第五章一元函數(shù)積分學(xué)

第五章一元函數(shù)積分學(xué)本章前半部分介紹不定積分的概念及其計(jì)算方法，然后簡(jiǎn)單介紹微分方程的基本概念以及利用不定積分方法求解兩類簡(jiǎn)單微分方程；后半部分介紹定積分的概念、計(jì)算方法，以及定積分在幾何和物理的應(yīng)用。本章內(nèi)容占全出考試內(nèi)容25%。重點(diǎn)是不定積分和定積分計(jì)算，難點(diǎn)是換元法，分部積分。5.1原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分定義5.1設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I上的一個(gè)函數(shù)。如果F(x)是區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù)，并且對(duì)任意的均有或Df(x)=f(x)dx則稱F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)。例如，因?yàn)閷?duì)任意的均有，所以sinx是cosx在區(qū)間（-，+）內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)。因?yàn)閷?duì)任意的均有，所以arcsinx是在（-1，1）內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)。顯然，一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)不是唯一的。事實(shí)上，如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，即，那么，對(duì)任意常數(shù)C，均有，從而F(x)+C也是f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)。這說(shuō)明，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有一個(gè)原函數(shù)，那么f(x)在I上有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)。另一方面，如果函數(shù)F(x)和G(x)都是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)，那么，從而G(x)-F(x)=C，即G(x)=F(x)+C，其中C為某個(gè)常數(shù)。因此，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有一個(gè)原函數(shù)F(x)，那么f(x)在區(qū)間I上的全體原函數(shù)組成的集合為函數(shù)族。定義5.2如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)，那么稱f(x)在I上的全體原函數(shù)組成的函數(shù)族為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記為，其中記號(hào)稱為積分號(hào)，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量。由定義以及前面的說(shuō)明知，如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，那么，其中C為任意常數(shù)，例如，。一個(gè)函數(shù)要具備什么條件，才能保證它的原函數(shù)一定存在呢？關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，我們有如下結(jié)論，（證明略去）定理5.1（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么f(x)在區(qū)間I上一定有原函數(shù)，即一定存在區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使得。簡(jiǎn)單地說(shuō)就是：連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)。由于初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，所以初等函數(shù)在其定義區(qū)間上一定有原函數(shù)。怎樣求一個(gè)連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)或不定積分呢？后面幾節(jié)討論這個(gè)問(wèn)題。下面僅給出一些簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分的例子。例1：求不定積分。答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)解：因?yàn)?，所以為函?shù)xa的一個(gè)原函數(shù)。故。例2：求不定積分。答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)解：當(dāng)x0時(shí)，；當(dāng)x0），dx=2tdt，由第二換元積分法有：答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)（2）為了消除根式，令x=t6（t0）則dx=6t5dt并且，由第二換元積分法有答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)例2求不定積分答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)解：為了消去根式，利用三角恒等式sin2t+cos2t=1，可令x=asint（-/2t/2），則：因此，由第二換元積分法，所求積分化為由于x=asint（-/2t/2），所以t=arcsin（x/a）于是 例3求不定積分答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)解：為了消去根式，利用三角恒等式1+tan2x=sec2x，令x=atant（-/2t/2）由第二換元積分法有由于，所以因此其中C=C1-1na例4求不定積分答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)解：為了消去根式，利用三角恒等式1+tan2x=sec2x，令x=asect（0t/2）,則于是由于，所以因此其中c=c1-1na從例2例4中可以看出：如果被積函數(shù)含有 ，則可以分別作代換x=asint，x=atant，x=asect消去根式，采用這種形式換元的方法稱為三角換元法或三角代換法，具體解題時(shí)要分析被積函數(shù)的具體情況，選取盡可能簡(jiǎn)捷的代換，不要只拘泥于三角代換。例5計(jì)算下列不定積分（1） （2）解（1）令，則，于是答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)（2）令 ,則，于是答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)例5中所用的變量代換稱做倒代換，也是一種比較常用的方法。5.3分部積分法5.2利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得到了換元積分法，本節(jié)將利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則推導(dǎo)出求不定積分的另一種基本方法分部積分法。設(shè)函數(shù)u=u（x）和v=v（x）在區(qū)間I上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則u（x）v（x）在區(qū)間I上也有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并且移項(xiàng)得對(duì)以上等式兩邊求不定積分得（1）公式（1）稱為分部積分公式，如果求比較困難，而求比較容易，那么就可以利用分部積分公式來(lái)計(jì)算。為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，常常將公式（1）寫成如下形式：（2）公式（2）也稱做分部積分公式。