第五章：測(cè)量誤差的基本知識(shí)

第五章測(cè)量誤差的基本知識(shí),重點(diǎn)：測(cè)量誤差的來源、分類及處理方法學(xué)習(xí)誤差的目的和意義掌握偶然誤差的特性掌握評(píng)定測(cè)量精度的方法掌握觀測(cè)值得中誤差和誤差傳播定律的計(jì)算方法和應(yīng)用等精度觀測(cè)和非等精度觀測(cè)的精度評(píng)定方法,第一節(jié)測(cè)量誤差概述,2、誤差的表達(dá)式：lX,1、誤差的概念：觀測(cè)量之間的差值或觀測(cè)值與真值之間的差值，稱為測(cè)量誤差,3、測(cè)量誤差的基本特性：測(cè)量誤差不可避免,一、測(cè)量誤差的來源,1測(cè)量?jī)x器和工具,2觀測(cè)者,3外界條件的影響,由于儀器和工具加工制造不完善或校正之后殘余誤差存在所引起的誤差。,由于觀測(cè)者感覺器官鑒別能力的局限性所引起的誤差。,外界條件的變化所引起的誤差（溫度、風(fēng)力、日光、大氣折光）。,幾個(gè)概念：,1、觀測(cè)條件：,人、儀器和外界條件，通常稱為觀測(cè)條件。,2、等精度觀測(cè)：,觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)，稱為等精度觀測(cè)；,3、非等精度觀測(cè)：,觀測(cè)條件不相同的各次觀測(cè)，稱為非等精度觀測(cè)。,研究測(cè)量誤差的目的和意義,確定未知量的最可靠值及其精度制定觀測(cè)方案、采取措施盡力減少測(cè)量誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響,二、測(cè)量誤差的分類,粗差,偶然誤差,系統(tǒng)誤差,1、粗差,粗差是測(cè)量中的錯(cuò)誤。粗差在觀測(cè)結(jié)果中是不允許出現(xiàn)的，為了杜絕粗差，除認(rèn)真仔細(xì)作業(yè)外，還必須采取必要的檢核措施。,幾個(gè)概念：,測(cè)定未知量的最少觀測(cè)次數(shù)；如測(cè)量三角形內(nèi)角必要觀測(cè)為2,必要觀測(cè),多余觀測(cè),多余必要掛側(cè)的觀測(cè)；如測(cè)量三角形內(nèi)角觀測(cè)3個(gè)角度，多余觀測(cè)為1,多余觀測(cè)的作用,1）、構(gòu)成檢核條件，發(fā)現(xiàn)粗差2）、評(píng)定測(cè)量精度（用多余觀測(cè)差值的大?。?）發(fā)笑超限誤差,2系統(tǒng)誤差,1）概念：在相同觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列觀測(cè)，如果誤差出現(xiàn)的符號(hào)和大小均相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。,2）性質(zhì)：系統(tǒng)誤差在測(cè)量成果中具有累積性，對(duì)測(cè)量成果影響較大，但它的符號(hào)和大小又具有一定的規(guī)律性，一般可采用下列方法消除或減弱其影響。,3）系統(tǒng)誤差的處理辦法進(jìn)行計(jì)算改正選擇適當(dāng)?shù)挠^測(cè)方法,案例：鋼尺量距，用沒有鑒定、名義長(zhǎng)為30m、實(shí)際長(zhǎng)為30.005m的鋼尺量距，每丈量一整尺段距離就量短了0.005m，產(chǎn)生-0.005m的量距誤差。各整尺段的量距誤差大小都是0.005m，符號(hào)都是負(fù)，不能抵消，具有累積性。系統(tǒng)誤差對(duì)觀測(cè)值的影響具有一定的規(guī)律性，找到規(guī)律就可對(duì)觀測(cè)值施加改正以消除或削弱系統(tǒng)誤差的影響。,3偶然誤差,在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果觀測(cè)誤差的符號(hào)和大小都不一致，表面上沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為偶然誤差。具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律,三、偶然誤差的特性,偶然誤差從表面上看沒有任何規(guī)律性，但是隨著對(duì)同一量觀測(cè)次數(shù)的增加，大量的偶然誤差就表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，觀測(cè)次數(shù)越多，這種規(guī)律性越明顯。,例如，對(duì)三角形的三個(gè)內(nèi)角進(jìn)行測(cè)量，由于觀測(cè)值含有偶然誤差，三角形各內(nèi)角之和l不等于其真值180。用X表示真值，則l與X的差值稱為真誤差（即偶然誤差），即,現(xiàn)在相同的觀測(cè)條件下觀測(cè)了217個(gè)三角形，計(jì)算出217個(gè)內(nèi)角和觀測(cè)值的真誤差。