第4--5章習題解析.doc

4 平差數(shù)學模型與最小二乘原理知識點1、幾何模型在測量工作中，為了確定待定點的高程，需要建立水準網(wǎng)，為了確定待定點的平面坐標，需要建立平面控制網(wǎng)（包括測角網(wǎng)、測邊網(wǎng)、邊角網(wǎng)），常把這些網(wǎng)稱為幾何模型。2、幾何量每種幾何模型都包含有不同的幾何元素，如水準網(wǎng)中包括點的高程、點間的高差，平面網(wǎng)中包含角度、邊長、邊的坐標方位角以及點的二維或三維坐標等元素，都稱為幾何量。3、函數(shù)模型要確定一個幾何模型，并不需要指導其中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就可以，其他元素可以通過它們之間的函數(shù)描述而確定出來，這種描述所求量與已知量之間的關(guān)系式稱為函數(shù)模型。4、必要觀測元素能夠唯一地確定一個幾何模型所必要的元素，稱為必要觀測元素。必要觀測元素的個數(shù)用t表示，稱為必要觀測個數(shù)。必要觀測元素的性質(zhì)：（1）只取決于模型本身；（2）所有的t個元素之間相互獨立；（3）模型中所有量均為必要元素的函數(shù)；（4）一個模型中函數(shù)獨立的量最多只有t個；（5）模型中作為必要元素的量不是唯一的。5、問：如果對某量只做一次觀測，該觀測值是否不含誤差？答：誤差不能被發(fā)現(xiàn)，不是不含有誤差，我們進行觀測，總是處于一定的環(huán)境之中，所以誤差是肯定存在的。為保證觀測結(jié)果的正確性，必須對該量進行兩次及以上的觀測，這樣才能使觀測值間的差異表現(xiàn)出來，平差的一個主要任務(wù)是“消除差異”，求出被觀測量的最可靠結(jié)果。因此，平差問題存在的前提是多余觀測。習題與解析4.01 誤差發(fā)現(xiàn)的必要條件是什么?4.02 試確定圖4-1所示的圖形中條件方程的個數(shù)。4.03 試按條件平差法列出圖4-2所示圖形的函數(shù)模型。4.04 試按條件平差法列出圖4-3所示圖形的函數(shù)模型。4.05 試按間接平差法列出圖4-4所示圖形的函數(shù)模型。4.06 試按間接平差法列出圖4-5所示圖形的函數(shù)模型。4.07 在下列非線性方程中，A、B為已知值，為觀測值，寫出其線性化的形式。(1)；(2)；(3) ；(4) 4.08 試將非線性方程線性化(式中、為已知值，、為參數(shù)真值，且，；、為觀測值真值，且)。4.09 觀測值的真值是不可求的，通常用什么量來估計真值?4.10 指出下面所列方程屬于基本平差方法中的哪一類函數(shù)模型，并說明每個方程中的、等量各為多少。(式中A、B為已知值)(a) (b) (c) (d)4.11 在圖4-6的水準網(wǎng)中，A為已知點，B、C、D、E為待定點，觀測了9條路線的高差，試問該模型可列出多少個條件方程?4.12 在圖4-6的水準網(wǎng)中，列出下列四種情況的函數(shù)模型，并指出方程的個數(shù)：(1)選取B、C、D三點的高程平差值為參數(shù)；(2)選取的高差平差值為參數(shù)；(3)選取的平差值為參數(shù)；(4)選取B、E兩點間的高差為參數(shù)。答案4.01 【解析】進行多余觀測。4.02 【解析】（a）r=5 (b)r=7 (c)r=11 (d)r=34.03 【解析】(a) r=2: (b) r=3 : 4.04 【解析】(a)r=2： (b)r=4: 4.05 【解析】c=3 4.06 【解析】 4.07 【解析】 4.08 【解析】 4.09 【解析】觀測值的平差值；4.10 【解析】(a)附有參數(shù)的條件平差方程 n=7，t=3，r=4，u=1，c=r ，u=5 (b)間接平差的觀測值方程 n=5，t=3，r=2，u=3，c=5，s=0(c)附有限制條件的觀測值方程和參數(shù)的條件方程n=5，t=2，r=3，u=3，c=6，s=1(d)條件平差的條件方程 n=12，t=7，r=5，u=0，c=5，s=04.11 【解析】本題n=9，t=4。(1)該模型可列5個條件方程。(2)不能采用附有參數(shù)的條件平差函數(shù)模型，因為所選的3個參數(shù)之間不獨立。4.12 【解析】(1)附有參數(shù)的條件平差，c=8。