初二數學培優(yōu)第4講--角平分線、垂直平分線

第4講 角平分線、垂直平分線本講知識歸納1(1)線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等； (2)與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上2三角形三條邊的垂直平分線交于一點（稱為三角形的外心），這點到三角形三頂點的距離相等基礎回顧例1 已知，如圖，AD是ABC的角平分線，DEAB于E，DFAC于F，P是AD上任一點求證：PE=PF 例2 如圖，在平面直角坐標系中，AF、BE為角平分線，MNAF交y軸于N點 (1)求AME； (2)求證：AM=MN； (3)連FG，問FG與AB的位置關系并證明， 練習1如圖，AD為ABC,的高，B=2C求證：CD=AB+BD.2如圖，A（-1，0），B（0，），AB0=30，OAB的角平分線與OB的垂直平分線相交于P點 (1)求P點的坐標； (2)作ABO的平分線交AP于M，判斷PBM的形狀方法運用例3 如圖，AOB= 30，點P是AOB內一點，P0=8，在AOB的兩邊上分別有點R、Q(均不同于O).(1)求PQR周長的最小值；(2)當PQR周長取最小值時，求QPR的值分析：由對稱變換作出符合要求的點Q與R，根據對稱的性質，結合已知條件求出PQR的周長與QPR的值例4 如圖，已知直線MN與MN異側兩點A、B，在MN上求作一點P，使PA-PB最大，并說明理由. 練習3已知，如圖，ABC是等腰直角三角形，ACB= 90D是BC上一點，CD=2，BD=BE，DBE=90，連接CE，交AB于M，且CE=6在AB上找一點P，使PCD周長最小，并求出這個最小值4如圖，長方形臺球桌ABCD上，一球從AB邊上某處P點出發(fā)，分別撞擊球桌的邊BC、CD、DA各一次后，又回到出發(fā)點P處，每次球撞擊桌邊時，撞擊前后的路線與桌邊所成的角相等(如圖中=).已知AB=3，BC=4，求此球所走路線的總長度.問題探究例5 如圖，在平面直角坐標系中，點B的坐標是（-1，0），點C的坐標是(1，0)，點D為y軸上一點，點A為第二象限內一動點，且BAC=2BDO，過D作DMAC于M(1)求證：ABD=ACD；(2)若點E在BA延長線上，求證：AD平分CAE；(3)當A點運動時，的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值，若變化，請說明理由例6 已知等腰ABC和等腰ADE的頂點公共，B、A、E在同一條直線上，BAC=DAE，PB=PD,PC=PE (1)如圖1，若BAC=90，則BPC+DPE= ； (2)如圖2，若BAC=，則BPC+DPE= ； (3)在圖1的基礎上將等腰RtABC繞點A旋轉一個角度，得到圖3，則BPC+DPE= _ ；并證明你的結論. 圖1 圖2 圖3練習5如圖，P為ABC的BC邊垂直平分線上的一點，且PBC=A,BP、CP的延長線分別交AC、AB于D、E求證：BE=CD.6已知：ACB為等腰直角三角形，點P在BC上，以AP為邊長作正方形APEF. (1)如圖，當點P在BC上時，求EBP； (2)如圖，當點P在BC的延長線上時，求EBP.圖 圖7如圖，A（-4，O），B(O，4)，AEBE，OAE=22.5 (1)求證：BD=2AE； (2)若AP0=45，問PA與PB有何位置關系圖 圖8如圖，ACO為等腰直角三角形 (1)如圖，C(-1，3)，求A點坐標； (2)如圖，過A點作AEA