再按絕對(duì)值大小，分區(qū)間統(tǒng)計(jì)相應(yīng)的誤差個(gè)數(shù)，列入表中。,偶然誤差的統(tǒng)計(jì),*,*,偶然誤差的誤差分布圖,當(dāng)誤差數(shù)n，誤差區(qū)間d0，,（1）絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差個(gè)數(shù)多；,（2）絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差的個(gè)數(shù)大致相等；,（3）最大誤差不超過27。,*,*,偶然誤差的四個(gè)特性：,（1）在一定觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值有一定的限值，或者說，超出該限值的誤差出現(xiàn)的概率為零；,（2）絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的概率大；,（3）絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同；,（4）同一量的等精度觀測(cè)，其偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測(cè)次數(shù)n的無限增大而趨于零，即,式中偶然誤差的代數(shù)和，,*,*,*,第二節(jié)衡量精度的標(biāo)準(zhǔn),在測(cè)量工作中，常采用以下幾種標(biāo)準(zhǔn)評(píng)定測(cè)量成果的精度。,中誤差,相對(duì)中誤差,極限誤差,*,偶然誤差分布的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),一：標(biāo)準(zhǔn)差與中誤差對(duì)真值X進(jìn)行了n次等精度獨(dú)立觀測(cè)，觀測(cè)值l1，l2，ln真誤差1，2，n(=L-X),觀測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)差,n有限時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差,m中誤差(meansquareerror)，用m表示。,式中真誤差的平方和，,例5-1設(shè)有甲、乙兩組觀測(cè)值，各組均為等精度觀測(cè)，它們的真誤差分別為：,甲組：,乙組：,試計(jì)算甲、乙兩組各自的觀測(cè)精度。,解:,比較m甲和m乙可知，甲組的觀測(cè)精度比乙組高。,中誤差所代表的是某一組觀測(cè)值的精度。,不同中誤差的正態(tài)分布曲線,二、相對(duì)中誤差,相對(duì)中誤差是中誤差的絕對(duì)值與相應(yīng)觀測(cè)結(jié)果之比，并化為分子為1的分?jǐn)?shù)，即,例丈量?jī)啥尉嚯x，D1=100m，m1=1cm和D2=30m，m2=1cm，試計(jì)算兩段距離的相對(duì)中誤差。,解,三、極限誤差,1、極限誤差的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：用某一事件發(fā)生的概率定義,為任一正實(shí)數(shù)，事件,發(fā)生的概念為,真誤差絕對(duì)值大于1倍m的占1-0.683=31.7%真誤差絕對(duì)值大于1倍m的占1-0.954=4.6%真誤差絕對(duì)值大于1倍m的占1-0.997=0.3%小概率事件不會(huì)發(fā)生,結(jié)論,在一定觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不應(yīng)超過的限值，稱為極限誤差，也稱限差或容許誤差。,或,如果某個(gè)觀測(cè)值的偶然誤差超過了容許誤差，就可以認(rèn)為該觀測(cè)值含有粗差，應(yīng)舍去不用或返工重測(cè)。,2、極限誤差的概及表達(dá)方式,3、超過極限誤差的處理方式,第三節(jié)觀測(cè)值的算術(shù)平均值,一、算術(shù)平均值,1、定義：在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行多次重復(fù)觀測(cè)，根據(jù)偶然誤差特性，可取其算術(shù)平均值作為最終觀測(cè)結(jié)果。,2、表達(dá)形式：設(shè)對(duì)某量進(jìn)行了n次等精度觀測(cè)，觀測(cè)值分別為，l1,l2,ln，其算術(shù)平均值為：,3、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：設(shè)觀測(cè)量的真值為X，觀測(cè)值為li，則觀測(cè)值的真誤差為：,將上式內(nèi)各式兩邊相加，并除以n，得,根據(jù)偶然誤差的特性，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n無限增大時(shí)，則有,結(jié)論：算術(shù)平均值較觀測(cè)值更接近于真值。