(2)附有限制條件的間接平差，c=10。(3)間接平差，c=9。(4)附有參數(shù)的條件平差，c=6。第五章 條件平差知識點1、條件平差法的概念依據(jù)幾何模型，針對具體的平差問題，確定觀測值個數(shù)n，必要觀測數(shù)t，則多余觀測數(shù)r=n-t，則根據(jù)幾何模型中的幾何關(guān)系，可列出r個函數(shù)式，即為條件平差的函數(shù)模型。然后將其轉(zhuǎn)化為改正數(shù)的形式，按求自由極值的方法，解出使VTPV=min的n個改正數(shù)V，進而求得觀測值的平差值。2、公式匯編條件方程：或 ， 式中改正數(shù)方程： ， 條件平差的基礎(chǔ)方程法方程： ， 式中 平差值：單位權(quán)中誤差（單位權(quán)方差的估值）：，的計算公式：（1）；（2）；（3）；平差值函數(shù)的權(quán)導數(shù)計算公式 （1）；（2）；3、按條件平差求平差值的計算步驟：（1）確定n、t，則r=n-t；（2）列出r個獨立的條件方程：即先列出平差值條件方程，再轉(zhuǎn)化為改正數(shù)形式，最后矩陣形式；（3）確定權(quán)陣；（4）依據(jù)以下公式計算，；（5）檢核；（6）精度評定。4、必要觀測數(shù)t的確定方法（1）教材上的傳統(tǒng)方法；（2）見附錄。5、條件平差的解算體系，；習題與解析5.01 條件平差中求解的未知量是什么?能否由條件方程直接求得?5.02 設(shè)某一平差問題的觀測個數(shù)為，必要觀測數(shù)為，若按條件平差法進行平差，其條件方程、法方程及改正數(shù)方程的個數(shù)各為多少?5.03 試用符號寫出按條件平差法平差時，單一附合水準路線中(如圖5-1所示)各觀測值平差值的表達式。5.04 在圖5-2中，已知A、B的高程為HA=12.123m，HB=11.123m，觀測高差和線路長度為：S1=2km，S2=lkm，S3=0.5km，h1=2.003m，h2=1.500m，h3=0.501m，求改正數(shù)條件方程和各段高差的平差值。5.05 在圖5-3的水準網(wǎng)中，A為已知點，B、C、D為待定點，已知點高程HA=10.000m，觀測了5條路線的高差：，各觀測路線長度相等，試求：(1)改正數(shù)條件方程；(2)各段高差改正數(shù)及平差值。5.06 有水準網(wǎng)如圖5-4所示，其中A、B、C三點高程未知，現(xiàn)在其間進行了水準測量，測得高差及水準路線長度為 。試按條件平差法求各高差的平差值。5.07 如圖5-5所示，；，；，。 (1)列出改正數(shù)條件方程；(2)試用條件平差法求C的平差值(注：C是指內(nèi)角)。5.08 對某一平差問題，其條件方程的個數(shù)和形式是否惟一?5.09 列立條件方程時要注意哪些問題? 5.10 指出圖5-6中各水準網(wǎng)條件方程的個數(shù)(水準網(wǎng)中表示待定高程點，表示觀測高差)。5.11 指出圖5-7中各測角網(wǎng)按條件平差時條件方程的總數(shù)及各類條件的個數(shù)(圖中為待定坐標點)。圖5-75.12 指出圖5-8中各測角網(wǎng)按條件平差時條件方程的總數(shù)及各類條件的個數(shù)(圖中為待定坐標點，為已知邊，為已知方位角)。5.13 試指出圖5-9中各圖形按條件平差時條件方程的總數(shù)及各類條件的個數(shù)(圖中為待定坐標點，為角度觀測值，為邊長觀測值，為已知邊長，為已知方位角)。5.14 如圖5-10所示的三角網(wǎng)中，A、B為已知點，為待定點，為已知方位角，為已知邊長，觀測了23個內(nèi)角，試指出按條件平差時條件方程的總數(shù)及各類條件的個數(shù)。5.15 試按條件平差法列出圖5-1l所示的水準網(wǎng)的全部條件方程(為待定點，為觀測高差)。5.16 在圖5-12所示的GPS基線向量網(wǎng)中，用GPS接收機同步觀測了網(wǎng)中5條邊的基線向量(X12、Y12Z12)、(X13Y13Z13)、(X14Y14Z14)、(Z23Y23Z23)、(X34Y34Z34)，試按條件平差法列出全部條件方程。5.17 圖5-13中，A、B為已知點，P1、P2、P3為待定坐標點，觀測了11個角度，試列出全部平差值條件方程。