高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要性

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要性梅廠中學(xué)艾宴會(huì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要性摘要：一直以來，函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等四大數(shù)學(xué)思想，是貫穿高中數(shù)學(xué)始終的重要思想，多年來的高考試題中，也把這些思想體現(xiàn)的淋漓盡致。四種方法在高中教材的地位不分伯仲，這里，只和大家一起分享個(gè)人對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的學(xué)習(xí)和感受。數(shù)形結(jié)合思想方法，在解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題時(shí)，更能體現(xiàn)出神奇的數(shù)學(xué)之美以及思維的靈活之美，往往起到事半功倍的效果。也正因?yàn)槲覀€(gè)人對(duì)此思想的“迷戀”，在教學(xué)中加強(qiáng)滲透數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的意識(shí)更加自然。同時(shí)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)與解題能力的任務(wù)，也在潛移默化中得以完成。關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 數(shù)形結(jié)合 數(shù)學(xué)思想 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一、個(gè)人對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解眾所周知，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說過：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。這種上升為藝術(shù)層面的、對(duì)數(shù)形結(jié)合的詮釋已經(jīng)完美的無可挑剔。但是，我還是按捺不住個(gè)人對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的情愫，數(shù)形結(jié)合的主旨思想是實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”之間的矛盾統(tǒng)一，使其一一對(duì)應(yīng)，并且相輔相成，相依為命。數(shù)學(xué)的強(qiáng)大之處在于，用簡(jiǎn)單的字符、字母、數(shù)字或者式子，把冗長(zhǎng)的文字簡(jiǎn)化的呈現(xiàn)在讀者面前，數(shù)形結(jié)合思想，又實(shí)現(xiàn)了直觀圖形與抽象數(shù)字的完美結(jié)合，就像畫家的畫筆與詩(shī)人的墨筆和諧相遇。簡(jiǎn)而言之，數(shù)形結(jié)合就是以數(shù)解形、以形助數(shù)的數(shù)學(xué)思想方法，通過抽象思維和形象思維的“聯(lián)手”優(yōu)化解題途徑。用這種思想來解決數(shù)學(xué)問題，可以使抽象的問題具體化、復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，既能發(fā)揮代數(shù)的優(yōu)勢(shì)，又能充分利用圖形的直觀性，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)問題多元化的探索，同時(shí)對(duì)思維能力的發(fā)展大有稗益。數(shù)形結(jié)合的思想是貫穿于數(shù)學(xué)發(fā)展歷史長(zhǎng)河中的一條主線，主要用于思路分析、化簡(jiǎn)運(yùn)算及推理的過程，以求快速準(zhǔn)確地分析問題、解決問題，使數(shù)學(xué)在科學(xué)實(shí)踐和生活實(shí)踐中的應(yīng)用顯得更加廣泛和深入。二、直覺思維對(duì)數(shù)形結(jié)合的影響記憶中，大學(xué)的心理課程里有“直覺思維”這個(gè)概念，我又重新查找了它的完整定義：所謂直覺思維就是人腦對(duì)于突然出現(xiàn)在面前的事物、現(xiàn)象、問題及其關(guān)系的一種迅速識(shí)別，敏銳而深入的洞察，直接的本質(zhì)理解和綜合的整體判斷。直覺思維貫穿于日常生活學(xué)習(xí)中,具有迅捷性、直接性、本能意識(shí)等特點(diǎn)。然而，這種思維也可以通過后天努力填補(bǔ)空缺。由于我們傳統(tǒng)意識(shí)的影響，生活中的性別比例逐漸有所失調(diào)，男孩多于女孩。然而，男女生的天性差別和優(yōu)勝劣汰的生存法則，從某個(gè)層面決定了不同年齡階段性別的分布。比如高中學(xué)生中，男女生人數(shù)旗鼓相當(dāng)，但是，優(yōu)生中男生占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)。這種現(xiàn)象的形成，很大一部分原因和直覺思維有關(guān)。男生天生整體思維突出，善于辨別和判斷，具有較強(qiáng)的空間想象能力，有較強(qiáng)的“形”的感知力。隨著年級(jí)的上升，數(shù)學(xué)知識(shí)日漸深化，難度逐步提高，要求學(xué)生有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)能力，男生的這種先天優(yōu)勢(shì)得以施展。特別是數(shù)形結(jié)合思想的學(xué)習(xí)和運(yùn)用，男生比女生應(yīng)用的更靈活一些，這是因?yàn)槟猩闹庇X思維遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過女生。我們做題的過程是先讀題、審題，然后對(duì)已知和所求進(jìn)行匯總，通過直覺思維對(duì)解題方法做出初步判斷是否應(yīng)用數(shù)形結(jié)合。因此，直覺思維的活躍度，與數(shù)形結(jié)合思想方法的掌握度幾乎是成正比的。也正因?yàn)檫@樣，高中數(shù)學(xué)課程中滲透數(shù)形結(jié)合思想顯得尤為重要，讓天生占優(yōu)勢(shì)的男生把這種思想應(yīng)用到爐火純青的地步，不占優(yōu)勢(shì)的女生也能通過后天的努力嫻熟掌握這種思想，最后在高考中跟時(shí)間賽跑取得勝利。