn)，PAD的面積為，設(shè)AB=x，AD=y（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若APD=45，當(dāng)y=1時(shí)，求PBPC的值；（3）若APD=90，求y的最小值4、圖1，圖2為同一長(zhǎng)方體房間的示意圖，圖2為該長(zhǎng)方體的表面展開(kāi)圖.（1）蜘蛛在頂點(diǎn)處蒼蠅在頂點(diǎn)B處時(shí)，試在圖1中畫出蜘蛛為捉住蒼蠅，沿墻面爬行的最近路線；蒼蠅在頂點(diǎn)C處時(shí)，圖2中畫出了蜘蛛捉住蒼蠅的兩條路線，往天花板ABCD爬行的最近路線和往墻面爬行的最近路線，試通過(guò)計(jì)算判斷哪條路線更近？（2）在圖3中，半徑為10dm的M與相切，圓心M到邊的距離為15dm，蜘蛛P在線段AB上，蒼蠅Q在M的圓周上，線段PQ為蜘蛛爬行路線。若PQ與M相切，試求PQ的長(zhǎng)度的范圍.5、在RtABC中，A=90，AC=AB=4， D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)若等腰RtADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰RtAD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（0180），記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P（1）如圖1，當(dāng)=90時(shí)，線段BD1的長(zhǎng)等于 ，線段CE1的長(zhǎng)等于 ；（直接填寫結(jié)果）（2）如圖2，當(dāng)=135時(shí)，求證：BD1= CE1，且BD1CE1；（3）設(shè)BC的中點(diǎn)為M，則線段PM的長(zhǎng)為 ；點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值為 （直接填寫結(jié)果） 6、如圖1，點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，分別延長(zhǎng)OD到點(diǎn)G，OC到點(diǎn)E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG，DE（1）求證：DEAG；（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（0360）得到正方形OEFG，如圖2在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)OAG是直角時(shí)，求的度數(shù)；若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求AF長(zhǎng)的最大值和此時(shí)的度數(shù)，直接寫出結(jié)果不必說(shuō)明理由7、 在中，,將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到.（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí). .求證：；.求的面積；（2）如圖，點(diǎn)是上的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，在繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，求線段長(zhǎng)度的最大值與最小值的差.8、如圖，把EFP按圖示方式放置在菱形ABCD中，使得頂點(diǎn)E、F、P分別在線段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4，BAD=60，且AB4（1）求EPF的大??；（2）若AP=6，求AE+AF的值；（3）若EFP的三個(gè)頂點(diǎn)E、F、P分別在線段AB、AD、AC上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出AP長(zhǎng)的最大值和最小值9、拋物線y=ax2+bx+4（a0）過(guò)點(diǎn)A（1，1），B（5，1），與y軸交于點(diǎn)C（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，連接CB，以CB為邊作CBPQ，若點(diǎn)P在直線BC上方的拋物線上，Q為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且CBPQ的面積為30，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，O1過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)，AE為直徑，點(diǎn)M為 上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），MBN為直角，邊BN與ME的延長(zhǎng)線交于N，求線段BN長(zhǎng)度的最大值 10、問(wèn)題提出：如圖1，在Rt