數(shù)學(xué)分析 第八章重積分_第1頁
數(shù)學(xué)分析 第八章重積分_第2頁
數(shù)學(xué)分析 第八章重積分_第3頁
數(shù)學(xué)分析 第八章重積分_第4頁
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第八章重積分 1 二重積分的概念 1 平面集合的面積 2 二重積分的定義設(shè)是平面上的一個有界閉區(qū)域 是零面積集合 是定義在上的函數(shù) 用兩組相互橫截的曲線將分成個小區(qū)域 并進一步假定分割的曲線都是零面積的 令 再任取 考察和記 如果存在數(shù) 對 使得只要 不論分割曲線組及中間點如何選取 那么就稱在上可積 稱為在上的二重積分 記作或 3 可積的必要條件與充分條件定理1 1若在可求面積的有界閉區(qū)域上可積 則在上有界 定理1 2設(shè)是平面上有界閉區(qū)域 邊界是零面積集合 又設(shè)在上連續(xù) 則在上可積 4 二重積分的基本性質(zhì) 1 2 3 區(qū)域可加性 設(shè)且 都是可求面積的 在上均可積 則在上可積 且 4 若 則 5 積分中值定理設(shè)在可求面積的有界閉區(qū)域上連續(xù) 則在上至少存在一點 使得 其中的面積 2 二重積分的計算 1 化二重積分為累次積分定理2 1設(shè)在有界閉區(qū)域連續(xù) 其中是上連續(xù)函數(shù) 則 上式右端積分稱為累次積分 例1求 例2求 例3寫出所對應(yīng)的累次積分 其中由所圍 2 利用對稱性化簡計算例4 設(shè) 求 例5 求 3 極坐標(biāo)下二重積分的計算定理2 2設(shè)為可求面積的有界閉區(qū)域 在上可積 則其中 例6 設(shè) 求 例7 將用極坐標(biāo)化成二次積分 其中為 1 2 由所圍成 3 由所圍成 例8 求 其中是在第一卦限的部分 3 二重積分的一般變元替換法則 設(shè)在可求面積的有界閉區(qū)域中連續(xù) 假定是一一對應(yīng) 其中是有界閉區(qū)域 在中有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) 并且 定理3 1在上述假定下 有下列公式 推論 在上述假定下 區(qū)域的面積 例1 求 例2 求 例3 求所圍區(qū)域的面積 4 三重積分的概念與計算 1 三重積分的概念設(shè)是中可求體積的有界閉區(qū)域 是上函數(shù) 分割成個互不重疊的可求體積的小區(qū)域任取 若對的任一分割法及中間點的任意

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