三、高中函數(shù)題目數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)現(xiàn)行的數(shù)學(xué)課改教材，在內(nèi)容上的變化特點(diǎn)明顯，適合學(xué)生的認(rèn)知水平和接受能力，適應(yīng)人類新型知識(shí)體系的構(gòu)建和形成，使數(shù)學(xué)本身的應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和智力價(jià)值充分彰顯出來，確立了它在學(xué)校課程中的重要地位。課程內(nèi)容強(qiáng)調(diào)“學(xué)生為主體教師為主導(dǎo)”的數(shù)學(xué)活動(dòng),發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)感、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念以及應(yīng)用意識(shí)和能力，為大學(xué)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用非常廣泛集合運(yùn)算與維恩圖，解不等式或者求參數(shù)，函數(shù)及其圖像，解析幾何，向量等等。然而，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和核心，也是高考考查的重點(diǎn)，學(xué)生對(duì)基本函數(shù)的掌握已經(jīng)有十一種之多，每個(gè)函數(shù)的表達(dá)式及其性質(zhì)都是結(jié)合其圖像掌握記憶的。學(xué)生們還把這些函數(shù)圖象與生活中的一些常見身體姿勢(shì)相聯(lián)系，并用漫畫和文字順口溜的形式表述出來，便于記憶。高中教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，首要任務(wù)之一就是采用歸納和提煉的方法，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，充分挖掘教材中的數(shù)形結(jié)合思想，使這種深層的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，在平時(shí)的應(yīng)用中循序漸進(jìn)、由淺入深，尋找到解題思路后，把問題化繁為簡(jiǎn)、化難為易，達(dá)到自覺、自由的熟練運(yùn)用。例1. 已知函數(shù)，若為方程的根，且，則的值（ ）(A)恒為正 (B)等于零 (C)恒為負(fù) (D)不小于零【思路點(diǎn)撥】畫出函數(shù)和的圖像，由圖即得?！揪v精析】判斷值的正負(fù)，即比較函數(shù)和在處值的正負(fù)，由圖可得。101【答案】C【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生轉(zhuǎn)化化歸思想，以及對(duì)函數(shù)圖像的靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題目。例2. 若是方程的根，則屬于區(qū)間（ ）(A) (B) (C)(D) 【思路點(diǎn)撥】應(yīng)用零點(diǎn)存在定理，或者利用數(shù)形結(jié)合畫圖分析。【精講精析】利用冪指數(shù)比較大小，確定區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)，應(yīng)用零點(diǎn)存在定理，即函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，且滿足 ，則在區(qū)間存在零點(diǎn)?；蛘弋嫵龊偷膱D像即可。如下圖：01【答案】C【點(diǎn)評(píng)】本題考查冪指函數(shù)的基本知識(shí)和圖像的掌握，利用數(shù)形結(jié)合，既直觀又便捷。屬于基礎(chǔ)題目。例3(2012天津高考理科14)已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ?！舅悸伏c(diǎn)撥】化簡(jiǎn)函數(shù)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求得k的范圍?！揪v精析】根據(jù)絕對(duì)值的意義，在直角坐標(biāo)系中作出該函數(shù)的圖象如圖所示。10-1-2-2函數(shù)的圖象直線恒過定點(diǎn)，且，由圖象可 【答案】 【點(diǎn)評(píng)】本題是基本的絕對(duì)值、一次函數(shù)、函數(shù)與方程知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，是典型的數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用求參數(shù)范圍的題目。主要考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和應(yīng)用能力，畫圖過程中必須注意到端點(diǎn)的虛實(shí)。屬于中等難度題目。例4. (2013天津高考理科T7)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4【思路點(diǎn)撥】先利用零點(diǎn)的四種等價(jià)說法把題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用數(shù)形結(jié)合的方法求解，圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為零點(diǎn)的個(gè)數(shù)?！揪v精析】函數(shù)的零點(diǎn)即的解,即的解,作出函數(shù)和函數(shù)的圖象, 0由圖象可知,兩函數(shù)共有兩個(gè)交點(diǎn),故函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)?！敬鸢浮緽【點(diǎn)評(píng)】本題是綜合零點(diǎn)的等價(jià)轉(zhuǎn)化、指對(duì)函數(shù)基本圖像、圖像變換等知識(shí)，考查學(xué)生綜合解決問題的能力。屬于中等難度題目。例5.已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù)，若方程，在區(qū)間上有四個(gè)不同的根x1,x2,x3,x4,則x1+x2+x3+x4=()A.-12B.-8C.-4D.4【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，作出其在上的圖象,數(shù)形結(jié)合求解?！揪v精析】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，滿足，所以，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱且，由知，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)。又因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上也是增函數(shù)，在區(qū)間上的大致圖象如圖所示，那么方程在區(qū)間上有四個(gè)不同的根x1、x2、x3、x4，不妨設(shè)x1x2x3x4，由對(duì)稱性知即，同理：，所以。