高等數(shù)學(xué)(上冊)教案22 定積分的概念與性質(zhì)

第5章 定積分及其應(yīng)用定積分的概念與性質(zhì) 【教學(xué)目的】：1. 理解曲邊梯形的面積求法的思維方法；2. 理解定積分的概念及其性質(zhì)；3. 掌握定積分的幾何意義 ；【教學(xué)重點】：1. 定積分的概念及其性質(zhì)；【教學(xué)難點】：1. 曲邊梯形面積求法的思維方法；【教學(xué)時數(shù)】：2學(xué)時【教學(xué)過程】：案例研究引例5.1.1 曲邊梯形的面積問題圖5-2所謂曲邊梯形是指由連續(xù)曲線(設(shè))，直線，和(即軸)所圍成的此類型的平面圖形（如圖5-1所示）下面來求該曲邊梯形的面積 圖5-1分析 由于“矩形面積=底高”，而曲邊梯形在底邊上各點處的高在區(qū)間上是變動的，故它的面積不能按矩形面積公式計算.另一方面，由于曲線在上是連續(xù)變化的，所以當(dāng)點在區(qū)間上某處變化很小時，相應(yīng)的也就變化不大.于是，考慮用一組平行于軸的直線把曲邊梯形分割成若干個小曲邊梯形，當(dāng)分割得較細(xì)，每個小曲邊梯形很窄時，其高的變化就很小.這樣，可以在每個小曲邊梯形上作一個與它同底、以底上某點函數(shù)值為高的小矩形，用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，進(jìn)而用所有小曲邊梯形的面積之和近似代替整個曲邊梯形的面積（如圖5-2所示）.顯然，分割越細(xì)，近似程度越高，當(dāng)無限細(xì)分時，所有小矩形面積之和的極限就是曲邊梯形面積的精確值. 根據(jù)以上分析，可按以下四步計算曲邊梯形的面積.（1）分割 在閉區(qū)間上任意插入個分點， ，將閉區(qū)間分成個小區(qū)間 ，它們的長度依次為 ，過每一個分點作平行于軸的直線，把曲邊梯形分成個小曲邊梯形；（2）取近似 在每個小區(qū)間上任取一點，以小區(qū)間為底，為高作小矩形，用小矩形的面積近似代替相應(yīng)的小曲邊梯形的面積，即 ，（3）求和 把這樣得到的個小矩形的面積加起來，得和式，將其作為曲邊梯形面積的近似值，即 ； （4）取極限 當(dāng)分點個數(shù)無限增加，且小區(qū)間長度的最大值（）趨于零時，上述和式的極限值就是曲邊梯形面積的精確值，即 .5.1.1 定積分的定義定義1 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有界，在閉區(qū)間中任意插入個分點 ，將區(qū)間分成個小區(qū)間 ，各小區(qū)間的長度依次為 ，在每個小區(qū)間上任取一點，作函數(shù)值與小區(qū)間長度的乘積，并作和，記， ，當(dāng)無限增大且時，若上述和式的極限存在，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積，并將此極限值稱為函數(shù)在上的定積分，記為 .即 ， 其中稱為積分變量，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式， 稱為積分下限，稱為積分上限，稱為積分區(qū)間，符號讀作函數(shù)從到的定積分.按定積分的定義，兩個引例的結(jié)果可以分別表示為：，關(guān)于定積分的定義作以下幾點說明：（1）和式的極限存在（即函數(shù)在上可積）是指不論對區(qū)間怎樣分法，也不論對點怎樣取法，極限都存在.（2）和式的極限僅與被積函數(shù)的表達(dá)式及積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量使用什么字母無關(guān)，即 .（3）定義中要求積分限，我們補(bǔ)充如下規(guī)定： 當(dāng)時，當(dāng)時，（4）函數(shù)可積的兩個充分條件：若上連續(xù)，則上可積。若上有界，且只有有限個第一類間斷點，則上可積。定積分的幾何意義 當(dāng)時，由前述可知，定積分在幾何上表示由曲線，兩直線與軸所圍成的曲邊梯形的面積；如果，這時曲邊梯形位于軸下方，定積分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負(fù)值，如圖53；圖5-4圖5-3 當(dāng)在上有正有負(fù)時，定積分在幾何上表示軸，曲線及兩直線所圍成的各個曲邊梯形面積的代數(shù)和（見圖54），即 .5.1.2 定積分的性質(zhì)以下性質(zhì)中函數(shù)均為可積函數(shù).性質(zhì)1 函數(shù)和（差）的定積分等于它們定積分的和（差）,即 . 性質(zhì)1可推廣到有限多個函數(shù)代數(shù)和的情形. 性質(zhì)2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到定積分的符號外面， 即，（為常數(shù)）. 性質(zhì)3 如果在區(qū)間上，則 ， 特別地，時，. 性質(zhì)3的幾何意義如圖57所示. 性質(zhì)4（積分區(qū)間的可加性） 如果積分區(qū)間被點分成兩個區(qū)間和,則在整個區(qū)間上的定積分等于這兩個區(qū)間上定積分的和，即 . 注意：無論的相對位置如何，總有上述等式成立。 性質(zhì)5 如果在區(qū)間上，則 . 性質(zhì)6（定積分的單調(diào)性） 如果在區(qū)間上，有, 則 . 例2 比較下列各對積分值的大小（1）與（2）與解 （1）由冪函數(shù)的性質(zhì)，在上，有 由定積分性質(zhì)，得（2）在內(nèi)有，得 性質(zhì)7（估值定理） 如果函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，最小值為，則 . 性質(zhì)7說明，由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值和最小值可以估計積分值的大致范圍.例3 估計定積分的值.解 先求在區(qū)間上的最大值和最小值，為此求得， 令，得駐點，比較駐點處與區(qū)間端點處的函數(shù)值： ， ，得最小值，最大值，再根據(jù)估值定理，得 .性質(zhì)8（積分中值定理） 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則至少存在一點，使得 這個