(1)彈性波的基本理論

第一節(jié)彈性介質(zhì)與地震波一 彈性介質(zhì)地震勘探的地球物理前提是地層間的彈性差異 地震勘探中將地層叫做介質(zhì) 因此需要研究地層介質(zhì)的彈性性質(zhì) 第一章地震勘探的理論基礎(chǔ) 巖層受外力產(chǎn)生形變 將巖層隨外力消失而恢復(fù)原形的形變稱為彈性形變 產(chǎn)生彈性形變的介質(zhì)叫彈性介質(zhì) 在彈性介質(zhì)內(nèi)傳播的地震波稱地震彈性波 研究地震彈性波可用彈性波理論 如虎克定律等 可以對介質(zhì)進(jìn)行分類如下 一 各向同性介質(zhì)和各向異性介質(zhì)對某一特定巖層 如果沿不同方向測定的物理性質(zhì)均相同 稱各向同性介質(zhì) 否則是各向異性介質(zhì) 二 均勻介質(zhì) 層狀介質(zhì)若介質(zhì)的彈性性質(zhì)不僅與測定方向無關(guān) 而且與坐標(biāo)位置無關(guān) 就稱為均勻各向同性介質(zhì) 如速度v c 常數(shù) 非均勻介質(zhì)中 介質(zhì)的性質(zhì)表現(xiàn)出成層性 稱這種介質(zhì)為層狀介質(zhì) 其中每一層是均勻介質(zhì) 不同介質(zhì)層的分界處稱界面 平面或曲面 兩個(gè)界面之間的間隔稱為該層的厚度 界面 h厚度 界面 將速度v是空間連續(xù)變化函數(shù)的介質(zhì)定義為連續(xù)介質(zhì) 連續(xù)介質(zhì)是層狀介質(zhì)的一種極限情況 即當(dāng)層狀介質(zhì)的層數(shù)無限增加 每層的厚度h無限減小 層狀介質(zhì)就過渡為連續(xù)介質(zhì) 如v v0 1 z 叫線性連續(xù)介質(zhì) V0是表層介質(zhì)的速度 z是深度 是速度隨深度的變化率 三 連續(xù)介質(zhì) 一 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力 彈性體受力后產(chǎn)生的恢復(fù)原來形狀的內(nèi)力稱內(nèi)應(yīng)力 簡稱為應(yīng)力 應(yīng)力和外力相抗衡 阻止彈性體的形變 二 應(yīng)力應(yīng)變與彈性參數(shù) 對于一個(gè)均勻各向同性的彈性圓柱體 設(shè)作用于s面上的法向應(yīng)力為N 若力f在s面上均勻分布 則應(yīng)力pn定義為Pn f s 1 1 1 若外力f非均勻分布 則可以取一小面元 S 作用于小面元上的外力為 f 則應(yīng)力定義為 因此應(yīng)力的數(shù)學(xué)定義為 單位橫截面上所產(chǎn)生的內(nèi)聚力稱為應(yīng)力 根據(jù)力的分解定理 可以將力分解成垂直于單元面積的應(yīng)力 法向應(yīng)力 相切于單元面積的應(yīng)力 切向應(yīng)力 剪切應(yīng)力 應(yīng)力與應(yīng)變 正應(yīng)力 x y z使介質(zhì)產(chǎn)生縱波 切應(yīng)力 xy xz yz ij使介質(zhì)產(chǎn)生橫波 下腳標(biāo)i表示應(yīng)力方向 j表示應(yīng)力作用于垂直于j軸的平面 物理定義 彈性體受應(yīng)力作用 產(chǎn)生的體積和形狀的變化稱為應(yīng)變 只發(fā)生體積變化而形狀不變的應(yīng)變稱正應(yīng)變 反之 只發(fā)生形狀變化的應(yīng)變稱為切應(yīng)變 數(shù)學(xué)定義 彈性理論中 將單位長度所產(chǎn)生的形變稱應(yīng)變 2 應(yīng)變 例如 柱體原長為L 長度的變化量位 L 則應(yīng)變等于 L L3 應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變成正比關(guān)系的物體叫完全彈性體 虎克定律表示了應(yīng)力與應(yīng)變之間的線性關(guān)系 對于一維彈性體 虎克定律為F kx對于三維彈性體 