5.18 圖5-14中，A、B為已知坐標點，P1、P2、P3為待定點，觀測了12個角度和2條邊長S1、S2，試列出全部平差值條件方程。 5.19 有如圖5-15所示的三角網(wǎng)，B、C為已知點，觀測角，用文字符號列出全部條件式。5.20 如圖5-16所示的三角網(wǎng)中，A、B為已知點，F(xiàn)G為已知邊長，觀測角，觀測邊，則(1)在對該網(wǎng)平差時，共有幾種條件?每種條件各有幾個?(2)用文字符號列出全部條件式(非線性不必線性化)。5.21 如圖5-17所示，A、B為已知點，CP為已知方位角，試列出全部條件方程。5.22 如圖5-18所示的三角網(wǎng)中，指出條件方程的總數(shù)和各類條件方程式的個數(shù)，并用平差值列出所有非線性條件方程。5.23 如圖5-19所示的三角網(wǎng)中，用文字符號列出全部條件式。5.24 如圖5-20所示的測角網(wǎng)中，A、B為已知點，P1、P2、P3為待定點，觀測了11個角度，試列出全部改正數(shù)條件方程。5.25 如圖5-21所示的測角網(wǎng)中，A、B為已知點，P1、P2、P3為待定點，觀測了13個角度和l條邊長S，試列出全部改正數(shù)條件方程。5.26 有水準網(wǎng)如圖5-22所示，試列出該網(wǎng)的改正數(shù)條件方程。已知數(shù)據(jù)：HA=31.100m，HB=34.165m；，S1=lkm；，S2=2km；，S3=2km；，S4=1km；，S5=2km；，S6=2km；，S7=2.5km；，S8=2.5km。5.27 圖5-23中，A、B為已知坐標點，P為待定點，觀測了邊長S和方位角、試列出全部改正數(shù)條件方程。5.28 在圖5-24中，已知A、B兩點的坐標，、為待定點，同精度測得各角值如下所示：角號觀測值角號觀測值角號觀測值1415428433432577608372484333546471835045496615652試按條件平差法列出改正數(shù)條件方程。5.29 為量測一房屋面積(如圖5-25所示)，測該房屋四角得四個角上的坐標觀測值，：X/cmY/cm15690.5054817.29325689.0414824.94135682.3124823.21045683.1404815.730試求平差后各坐標的平差值。5.30 如圖5-26所示，在數(shù)字化地圖上進行一條道路兩邊(平行)的數(shù)字化，每邊各數(shù)字化了2個點，試按條件平差寫出其條件方程。5.31 在條件平差中，能否根據(jù)已列出的法方程計算單位權(quán)方差?5.32 條件平差中的精度評定主要是解決哪些方面的問題?5.33 在圖5-27的ABC中，按同精度測得L1、L2及L3，試求：(1)平差后A角的權(quán)；(2)在求平差后A角的權(quán)時，若設(shè)或，最后求得的與是否相等?為什么?(3)求A角平差前的權(quán)與平差后的權(quán)之比；(4)求平差后三角形內(nèi)角和的權(quán)倒數(shù)；(5)平差后三內(nèi)角之和的權(quán)倒數(shù)等于零，這是為什么?5.34 在圖5-28中，同精度測得，。試求平差后AOB的權(quán)。5.35 如圖5-29所示的水準網(wǎng)中，測得各點間高差為， ， ，S1=1km，S2=1km，S2=1km，S3=1km，S4=1km，S5=1km。設(shè)C=1，試求：(1)平差后A、B兩點間高差的權(quán)；(2)平差后A、C兩點間高差的權(quán)。5.36 有水準網(wǎng)如圖5-30所示，測得各點間高差為，已算得水準網(wǎng)平差后高差的協(xié)因數(shù)陣為：試求：(1)待定點B、C、D、E平差后高程的權(quán)；(2)C、D兩點間高差平差值的權(quán)。5.37 如圖5-3l所示的三角網(wǎng)中，A、B為已知點，C、D、E、F為待定點，同精度觀測了15個內(nèi)角，試寫出： (1)圖中CD邊長的權(quán)函數(shù)式；(2)平差后的權(quán)函數(shù)式。5.38 有大地四邊形如圖5-32所示，A、C為已知點，B、D為待定點，同精度觀測了8個角度，各觀測值為：，試列出平差后BD邊的權(quán)函數(shù)式。5.39 如圖5-33所示，試按條件平差法求證：在單一水準路線中平差后高程最弱點在水準路線中央。