數(shù)學解析幾何綜合題解題思路案例分析人教

高考數(shù)學解析幾何綜合題解題思路案例分析解析幾何綜合題是高考命題的熱點內(nèi)容之一. 這類試題往往以解析幾何知識為載體，綜合函數(shù)、不等式、三角、數(shù)列等知識，所涉及到的知識點較多，對解題能力考查的層次要求較高，考生在解答時，常常表現(xiàn)為無從下手，或者半途而廢。據(jù)此筆者認為：解決這一類問題的關鍵在于：通觀全局，局部入手，整體思維. 即在掌握通性通法的同時，不應只形成一個一個的解題套路，解題時不加分析，跟著感覺走，做到那兒算那兒. 而應當從宏觀上去把握，從微觀上去突破，在審題和解題思路的整體設計上下功夫，不斷克服解題征途中的道道運算難關.1判別式-解題時時顯神功案例1已知雙曲線，直線過點，斜率為，當時，雙曲線的上支上有且僅有一點B到直線的距離為，試求的值及此時點B的坐標。分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學科，因此，數(shù)形結合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點B作與平行的直線，必與雙曲線C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構造方程的判別式. 由此出發(fā)，可設計如下解題思路：把直線l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式直線l在l的上方且到直線l的距離為解題過程略.分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應當把距離用代數(shù)式表達，即所謂“有且僅有一點B到直線的距離為”，相當于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設計出如下解題思路：轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題求解問題關于x的方程有唯一解簡解：設點為雙曲線C上支上任一點，則點M到直線的距離為： 于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關于的方程.由于，所以，從而有于是關于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等價于.由如上關于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .點評：上述解法緊扣解題目標，不斷進行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.2判別式與韋達定理-二者聯(lián)用顯奇效案例2已知橢圓C:和點P（4，1），過P作直線交橢圓于A、B兩點，在線段AB上取點Q，使，求動點Q的軌跡所在曲線的方程.分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學生往往不知從何入手。其實，應該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設法將點Q的橫、縱坐標用參數(shù)表達，最后通過消參可達到解題的目的.由于點的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率作為參數(shù)，如何將與聯(lián)系起來？一方面利用點Q在直線AB上；另一方面就是運用題目條件：來轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點共線，不難得到，要建立與的關系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達定理利用點Q滿足直線AB的方程：y = k (x4)+1，消去參數(shù)k點Q的軌跡方程在得到之后，如果能夠從整體上把握，認識到：所謂消參，目的不過是得到關于的方程（不含k），則可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。簡解：設，則由可得：，解之得： （1）設直線AB的方程為：，代入橢圓C的方程，消去得出關于 x的一元二次方程： （2） 代入（1），化簡得： (3)與聯(lián)立，消去得：在（2）中，由，解得 ，結合（3）可求得 故知點Q的軌跡方程為： （）.點評：由方程組實施消元，產(chǎn)生一個標準的關于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達定理模塊思維易于想到. 這當中，難點在引出參，活點在應用參，重點在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.3求根公式-呼之欲出亦顯靈案例3設直線過點P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點，試求的取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學不難得到： =，但從此后卻一籌莫展, 問題的根源在于對題目的整體把握不夠. 事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構造所求變量關于某個（或某幾個）參數(shù)的函數(shù)關系式（或方程），這只需利用對應的思想實施；其二則是構造關于所求量的一個不等關系.分析1:從第一條想法入手， =已經(jīng)是一個關系式，但由于有兩個變量，同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個變量直線AB的斜率k. 問題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關于k的表達式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范圍把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程xA= f（k），xB = g（k）得到所求量關于k的函數(shù)關系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍簡解1：當直線垂直于x軸時，可求得;當與x軸不垂直時，設，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得解之得 因為橢圓關于y軸對稱，點P在y軸上，所以只需考慮的情形.當時，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，綜上 .分析2: 如果想構造關于所求量的不等式，則應該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負性可以很快確定的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來. 一般來說，韋達定理總是充當這種問題的橋梁，但本題無法直接應用韋達定理，原因在于不是關于的對稱關系式. 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構造關于的對稱關系式.把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）構造所求量與k的關系式關于所求量的不等式韋達定理AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍簡解2：設直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得 （*）則令，則，在（*）中，由判別式可得 ，從而有 ，所以 ，解得 .結合得. 綜上，.點評：范圍問題不等關系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結合法等等. 本題