用廣義虎克定律表示應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系 二 彈性模量 彈性參數(shù) 1 楊氏彈性模量 E E表示膨脹或壓縮情況下應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系 所以又叫壓縮模量 數(shù)學(xué)定義 物體受脹縮力時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變之比 設(shè)沿x方向受應(yīng)力為f s 產(chǎn)生的應(yīng)變?yōu)?L L 則楊氏彈性模量物理定義 楊氏彈性模量表示固體對所受作用力的阻力的度量 固體介質(zhì)對拉伸力的阻力越大 則楊氏彈性模量越大 物體越不易變形 反過來說 堅(jiān)硬的不易變形的物體 楊氏彈性模量大 在拉伸變形中 物體的伸長總是伴隨著垂直方向的收縮 所以把介質(zhì)橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變之比稱泊松比 2 泊松比 式中加負(fù)號表示縱向拉長總是伴隨著橫向縮短 為使泊松比為正 要加負(fù)號 顯然泊松比是表示物體變形性質(zhì)的一個(gè)參數(shù) 如果介質(zhì)堅(jiān)硬 在同樣作用力下 橫向應(yīng)變小 泊松比就小 可小到0 05 而對于軟的未膠結(jié)的土或流體 泊松比可高達(dá)0 45 0 5 一般巖石的泊松比為0 25左右 設(shè)一物體 受到靜水柱壓力p的作用 產(chǎn)生體積形變 v v 其中v是物體的原體積 v是體積變化量 但形狀未發(fā)生變化 則這種情況下的應(yīng)力與應(yīng)變的比稱為體變模量 3 體變模量 指物體受剪切應(yīng)力作用 并發(fā)生形狀變化時(shí) 應(yīng)力與應(yīng)變之比 如圖所示 受剪切力為 xy 切變角為 則剪切模量為 xy 4 剪切模量 彈性模量 是阻止剪切應(yīng)變的度量 液體的 0 因此沒有抗剪切能力 液體內(nèi)也不會產(chǎn)生橫波 彈性模量之間的關(guān)系式 三 波動方程 是地震波傳播規(guī)律的方程 在不同的介質(zhì)模型中 地震波傳播有不同的規(guī)律 各種不同的傳播規(guī)律需用不同的傳播方程描述 均勻 各向同性 理想彈性介質(zhì)是一種最簡單的介質(zhì)模型 根據(jù)固體彈性動力學(xué)理論 地震波在均勻 各向同性 理想彈性介質(zhì)中傳播滿足以下偏微分方程 該式稱為矢量彈性波方程 式中矢量U表示介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)受外力 F 作用后的位移 稱為位移矢量 U U u v w u v w分別為三個(gè)坐標(biāo)軸的位移分量 矢量F表示對介質(zhì)的外力 稱為力矢量 在彈性波方程中 外力F 爆炸力或錘擊 既包含脹縮力 正壓力 也包含旋轉(zhuǎn)力 剪切力 位移U也包含體變和形變兩部分 對 1 1 7 式兩邊取散度 div 即對介質(zhì)只施加脹縮力 可得縱波滿足的方程 同樣 若對 1 1 7 式兩邊取旋度 即只對介質(zhì)施加旋轉(zhuǎn)力 可得橫波滿足的方程 令 1 1 10 rotF代表旋轉(zhuǎn)力 該式描述了在只有旋轉(zhuǎn)力作用時(shí) 彈性介質(zhì)只產(chǎn)生與形變 有關(guān)的擾動 1 1 9 式為用位移表示的橫波波動方程 式中vs為橫波傳播速度 為使縱 橫波方程簡單化 在場滿足一定的物理?xiàng)l件下 可進(jìn)一步用標(biāo)量位函數(shù)表達(dá)縱 橫波方程 位函數(shù)表示的縱 橫波波動方程 式 1 1 12 1 1 13 是標(biāo)量位函數(shù)表示的三分量標(biāo)量波動方程 1 1 12 式是縱波標(biāo)量波動方程 在波傳播方程中 當(dāng)速度vp vs分別為