北京大學數(shù)學分析考研試題及解答

判斷無窮積分的收斂性。解 根據(jù)不等式，得到 ， ； 從而 絕對收斂，因而收斂，再根據(jù)是條件收斂的，由，可知積分收斂，且易知是是條件收斂的。 例5.3.39 設，是的實根，求證：，且。證明 （1）任意，當時，有；當且充分大時，有，所以的根存在，又，嚴格遞增，所以根唯一，。（2） 任意，所以的根，（）。因為若時，的根，不趨向于。則存在，使得中含有的一個無窮子列，從而存在收斂子列，（為某有限數(shù)）；，矛盾。例、 設，討論級數(shù)的收斂性。解 顯然當時，級數(shù)發(fā)散；由 ，得，（充分小），于是，（充分大）（1） 當時，收斂，收斂，收斂，絕對收斂；（2） 當時，收斂，收斂，于是收斂，從而收斂，收斂，而發(fā)散，由，得發(fā)散，所以發(fā)散，故此時條件收斂。（3） 當時，發(fā)散，而收斂，此時發(fā)散。 北京大學2007年數(shù)學分析考研試題及解答1、 用有限覆蓋定理證明連續(xù)函數(shù)的介值定理。證明 這里只證明連續(xù)函數(shù)的零點定理，由此即可推證介值定理。命題：若在上連續(xù)，且，那么必然存在一點，滿足。采用反正法，若對于任意點，有，那么顯然對于任意，仍然有。 由于的連續(xù)性，我們對于任意一點，可以找到一個鄰域，使得在中保號，那么區(qū)間被以上形式的，開區(qū)間族所覆蓋，由有限覆蓋定理，可得存在有限個開區(qū)間就能覆蓋閉區(qū)間，再由覆蓋定理的加強形式可得，存在，滿足當，時，存在中的某個開集同時覆蓋。那么我們就證明了當時，有同號； 現(xiàn)取正整數(shù)，滿足，令，那么我們有，與同號，從而證明了與同號，即與同號，這與題目中的矛盾，證明完畢。2、 設在有限區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)，證明：也在內(nèi)一致連續(xù)。證明 首先證明都在上有界，因為在有限區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)，從而存在，滿足當此，時，有 ，現(xiàn)取正整數(shù)，滿足，令，；對任意，存在，使得 ， ，即得在上是有界的； 同理在上也是有界的； 下面證明，若在區(qū)間上有界，且都一致連續(xù)，則在區(qū)間上一致連續(xù)。 設，滿足，;那么由得一致連續(xù)性得到，對于任意，存在，使得當，時，有 ，從而 ，即得在上一致連續(xù)。3、 已知在上有四階導數(shù)，且有，證明：存在，使得。證明 不妨設（這是因為否則可以考慮，而的三、四階導數(shù)與的相同）。從而我們要證明存在，使得。下面分兩種情形來證明之，（1），當，由帶Peano余項的Taylor展開式，我們得到 ，那么在足夠小的鄰域內(nèi)有，取，滿足，不妨設，由于，那么存在，使得，從而取，；當時，同理可得；（2），那么有，可以同樣Taylor展開， ，做法與（1）相同，證畢。4 、構造一個函數(shù)在上無窮次可微，且，并說明滿足條件的函數(shù)有任意多個。解 構造函數(shù)項級數(shù)，顯然此冪級數(shù)的收斂半徑為，從而可以定義函數(shù)： ，容易驗證此函數(shù)滿足：，考慮到函數(shù)，由我們熟知的結(jié)論知，在上無窮次可微，且，對任意在上無窮次可微的函數(shù)，從而也滿足題目要求條件，結(jié)論得證。5 、設，是上的連續(xù)函數(shù)，證明滿足的點有無窮多個。證明 設 ， 。那么我們有， ，下面分兩種情況討論：（1） 若或有一個成立時，當，我們有，從而有，從而為常數(shù)，此時結(jié)論顯然成立；當時，我們有，從而為常數(shù)，此時結(jié)論顯然成立；（2）我們可以選取無窮多條連接和的不相交的連續(xù)曲線，；顯然連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在，使得 ，即，結(jié)論得證。6 、求，其中是，方向向上。解法1 設， ；。解法2 記，利用高斯公式，得。7、 設是上的連續(xù)函數(shù)，試作一無界區(qū)域,使在上的廣義積分收斂。解 首先取，使得，滿足 ；再選取，使得，滿足 ；依次選取，使得，滿足 ，取，是一個無界區(qū)域，可以驗證在上的廣義積分收斂。8、 設，討論不同的對在上積分的斂散性。解 顯然在時，發(fā)散，下面只對時討論。由，當時，收斂，時，發(fā)散，當時，發(fā)散； 時，收斂；當時，收斂；所以（1）當時，由，得絕對收斂；（2） 當時，（充分大）， 收斂，由于發(fā)散，此時，發(fā)散，于是發(fā)散，而，收斂，收斂；故當時，條件收斂；（3）時，（充分大）；由于發(fā)散，于是發(fā)散，而收斂，故此時發(fā)散。9、 記，是否存在以及函數(shù)在上可導，且，。解 設，知級數(shù)在內(nèi)是收斂的，從而在內(nèi)有定義；顯然；由于，都在，（為任意大于0的常數(shù)）內(nèi)都是一致收斂的。所以，從而在的某個鄰域上偏導數(shù)都存在，且是連續(xù)的，又有，到這里我們已經(jīng)驗證了隱函數(shù)定理的三條件：（1），為剛剛解答中的某個鄰域，（2），（3），從而根據(jù)隱函數(shù)定理可知存在這樣的滿足題目中的條件，結(jié)論得證。事實上，顯然，是方程的唯一解。10 、設在上黎曼可積，證明：的傅里葉展開式有相同系數(shù)的充要條件是。證明 在這里我們只證明的情況（對于一般的情況只是區(qū)間的平移和拉伸）。記為的傅里葉系數(shù)；為的傅里葉系數(shù)，先證充