《直角三角形的判定》例題與講解

1.2直角三角形的判定1勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理的內(nèi)容：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形(2)勾股定理的逆定理的釋疑：不少的同學(xué)對(duì)知道三角形三邊滿足a2b2c2能得到直角三角形這樣的一種結(jié)論持有懷疑的態(tài)度，其實(shí)通過(guò)三角形的全等可以很簡(jiǎn)單地證明出來(lái)比如：如果在ABC中，ABc，BCa，CAb，并且滿足a2b2c2 (如圖所示)，那么C90.作A1B1C1，使C190，B1C1a，C1A1b，則A1Ba2b2.a2b2c2，A1B1c(A1B10)在ABC和A1B1C1中，BCaB1C1，CAbC1A1，ABcA1B1，ABCA1B1C1.CC190.辨誤區(qū) 勾股定理的逆定理的條件(1)不能說(shuō)成在直角三角形中，因?yàn)檫€沒(méi)有確定直角三角形，當(dāng)然也不能說(shuō)“斜邊”和“直角邊”(2)當(dāng)滿足a2b2c2時(shí)，c是斜邊，C是直角利用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形的思路是：先確定最長(zhǎng)邊，算出最長(zhǎng)邊的平方及另兩邊的平方和，如果最長(zhǎng)邊的平方與另兩邊的平方和相等，則此三角形為直角三角形對(duì)??！到目前為止判定直角三角形的方法有：說(shuō)明三角形中有一個(gè)直角；說(shuō)明三角形中有兩邊互相垂直；勾股定理的逆定理.【例1】 如圖所示，C90，AC3，BC4，AD12，BD13，問(wèn)：ADAB嗎？試說(shuō)明理由解：ADAB.理由：根據(jù)勾股定理得AB5.在ABD中，AB2AD252122169，BD2132169，所以AB2AD2BD2.由勾股定理的逆定理知ABD為直角三角形，且BAD90.故ADAB.2勾股定理的逆定理與勾股定理的關(guān)系勾股定理是通過(guò)“形”的狀態(tài)來(lái)反映“數(shù)”的關(guān)系的，而勾股定理的逆定理是通過(guò)“數(shù)”的關(guān)系來(lái)反映“形”的狀態(tài)的(1)勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，二者是互逆的(2)聯(lián)系：兩者都與a2b2c2有關(guān)，兩者所討論的問(wèn)題都是直角三角形問(wèn)題(3)區(qū)別：勾股定理是以“一個(gè)三角形是直角三角形”為條件，進(jìn)而得到這個(gè)直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系“a2b2c2”；勾股定理的逆定理則是以“一個(gè)三角形的三邊滿足a2b2c2”為條件，進(jìn)而得到這個(gè)三角形是“直角三角形”(4)二者關(guān)系可列表如下：定理勾股定理勾股定理的逆定理內(nèi)容如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2b2c2如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形題設(shè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2b2c2結(jié)論a2b2c2三角形是直角三角形用途是直角三角形的一個(gè)性質(zhì)判定直角三角形的一種方法【例2】 如圖，在ABC中，D為BC邊上的點(diǎn)，已知：AB13，AD12，AC15，BD5，求DC.分析：先用勾股定理的逆定理判定形狀，然后用勾股定理求數(shù)據(jù)解：AD2BD212252132AB2，由勾股定理的逆定理知ADB為直角三角形ADBC.在RtADC中，由勾股定理，得DC2AC2AD215212292.DC9.3勾股數(shù)勾股數(shù)：滿足a2b2c2的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)(1)由定義可知，一組數(shù)是勾股數(shù)必須滿足兩個(gè)條件：滿足a2b2c2；都是正整數(shù)兩者缺一不可(2)將一組勾股數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)所得的數(shù)仍滿足a2b2c2(但不一定是勾股數(shù))，以它們?yōu)檫呴L(zhǎng)的三角形是直角三角形，比如以0.3 cm,0.4 cm,0.5 cm為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形【例3】 7,24,25；8,15,19；0.6,0.8,1.0；3n,4n,5n(n1，且為自然數(shù))上面各組數(shù)中，勾股數(shù)有_組()A1 B2 C3 D4解析：72242252，且7,24,25都是正整數(shù)，7,24,25是勾股數(shù)82152192，8,15,19不是勾股數(shù)0.6,0.8,1.0不是正整數(shù)，0.6，0.8，1.0不是勾股數(shù)(3n)2(4n)225n2(5n)2 (n1，且為自然數(shù))，且它們都是正整數(shù)，3n,4n,5n(n1，且為自然數(shù))是勾股數(shù).答案：B析規(guī)律 勾股數(shù)的判斷方法判斷勾股數(shù)要看兩個(gè)條件，一看能否滿足a2b2c2，二看是否都是正整數(shù)這兩者缺一不可4勾股定理的逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理在解決實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，可以用它來(lái)判定是不是直角家里建房時(shí)，常需要在現(xiàn)場(chǎng)畫(huà)出直角，在沒(méi)有測(cè)量角的儀器的情況下，工人師傅常常利用勾股定理的逆定理作出直角【例4】 如圖是一農(nóng)民建房時(shí)挖地基的平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長(zhǎng)方形，他在挖完后測(cè)量了一下，發(fā)現(xiàn)ABDC8 m，ADBC6 m，AC9 m，請(qǐng)你幫他看一下，挖的地基是否合格？分析：本題是數(shù)學(xué)問(wèn)題在生活中的實(shí)際應(yīng)用，所以我們要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決，運(yùn)用直角三角形的判定條件，來(lái)判斷它是否為直角三角形解：AD2DC26282100，AC29281，AD2DC2AC2.ADC不是直角三角形，ADC90.又按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長(zhǎng)方形，四個(gè)角應(yīng)為直角，該農(nóng)民挖的地基不合格5利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判定三角形的形狀在由一個(gè)等式求三角形的三邊長(zhǎng)時(shí)，往往先把等式化為a2b2c20的形式，再由a0，b0，c0，求得三角形三邊之長(zhǎng)，利用計(jì)算來(lái)判斷ABC是否是直角三角形談重點(diǎn) 判定三角形的形狀由條件等式來(lái)判斷三角形的形狀，就是將已知的條件等式變形，再根據(jù)它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，得出a，b，c的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀【例5】 如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2b2c233810a24b26c，試說(shuō)明這個(gè)三角形是直角三角形分析：本題需要將已知等式進(jìn)行變形，配成完全平方式，求出a，b，c的值，然后再說(shuō)明解：將式子變形，得a2b2c233810a24b26c0，即a210a25b224b144c226c1690.整理，得(a5)2(b12)2(c13)20.因此a50，b120，c130，a5，b12，c13.a2b252122132c2，這個(gè)三角形是直角三角形6勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)用(1)利用勾股定理解決生活中的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化的思想把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(直角三角形)來(lái)解決(2)綜合運(yùn)用勾股定理及其逆定理，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形是常用的數(shù)學(xué)方法，在這里，一方面要熟記常用的勾股數(shù)；另一方面要注意到：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)已知或具有某些比例關(guān)系，那么就可以用勾股定理的逆定理去驗(yàn)證其是否是直角三角形 【例6】 如圖所示，在四邊形ABCD中，AD3 cm，AB4 cm，BAD90，BC12 cm，CD13 cm.求四邊形ABCD的面積分析：根據(jù)AD3 cm，AB4 cm，BAD90，可連接BD構(gòu)成直角三角形，通過(guò)判斷BCD是直角三角形解決