現(xiàn) 代 控 制 理 論第4章修改完成

第四章李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 1892年 李雅普諾夫 在 運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一般問(wèn)題 中系統(tǒng)的建立了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論 給出了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的精確定義 李雅普諾夫第二法 直接法 對(duì)于一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng) 如果隨著系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng) 其貯存的能量 能量函數(shù) 隨著時(shí)間的增長(zhǎng)而連續(xù)地減小 即能量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù) 為負(fù) 直至趨于平衡狀態(tài)而能量趨于極小值 則此系統(tǒng)是穩(wěn)定的 李雅普諾夫第二法可歸結(jié)為 在不直接求微分方程解的前提下 通過(guò)判斷 廣義能量函數(shù) 李雅普諾夫函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù)的號(hào)性 給出系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的信息 應(yīng)用李氏穩(wěn)定理論的關(guān)鍵在于能否找到一個(gè)合適的李氏函數(shù) 經(jīng)驗(yàn)表明 在很多情況下 可取為二次型 李氏穩(wěn)定理論既適用于線性系統(tǒng) 也適用于非線性系統(tǒng) 4 1基本定義 平衡狀態(tài)對(duì)于系統(tǒng)對(duì)所有t 存在 則稱(chēng) e為系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 對(duì)于線性定常系統(tǒng) 討論穩(wěn)定性無(wú)關(guān)輸入u 當(dāng) 為非奇異時(shí) 系統(tǒng)只存在一個(gè)平衡狀態(tài) 即 0是唯一的平衡點(diǎn) 當(dāng) 為奇異時(shí) 則系統(tǒng)存在無(wú)窮多個(gè)平衡狀態(tài) 對(duì)于非線性系統(tǒng) 可有一個(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài) 任何平衡狀態(tài) 總可通過(guò)坐標(biāo)變換 將其移至坐標(biāo)原點(diǎn) 即f 0 t 0 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 e f Xe t 0 在t t0時(shí) 有擾動(dòng)使系統(tǒng)的初態(tài)為 0 產(chǎn)生初始偏差 0 Xe 則t t0后 系統(tǒng)的狀態(tài)從 0開(kāi)始發(fā)生變化 uclid范數(shù) 表示初始偏差都在以 為半徑 以平衡狀態(tài) e為中心的閉球域S 中 同樣 表示平衡狀態(tài)偏差都在以 為半徑 以平衡狀態(tài)Xe為中心的閉球域S 中 如果對(duì)球域S 存在著一個(gè)球域S 使當(dāng)t 時(shí) 從S 出發(fā)的軌跡不離開(kāi)S 即有 則稱(chēng)平衡狀態(tài) e為在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的 圖a 如果平衡狀態(tài) e在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的 又當(dāng)t 時(shí) 從 出發(fā)的軌跡都不離開(kāi) 而且收斂于Xe 即有 則稱(chēng)平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的 圖b 如果對(duì)狀態(tài)空間中的任意點(diǎn) 不管初始偏差有多大 由這些狀態(tài)出發(fā)的軌跡都保持漸近穩(wěn)定特性 則稱(chēng)平衡狀態(tài) e為大范圍漸近穩(wěn)定的 大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是在整個(gè)狀態(tài)空間中 只有一個(gè)平衡狀態(tài) 如果線性定常系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的 由于其有唯一解 因此它必定也是大范圍漸近穩(wěn)定的 當(dāng)t 時(shí) 在球域 的某個(gè)狀態(tài) 0出發(fā)的軌跡最終超越球域 則稱(chēng)平衡狀態(tài) e為不穩(wěn)定的 圖c 純量函數(shù)號(hào)性廣義能量函數(shù)通常是一個(gè)二次型純量函數(shù) 當(dāng)且僅當(dāng) 0時(shí) 有 0 對(duì)任意非零 恒有 0則稱(chēng)V x 為正定 當(dāng) 0時(shí) 有 0 對(duì)任意非零X 有 0 則稱(chēng)為正半定 或稱(chēng)準(zhǔn)正定 當(dāng)且僅當(dāng)X 