5.40 在進行水準網(wǎng)平差時，當網(wǎng)形及觀測路線或方案確定后，能否在觀測前估計出網(wǎng)中的精度最弱點?5.41 如圖5-34所示的水準網(wǎng)中，A、B、C為已知點，HA=12.000m，HB=12.500m，Hc=14.000m；高差觀測值h1=2.500m，h2=2.000m，h3=1.352m，h4=1.851m；Sl=l km，S2=1km，S3=2km，S4=lkm，試按條件平差法求高差的平差值及P2點的精度。5.42 有水準網(wǎng)如圖5-35所示，A、B、C、D均為待定點，獨立同精度觀測了6條路線的高差：， ， ， ，試按條件平差法求各高差的平差值。5.43 在水準網(wǎng)(如圖5-36所示)中，觀測高差及路線長度見下表：序號觀測高差/m路線長/km10.3561.015.0001.020.3602.014.5012.04.6511.05.8561.010.5002.0已知點A、B的高程為試用條件平差法求：(1)各高差的平差值；(2)平差后P1到P2點間高差的中誤差。5.44 水準網(wǎng)(如圖5-37所示)的觀測高差及水準路線長度見下表：49觀測值號觀測高差/m路線長/km189.4043.1736.9779.3376.60759.7547.5766.2273.52816.1187.27435.1274.08212.186.2619.3 試按條件平差法求：(1)各高差的平差值；(2)A點到E點平差后高差的中誤差；(3)E點到C點平差后高差的中誤差。5.45 有三角形如圖5-38所示，L1L4為獨立同精度角度觀測值，試按條件平差法導出L3的平差值。5.46 如圖5-39所示，一矩形兩邊的獨立同精度觀測值cm，已知矩形的對角線為13.5cm(無誤差)，求平差后矩形的面積及精度。5.47 在圖5-40所示的直角三角形ABC中，為確定C點坐標觀測了邊長S1、S2和角度，得觀測值列于下表，試按條件平差法求：(1)觀測值的平差值；(2)C點坐標的估值。觀測值中誤差45000010S1215.465m2cmS2152.311m3cm5.48 在圖5-41所示的三角形ABC中，測得下列觀測值：設(shè)測角中誤差為10，邊長觀測值的中誤差為2.0cm。(1)試按條件平差法列出條件方程；(2)試計算觀測角度和邊長的平差值。5.49 有獨立邊角網(wǎng)如圖5-42所示，邊長觀測值為S1S5，角度觀測值為，其觀測數(shù)據(jù)見下表：邊長觀測值/m角度角度觀測值 S12 107.828159 16 06S23 024.716244 07 56S32 751.089336 47 50S44 278.366458 40 26S53 499.112已知，S，若按條件平差法平差(1)列出全部條件方程式；(2)求出觀測值的改正數(shù)及平差值。5.50 有平面直角三角形ABC如圖5-43所示，測出邊長S1、S2和角度，其觀測值及其中誤差為：。(1)試按條件平差列出條件方程式；(2)求出觀測值的平差值及其協(xié)因數(shù)陣與協(xié)方差陣。5.51 在圖5-44中，B點和C點的位置已知為固定值(見下表)，測得下列獨立觀測值：點號X/mY/mB1 000.0001 000.000C714.7541 380.328，。(1)試按條件平差求各觀測值的平差值；(2)試求A點坐標的最小二乘估值及其協(xié)方差陣。5.52 在單一附合導線(如圖5-45所示)上觀測了4個左角和3條邊長，B、C為已知點，P1、P2為待定導線點，已知起算數(shù)據(jù)為：。觀測值為：角號觀測角 邊號邊長/m1230 32 37S1204.9522180 00 42S2200.1303170 39 22S3345.1534236 48 37觀測值的測角中誤差，邊長中誤差。試按條件平差法：(1)列出條件方程式；(2)組成法方程；(3)求聯(lián)系數(shù)K及改正數(shù)V、平差值。5.53 圖5-46中，A、B、C、D為已知點，P1P3為待定導線點，觀測了5個左角和4條邊長，已知點數(shù)據(jù)為：X/mY/mA599.951224.856B704.816141.165C747.166572.726D889.339622.134觀測值為：i觀測角 Si觀測邊長/m174 10 301143.8252279 05 122124.777367 55 293188.9504276 10 114117.338580 23 46觀測值的測角中誤差，邊長中誤差，(以m為單位)。