-8-4480【答案】B【點(diǎn)評(píng)】本題是函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，要求學(xué)生在熟練掌握性質(zhì)的基礎(chǔ)上，靈活應(yīng)用性質(zhì)解決函數(shù)問題,屬于中等偏難題目。例6. (2011天津高考理科T8)對(duì)實(shí)數(shù)和，定義運(yùn)算“”： 設(shè)函數(shù)若函數(shù)的圖像與軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A B C D【思路點(diǎn)撥】本題需要先利用函數(shù)零點(diǎn)的四個(gè)轉(zhuǎn)化，把問題轉(zhuǎn)化成圖像交點(diǎn)問題，同時(shí)還要求學(xué)生對(duì)新概念的理解正確，然后利用數(shù)形結(jié)合思想解決?！揪v精析】,函數(shù),xyy=由圖可知，當(dāng)，函數(shù)與的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)， c的取值范圍是。【答案】B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中等偏難題目。四、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的原則及注意事項(xiàng)通過數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化解決數(shù)學(xué)問題，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，通常和以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；（2）函數(shù)與圖象一一對(duì)應(yīng)；（3）曲線與方程一一對(duì)應(yīng)；（4）以幾何元素及其背景建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；（5）所給表達(dá)式的結(jié)構(gòu)有明顯的幾何意義。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想時(shí)，應(yīng)本著以下三個(gè)原則：等價(jià)性原則圖形有局限性，不能完整體現(xiàn)數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性，只是一種淺顯、直觀的表現(xiàn)，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化必須是等價(jià)的，否則會(huì)出差錯(cuò)；雙向性原則代數(shù)抽象探索與幾何直觀分析務(wù)必同步進(jìn)行，缺少任何一方都如同單腳走路，萬分艱難；簡(jiǎn)單性原則明確解題思路后，通過比較代數(shù)方法與幾何方法，篩選哪種方法更簡(jiǎn)單，或者數(shù)與形兩者兼用。一旦確定運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題，要注意三點(diǎn)：徹底弄清楚相關(guān)概念和運(yùn)算的幾何意義，以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)題目中條件與結(jié)論的幾何意義和代數(shù)意義一同分析；“形”中覓“數(shù)”、“數(shù)”上構(gòu)“形”，建立兩者關(guān)系，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，正確確定參數(shù)的取值范圍。幾何圖形反映數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系決定幾何圖形是數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)，進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化的目的是為了把形的生動(dòng)性和直觀性，與數(shù)的規(guī)范性和嚴(yán)密性相結(jié)合，使抽象問題迎刃而解。五、教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的收獲所謂的“數(shù)形結(jié)合”，就是數(shù)學(xué)問題中已知和所求的 “橋”，為兩者提供內(nèi)在聯(lián)系的依據(jù)，通過分析題目中的代數(shù)意義，揭示其幾何的直觀意義。因此，數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)方法的有效運(yùn)用，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著非常奇妙的作用。下面就和大家一起分享一下，我的學(xué)生在運(yùn)用此種方法中所得到的驚喜和收獲，也許不是最好的方法，但卻是相對(duì)簡(jiǎn)便且容易理解的方法。例.（期中考試T19）已知函數(shù),且在區(qū)間上的最大值為0。(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明?！揪v精析】(1)顯然，在上恒成立，且能取到等號(hào)在上恒成立，且能取到等號(hào) 在上單調(diào)遞增 (2)方法一：來源于參考答案，且函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減 存在唯一使 又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 注意到，在上有唯一零點(diǎn)，即函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)?！军c(diǎn)評(píng)】導(dǎo)數(shù)問題是課改以來高考大題的必考題型，當(dāng)導(dǎo)數(shù)等于零的方程不能求根時(shí)，就把導(dǎo)函數(shù)看成一個(gè)新的函數(shù)，繼續(xù)求導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的正負(fù)。此方法是此類問題的通法，但是學(xué)生掌握起來較為困難。方法二：來源于我的學(xué)生考試過程中做出的答案由(1)知,要求 在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，只需求正弦函數(shù)與反比例函數(shù)圖像在區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如下圖。函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)。y= 01yxy=sinx方法三：來源于我的學(xué)生考試過程中做出的答案,由得即下面