0時(shí) 有 0 對(duì)任意非零X 恒有 0 負(fù)定 當(dāng)X 0時(shí) 有 0 對(duì)任意非零X 有 0 則負(fù)半定 準(zhǔn)負(fù)定 如果無(wú)論取多么小的零點(diǎn)的鄰域 可為負(fù)值 也可為負(fù)值 則稱(chēng)不定 二次型V x 正定性的Sylvester準(zhǔn)則李雅普諾夫穩(wěn)定性理論中的 廣義能量函數(shù) V x 通常為二次型 矩陣P為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 V x 的正定性可由Sylvester準(zhǔn)則來(lái)確定 二次型V x 為正定的充分必要條件是矩陣P的所有主子行列式為正 即 若P是奇異矩陣 并且它的所有主子行列式為非負(fù) 則為正半定的 二次型V x 為負(fù)定的充分必要條件是矩陣P的所有主子行列式滿足 i0 i為偶數(shù) i 1 2 n 李雅普諾夫函數(shù) 廣義能量函數(shù)的物理意義圖示系統(tǒng) 質(zhì)量M 彈簧剛度K 阻尼系數(shù)B 系統(tǒng)相對(duì)于平衡狀態(tài)的位移為y 速度取狀態(tài)變量x1 y 則有 表示系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng) 為一齊次方程 系統(tǒng)在任一個(gè)瞬時(shí)的具有的總能量為 彈簧的勢(shì)能 質(zhì)量的動(dòng)能 即 顯然V x V x1 x2 是正定的 且V 0 0 0 而能量變化率 顯然 無(wú)論x1 x2取何值 總是負(fù)定的 或負(fù)半定 若B 0 則 無(wú)能量損失 當(dāng)初始位置偏離平衡位置足夠小時(shí) 系統(tǒng)將在平衡點(diǎn)足夠小的范圍內(nèi)作諧振 系統(tǒng)相對(duì)于平衡位置是穩(wěn)定的 盡管是不斷作諧振 若B 0 即B 0 此時(shí) 系統(tǒng)沿著其運(yùn)動(dòng)軌跡有 阻尼器不斷消耗系統(tǒng)能量 總能量V x 不斷減小 直至為零 物體趨向平衡位置 系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的 可見(jiàn)李雅普諾夫函數(shù)就是力學(xué)系統(tǒng)的能量函數(shù) 但并非所有的系統(tǒng)都具有能量概念 如經(jīng)濟(jì)系統(tǒng) 生物系統(tǒng)和社會(huì)學(xué)系統(tǒng)等 因此有必要將上述能量函數(shù)的概念推廣至系統(tǒng)的所謂李雅普諾夫函數(shù) 廣義能量函數(shù) 的概念上來(lái) 4 2李雅普諾夫第二法穩(wěn)定性分析基本定理 定理一 系統(tǒng)狀態(tài)方程 且f 0 t 0 如果有連續(xù)一階偏導(dǎo)的純量函數(shù)存在 且滿足以下條件 1 V X t 是正定的 2 是負(fù)定的 則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的 如果隨著 X 時(shí) 有V X t 則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的 例4 1系統(tǒng)方程為 試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性解 顯然 原點(diǎn) 0 0 為系統(tǒng)唯一的一個(gè)平衡狀態(tài) 若取 V X 為正定 則 顯然是負(fù)定的 又由于 X 時(shí) 因此系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的 定理二 系統(tǒng)狀態(tài)方程 且f 0 t 0 如果有一純量函數(shù)V X 它具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) 且滿足 1 V X t 是正定的 2 是負(fù)半定的 3 在X 0時(shí)不恒等于0則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的 例4 2系統(tǒng)方程為 試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性 解 顯然 原點(diǎn) 0 0 為系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài) 若取 V X 為正定 則 x1 0 x2 0時(shí) 當(dāng)x1 0 x2 0時(shí) x2 0時(shí) 因此是負(fù)半定的 反推論 若恒等于零 則x2必為零 這就要求 由于 故x1也必須等于零 這就是說(shuō) V X 只有在原點(diǎn)處才恒等于零 因此由定理二 原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的 對(duì)該例 可另取 正定 負(fù)定 又因 X 時(shí) 有V X 由定理一 原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的 可見(jiàn) 選取不同的李氏函數(shù) 可得出相同的結(jié)論 可簡(jiǎn)化分析 定理三 系統(tǒng)狀態(tài)方程 且f 0 t 0 如果有一純量函數(shù)V X 它具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) 