試按條件平差法：(1)列出條件方程；(2)寫出法方程；(3)求出聯(lián)系數(shù)K、觀測值改正數(shù)V及平差值。5.54 有閉合導線如圖5-47所示，觀測4條邊長和5個左轉(zhuǎn)折角，已知測角中誤差，邊長中誤差按計算(以km為單位)，起算數(shù)據(jù)為：觀測值如下：角號觀測角值 邊號觀測邊長/m192 49 431805.1912316 43 582269.4863205 08 163272.7184235 44 384441.5965229 33 06試按條件平差：(1)列條件方程；(2)求改正數(shù)V和平差值L；(3)求導線點2，3，4的坐標平差值及點位精度。5.55 圖5-48為一閉合導線，A、B為已知點，為待定導線點，已知點數(shù)據(jù)為：X/mY/mA803.632471.894B923.622450.719觀測了7個角和6條邊長，觀測值為：觀測角 觀測邊長/m1230 28 50199.4322109 50 402107.9383132 18 503119.8754124 02 354121.9705110 57 515153.739699 49 566139.4527272 31 11觀測值的測角中誤差，邊長中誤差，（以m為單位）。試按條件平差法：（1）列出條件方程；（2）寫出法方程；（3）求出聯(lián)系數(shù)K、觀測值改正數(shù)V及平差值L。5.56 有閉合導線如圖5-49所示，觀測8條邊長和9個左轉(zhuǎn)折角。已知測角中誤差，邊長中誤差，已知起算數(shù)據(jù)為：。觀測值如下：角號觀測角值 邊號邊長觀測值S/m126 35 541250.8722193 25 582259.4543269 15 243355.8864138 32 084318.6585287 36 285258.7766214 07 466269.4847205 08 287272.7198235 44 328441.5989229 33 09試按條件平差：（1）列條件方程：（2）求改正數(shù)V和平差值；（3）求各導線點的坐標平差值，及點位精度。5.57 如圖5-51所示，對一直角房屋進行了數(shù)字化，其坐標觀測值見下表，試按條件平差法求平差后各坐標的平差值和點位精度。點號坐標123456X/m4 579.3934 577.9294 569.5584 570.2454 571.2004 572.028Y/m2 595.1822 602.8302 602.8302 597.1682 597.3742 593.6195.58 有一GPS網(wǎng)如圖5-52所示，1點為已知點，2、3、4點為待定坐標點，現(xiàn)有GPS接收機觀測了5條邊的基線向量（）。已知1點的坐標為：，?；€向量觀測值及其協(xié)因數(shù)為：編號起點終點基線向量觀測值/m基線協(xié)因數(shù)陣 85.481 3 -59.593 1 120.195 10.009 997 -0.003 934對 0.024 978稱-0.002 8340.008 6150.007 9062 398.067 4 -719.805 1 2 624.229 20.009 822 -0.003 794對 0.024 366 稱-0.002 7770.008 4240.007 8012 312.596 0 -660.201 2 2 504.033 40.009 375 -0.004 329對 0.022 359稱-0.002 7830.008 1240.007 655-254.961 6 14.926 0 -238.314 20.011 691 -0.000 438對 0.034 529稱-0.002 5280.009 4060.007 855設(shè)各基線向量互相獨立，試用條件平差法求：（1）條件方程；（2）法方程；（3）基線向量改正數(shù)及其平差值。答案5.01 【解析】條件平差中求解的未知量是觀測值的平差值或改正數(shù)；不能。5.02 【解析】條件方程個數(shù)為n-t，法方程個數(shù)為n-t，改正數(shù)方程個數(shù)為n-t。