將最接近于真值的算術(shù)平均值稱為最或然值或最可靠值。,二、觀測(cè)值改正數(shù),1、定義：觀測(cè)量的算術(shù)平均值與觀測(cè)值之差，稱為觀測(cè)值改正數(shù)，用v表示。,2、觀測(cè)知該正式的表達(dá)：當(dāng)觀測(cè)次數(shù)為n時(shí)，有,將上式內(nèi)各式兩邊相加，得,將,代入上式，得,3、結(jié)論：對(duì)于等精度觀測(cè)，觀測(cè)值改正數(shù)的總和為零。,三、由觀測(cè)值改正數(shù)計(jì)算觀測(cè)值中誤差,1、計(jì)算公式,2、數(shù)學(xué)基礎(chǔ),-,=,將下式兩邊平方后取和,四、算術(shù)平均值的中誤差,例5-2某一段距離共丈量了六次，結(jié)果如表下所示，求算術(shù)平均值、觀測(cè)中誤差、算術(shù)平均值的中誤差及相對(duì)誤差。,148.643,148.590,148.610,148.624,148.654,148.647,148.628,-15,+38,+18,+4,-26,-19,225,1444,324,16,676,361,3046,5.2誤差傳播定律,重點(diǎn)：誤差傳播的概念與誤差傳播定律一般函數(shù)的中誤差的計(jì)算方法線性函數(shù)的中誤差的計(jì)算方法誤差傳播定律的應(yīng)用,1、定義：由獨(dú)立觀測(cè)值得中誤差求確定其函數(shù)得中誤差的過程,、數(shù)學(xué)描述,一：一般函數(shù)誤差傳播定律,、數(shù)學(xué)推導(dǎo),對(duì)函數(shù)進(jìn)行全微分,對(duì)未知量進(jìn)行次觀測(cè)，將會(huì)產(chǎn)生個(gè)函數(shù)誤差,將等號(hào)兩邊取平方，再相加,兩端除以,根據(jù)偶然誤差的特性,則,根據(jù)中誤差的定義,為有限次觀測(cè)，則傷式，可以寫為,二：線性函數(shù)的中誤差,一般線性函數(shù)k11k22knn誤差公式,解A、B、C滿足如下關(guān)系C=180AB上式dCdAdB由式（5-9）可知，f11，f21，代入式（5-11）得：即=25c5本例題由于是線性函數(shù)，也可直接套用（5-14）式求得結(jié)果。注意，線性函數(shù)中不管是“和”函數(shù)還是“差”函數(shù)，函數(shù)中誤差都是求平方和之后再開方。在某三角形ABC中，直接觀測(cè)A和B角，其中誤差分別是3，和4，試求中誤差。,三：誤差傳播定律的應(yīng)用,為了求某圓柱體體積，今測(cè)得圓周長(zhǎng)、高及其中誤差分別為：周長(zhǎng)C2.1050.002米，高H1.8230.003米，試求圓柱體體積V及其中誤差。解圓柱體體積公式：,將觀測(cè)數(shù)據(jù)代入上式得V=0.643m3=0.0016m3即V=0.6430.0016m3,為了求某圓柱體體積，今測(cè)得圓周長(zhǎng)、高及其中誤差分別為：周長(zhǎng)C2.1050.002米，高H1.8230.003米，試求圓柱體體積V及其中誤差。解圓柱體體積公式：將上式取對(duì)數(shù)微分得則將觀測(cè)數(shù)據(jù)代入上式得V=0.643m3=0.0016m3即V=0.6430.0016m3,5.4非等精度直接觀測(cè)值的最可靠值及其中誤差,權(quán)的概念權(quán)與中誤差的關(guān)系定權(quán)的方法加權(quán)平均值及其中誤差,權(quán)的概念,未知量非等精度觀測(cè)較可靠的觀測(cè)值，對(duì)最后測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生較大的影響較可靠的觀測(cè)值、或精度高的觀測(cè)值，應(yīng)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生較大的影響，它所占的“權(quán)重”應(yīng)大一些權(quán)與中誤差具有密切關(guān)系,權(quán)與中誤差的關(guān)系,權(quán)p與中誤差m關(guān)系權(quán)為單位權(quán)中誤差稱為單位權(quán)中誤差,定權(quán)的方法,未知量進(jìn)行了兩組非等精度觀測(cè)，但每組內(nèi)各觀測(cè)值精度相等最后結(jié)果實(shí)際值,則觀測(cè)值L1，L2的中誤差分別為M1，M2，權(quán)為：,例：按等精度丈量了三條邊，得試求這三條邊的權(quán)。解因?yàn)榈染扔^測(cè)，即每公里的丈量精度相同，按式（5-16），三條邊的中誤差分別為：則它們的權(quán)為：式中為任意常數(shù)。由上式可知，在等精度丈量時(shí)，邊長(zhǎng)的權(quán)與邊長(zhǎng)成反若C=1則若C=4則,加權(quán)平均值及其中誤差,觀