且滿足 1 V X 是正定的 2 對(duì)任意X恒為零 則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的 但非漸近穩(wěn)定的 這時(shí)系統(tǒng)可保持在一個(gè)穩(wěn)定的等幅振蕩狀態(tài)上 即所謂極限環(huán) 試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性 解 顯然 原點(diǎn) 0 0 為平衡狀態(tài) 取 則 例4 3 系統(tǒng)如圖 方程為 K 0 正定 可見(jiàn) 在任意X值上均可保持為零 則系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的 但不是漸進(jìn)穩(wěn)定的 存在著極限環(huán) 事實(shí)上 該系統(tǒng)在古典的控制理論中屬結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的 因其閉環(huán)傳遞函數(shù) 為使系統(tǒng)變?yōu)闈u進(jìn)穩(wěn)定 現(xiàn)考慮非齊次狀態(tài)方程 為使系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定 可使設(shè) 其中是根據(jù)希望的響應(yīng)選取的常數(shù) 這樣便符合定理一 上述方法 就是通常采用的所謂速度反饋 必須注意 上述定理只是給出了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件 尚未給出必要條件 即對(duì)給定的系統(tǒng)如果可以找到滿足條件的李雅普諾夫函數(shù) 則系統(tǒng)必定是穩(wěn)定的 但是如果找不到這樣的李雅普諾夫函數(shù) 即不定 也并不意味著系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 定理四 系統(tǒng)狀態(tài)方程 且如果有一純量函數(shù) 它具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù) 且滿足1 在原點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)是正定的 2 在同樣的鄰域內(nèi)是正定的 則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的 4 3線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程 若矩陣A是非奇異的 則唯一的平衡狀態(tài)在原點(diǎn)處取一個(gè)可能的二次型李雅普諾夫函數(shù) 式中P是一個(gè)正定的Hermitian陣 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 沿導(dǎo)數(shù)的軌跡為 對(duì)于系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定性 要求是負(fù)定的則必須有式中系統(tǒng)在平衡漸近穩(wěn)定的充要條件是Q陣為正定的 則就是該系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù) 注 1 若沿任意軌跡不恒等于零 則Q可取正半定的 2 由Q確定的P 則P的正定性是系統(tǒng)在平衡狀態(tài)X 0漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件 3 只要矩陣Q選為正定的 或根據(jù)具體情況選為正半定的 則最終結(jié)果與矩陣Q的選擇無(wú)關(guān) 可選Q I 則滿足漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件為 由此檢驗(yàn)矩陣P是否為正定的 例 控制系統(tǒng)如圖 其狀態(tài)方程為 可見(jiàn) 原點(diǎn)是唯一的平衡狀態(tài) 試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解 該可能的李雅普諾夫函數(shù)為 式中 矩陣P滿足 即 即 解得 即 根據(jù)Sylvester準(zhǔn)則 有 所以矩陣P是正定 系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是在大范圍漸近穩(wěn)定的 該系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為 4 4線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 定理五 離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 在處的平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的充要條件是 對(duì)于任意給定的Hermitian矩陣 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 Q 存在一個(gè)正定的Hermitian矩陣P 使得 則系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)便是 證明 設(shè)可能的