5.03 【解析】n=3，t=2，r=1式中：5.04 【解析】可按照“利用條件平差進行問題解算的步驟”來進行。（1）確定：n=3,t=2,r=1；（2）列出r=1個條件方程條件方程的平差值形式 將代入上式，并代入數(shù)據(jù)，整理可得條件方程的改正數(shù)形式 矩陣形式 （3）確定權(quán)陣，以2km長的水準路線的觀測高差為單位權(quán)觀測，則（4）計算以下矩陣， 所以（5）檢核：；5.05 【解析】 ，則將（）代入上式，整理可得，矩陣形式又權(quán)陣 ，所以，；5.06 【解析】n=3,t=2,r=15.07 【解析】n=3，t=2，r=1 (1)V1 V2 V3-42=0 (2)C的平差值：5814215.08 【解析】條件方程的個數(shù)唯一，形式不一定唯一。5.09 【解析】要滿足三個條件：（1）個數(shù)足夠；（2）相互獨立；（3）形式最簡單。5.10 【解析】 (a)n=6，t=3，r=3(b)n=6，t=3，r=3(c)n=14，t=6，r=85.11 【解析】 (a)n=13，t=6，r=7 共有7個條件方程，其中有5個圖形條件，2個極條件。 (b)n=14，t=8，r=6. 共有6個條件方程，其中有3個圖形條件，3個極條件。 (c)n=16，t=8，r=8 共有8個條件方程，其中有6個圖形條件，2個極條件。 (d)n=12，t=6，r=6 共有6個條件方程，其中有4個圖形條件，1個圓周條件，1個極條件。5.12 【解析】(a)n=21，t=9，r=12 共有12個條件方程，其中有7個圖形條件，1個圓周條件，3個極條件，1個方位角條件。 (b)n=16，t=8，r=8 共有8個條件方程，其中有6個圖形條件，2個極條件。 (c)n=13，t=5，r=8 共有8個條件方程，其中有5個圖形條件，2個極條件，1個方位角條件。 (d)n=12，t=6，r=6 . 共有6個條件方程，其中有1個圖形條件，1個圓周條件，2個極條件，2個坐標條件。5.13 【解析】 (a)n=5，t=3，r=2 共有2個條件方程，其中有1個邊長圖形條件，一個固定角條件。 (b)凡=21，t=9，r=12 共有12個條件方程，其中有7個圖形條件，3個極條件，2個邊長條件。 (c)n=ll，t=8，r=3 共有3個條件方程，其中有1個方位角條件，2個坐標條件。 (d)n=24，t=14，r=10 共有10個條件方程，其中有3個方位角條件，6個坐標條件，1個圓周條件。5.14 【解析】n=23，t=6，r=17 共有17個條件方程，其中有9個圖形條件，1個圓周條件，1個固定角條件，1 個固定邊條件，5個極條件。5.15 【解析】 (a)n=6，t=3，r=3 (b)n=8,t=3,r=5(c)n=16,t=5,r=115.16 【解析】n=15,t=33,r=65.17 【解析】n=11，t=6，r=5共有5個條件方程，其中有4個圖形條件：1個極條件(以P2點為極)：5.18 【解析】n=14，t=6，r=8共有7個條件方程，其中有3個圖形條件：3個極條件：大地四邊形AP2P3B以B點為極：大地四邊形AP1P2B以P1點為極：大地四邊形p1P2P3B以P1點為極：2個邊長條件：5.19 【解析】n=10,t=6,r=4v1v5v8L1L5L8-180=0v1v6v7L1L6L7-180=0-v2-v3v7v8L7L8-L2-L3-180=0(以D點為極)5.20 【解析】(1)n=22，t=10-1=9，r=13；圖形條件7個，圓周條件1個，極條件2個，邊長條件2個，基線條件1個。(2). 5.21 【解析】n=5，t=2，r=3v1v2v3L1L2L3-180=0v3-v4v5L3-L4L5=0v2v4BA L2L4-CP n180=05.22 【解析】n=13，t=6，r=7；圖形條件4個，極條件1個，固定角條件1個，固定邊條件1個。 5.23 【解析】n=16，t=8，r=8；5個圖形條件，1個圓周條件，2個極條件。v1v2v13L1L2L13-180=0v3v8v14L3L8L14-180=0v4v5v6v7L4L5L6L7-180=0v9v10v15L9L10L15-180=0v11v12v16L11L12L16-180=0v13v14v15v16L13L14L15L16-360=0線性化的條件方程為：5.24 【解析】n=11,t=6,r=5,有4個圖形條件，1個極條件。V1V9V10V11W1=0V2V3V8W2=0V4V5V6V7W3=0V6V7V8V9V10W4=0其中：W1=L1L9L10L11-180W2=L2L3L8-180W3=L4L5L6L7-180W4=L6L7L8L9L10-1805.25 【解析】n=13,t=6,r=7,5個圖形條件，2個極條件，1個邊長條件。V1V2V3V13W1=0V4V5V6V7V12W2=0V1V7V12V13W3=0V4V10V11V12W4=0V8V9V10V11W5=0其中：W1=L1L2L3L13-180W2=L4L5L6L7L12-180W3=L1L7L12L13-180W4=L4L10L11L12-180W5=L8L9L10L11-1805.26 【解析】n=8,t=4,r=4,有多種條件方程的列法，其中之一為：注：常數(shù)項單位為mm5.27 【解析】n=4,t=2,r=2設(shè)、的改正數(shù)為V1、V2、V3，S的改正數(shù)為VS。其中：，；5.28 【解析】n=7,t=4,r=3V1V6V7-3=0V2V3V4V55=0-1.125V1-0.011V2-0.817V31.498V40.339V50.872V62=05.29 【解析】本題中n=8，t=6，r=2.（1）列條件方程。平差值條件方程為其改正數(shù)條件方程為（2）權(quán)的確定。取各觀測坐標為等權(quán)觀測值，權(quán)均為1，各觀測坐標間兩兩獨立，協(xié)因數(shù)陣為單位陣，即（單位陣）條件方程系數(shù)陣為組成法方程為（3）解算法方程，得（4）計算改正數(shù)，利用改正數(shù)方程求得（5）計算平差值，并代入平差值條件式檢核。 經(jīng)檢驗滿足所有條件方程。5.30 【解析】直接給出結(jié)果5.31 【解析】可以。因為。5.32 【解析】平差值函數(shù)的精度等問題。5.33 【解析】（1）；（2）是，證明過程如下：可得，由于同精度觀測，則觀測值的協(xié)因數(shù)陣為，所以；（3）設(shè)平差前A角的權(quán)為，平差后為，（4）5.34 【解析】n=3，t=2，r=1，則改正數(shù)形式又權(quán)逆陣，函數(shù)，所以，所以 ， 。5.35 【解析】（1）P= （2）P=15.36 【解析】（1）PB=1.6，PC=2.1，PD=2.1，PE=1.6（2）PhCD=1.85.37 【解析】由題意，根據(jù)幾何關(guān)系即可列出如下：（1）；全微分，則；（2）對于，全微分，則。5.38 【解析】由題意，則全微分 ；5.39 【解析】只需證明平差后高程的中誤差在路線中央時最大即可。5.40 【解析】能。根據(jù)水準路線的長度即可確定出。5.41 【解析】5.42 【解析】 5.43 【解析】（1）=10.3556m =15.0028m=20.3556m =14.5008m=4.6472m =5.8548m=10.5020m(2) 5.44 【解析】(1)各高差的平差值為：=189.4006m =273.5108m=736.9806m =187.2495m=376.6501m =274.0693m=547.5801m =86.2612mm（2）5.45 【解析】n=4，t=2，r=2，則化成改正數(shù)形式，則系數(shù)矩陣和閉合差矩陣，又同精度觀測，則權(quán)陣，則，所以；5.46 【解析】，。5.47 【解析】該題中含有兩種類型的觀測值，因此，代表了一個類型。（1）由題意，n=3，t=2，r=1，則線性化，可得代入數(shù)據(jù)（長度以cm為單位），即為系數(shù)矩陣和閉合差：，cm，（2）權(quán)的確定， 權(quán)逆陣為（3）依次計算各矩陣0.11545598759630，-39.63640253982617，（4），；（5）；（6） 檢核！【備注】（1）該題在進行檢核時，必須需要小數(shù)點后有足夠的精度才行。（2）該題在進行解算時，看一下所給出的中誤差是什么單位，在解題過程中可以化成該單位，如題目中為cm。5.48 【解析】 n=5，t=3，r=2，則（1）條件方程為：代入數(shù)據(jù)，化成改正數(shù)形式 則相應(yīng)的矩陣，又權(quán) ，權(quán)逆陣（2）解算，所以觀測值的平差值為：，；5.49 【解析】該題也是一個邊角網(wǎng)，n=9，t=5，r=4，則（1）共有4個條件方程式：正弦條件：正弦條件：余弦條件：余弦條件：線性化為：（2）觀測值的改正數(shù)及平差值為：5.50 【解析】由題意，則條件方程為：線性條件為：觀測值的平差值為：平差值的協(xié)因數(shù)陣與協(xié)方差陣分別為：；5.51 【解析】（1）；（2）， ， ；5.52 【解析】條件方程系數(shù)陣：1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.00003.6203 2.6347 1.6723 0.0000 0.1269 0.1272 -0.03560.1900 0.0638 -0.0595 0.0000 -0.9919 -0.9919 -0.9994條件方程常數(shù)項陣-14.00-30.47-14.12法方程系數(shù)陣4.0000 7.9272 0.1943 7.9272 22.9141 0.36860.194 3 0.368 6 7.476 3法方程常數(shù)項陣：-14.00-30.47-14.12觀測值改正數(shù)(角)：-4.38 -3.78 -3.19 -2.66觀測值改正數(shù)(邊mm)：3.56 3.48 6.26觀測值平差值(角)：2303233180003817039192364834觀測值平差值(邊m)：204.956 200.133 345.1595.53 【解析】條件方程系數(shù)陣：1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000-1.6866 -1.2808 -0.8506 -0.498 7 0.0000 0.8133 -0.7030 0.923 3 -0.481 20.7138 0.1467 0.5720 -0.273 7 0.0000 0.581 9 0.7112 0.3842 0.8766條件方程常數(shù)項陣：-12.9021.169.8l法方程系數(shù)陣：5.0000 -4.316 7 1.158 8-4.316 7 8.907 6 -1.509 91.158 8 -1.509 9 3.231 8法方程常數(shù)項陣：-12.9021.169.8l觀測值改正數(shù)(角)2.27 3.98 0.94 4.10 1.60觀測值改正數(shù)(邊mm)：-6.77 -2.09 -7.62-3.51觀測值平差值(角)：74.103 23 279.051 6067.552 99 276.101 51 80.234 76觀測值平差值(邊m)：143.818 124.775 188.942 117.3345.54 【解析】(1)條件方程 =0 （a） (b) (c)(2)改正數(shù)： 平差值： 導線點的坐標平差值：=1684.140m, =5621.517m, =12.2mm, =12.2mm=1701.201m, =5352.573m, =7.2mm, =11.8mm=1832.471m, =5113.524m, =9.1mm, =9.1mm5.55 【解析】條件方程系數(shù)陣：1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.00000.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.3129 -0.0537 0.5134 0.943 6 0.6600 0.0000 -0.7607-0.868 8 -0.218 7 0.686 l 0.924 8 -0.216 9-0.0001 0.366 6 0.821 3 0.948 4 0.542 6 -0.146 7 0.0000-0.649 1 0.495 2 0.975 8 0.727 5 -0.3805 -0.976 2條件方程常數(shù)項陣：-7.00-12.89-8.00法方程系數(shù)陣：7.0000 1.7504 2.532 21.7504 4.052 8 0.836 32.532 2 0.836 3 4.8173法方程常數(shù)項陣：-7.00-12.89-8.00觀測值改正數(shù)