用分部積分公式求不定積分常見(jiàn)情況有三類（一）（1）（2）（3） （4）（n=1.2）（二）（5）（6）（7）（三）（8）（9）第三種類型要用分部積分公式兩遍例1：求不定積分（1）【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（2） 【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（3） 【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（4）【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（5） 【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（6） 【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（7）【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（8） 【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（9） 【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（10） 【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（11） 【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（12）【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】例2：求不定積分（1） 【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（2）【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（3） 【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（4） 【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（5）【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（6）【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（7） 【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（8）【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（9） 【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（10）【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】令x=sintdx=costdt【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】例3：求不定積分（1）【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（2）解：（1）（2）【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】由得 由+得例3的結(jié)果可以作寫積分公式使用公式（26）公式（27）特別情形例如用公式（26）（27）有例4：求不定積分（1）【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（2）【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（3）【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（4）【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（5）【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】解（1）令（2）令，dx=2dt原式（3）（4） （5）例5：設(shè)f（x）有一個(gè)原函數(shù)為，求【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】解：因?yàn)闉閒（x）的一個(gè)原函數(shù)，所以并且，因此5.4有理分式不定積分舉例例1.求不定積分（1）【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（2）【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（3）【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（4）【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】解：（1） （2） （3）（4）例2：求不定積分（1）【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（2）【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（3）【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】（4）【答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)】解：（1）（2）（3） （4）5.5微分方程初步一、微分方程的基本概念下面通過(guò)具體的例子來(lái)說(shuō)明微分方程的有關(guān)概念。引例：一曲線通過(guò)點(diǎn)(1,-1)點(diǎn)，并且該曲線上任一點(diǎn)處的切線斜率等于其橫坐標(biāo)平方的倒數(shù)。求這條曲線的方程。答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)解設(shè)所求曲線方程為y=y(x)，則根據(jù)題意可知，未知函數(shù)y=y(x)滿足關(guān)系式 （1）此外，未知函數(shù)y=y(x)還滿足條件：y(1)=-1 （2）將（1）式兩端積分得,即得,（3）其中C為任意常數(shù)。將條件（2）代入（3）式得，-1=-1+C，從而C=0代入（3）式即得所求曲線的方程。（4）我們將聯(lián)系自變量x,一元未知函數(shù)y(x)以及它的導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式稱做微分方程。微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為微分方程的階。如果將某個(gè)函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)代入微分方程，能使方程成為恒等式，那么稱這個(gè)函數(shù)是微分函數(shù)方程的一個(gè)解。例如，是的解。如果微分方程的解中含有任意常數(shù)并且相互無(wú)關(guān)的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)正好是方程的階數(shù)，則稱此解為微分方程的通解。例如，是的通解。如果微分方程的解中不含任意常數(shù)，稱此解為特解。例如，是時(shí)的特解。二、可分離變量的微分方程如果一個(gè)一階微分方程可以表示成（1）或,(2)則稱之為可分離變量的微分方程。假定方程（1）中的函數(shù)g(x),h(y)連續(xù)，并且h(y)0，則分離變量得到.上式兩端積分通解為H(y)=G(x)+C這樣的通解稱為方程的隱式解，即由它確定的隱函數(shù)是微分方程的解。以上這種求解微分方程的方法稱為分離變量法。下面通過(guò)具體的例子進(jìn)一步說(shuō)明。例1求微分方程的通解。答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)解：原方程是可分離變量的方程，移項(xiàng)分離變量得，兩端積分得例2求微分方程滿足條件的特解。答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)解答：第一步解微分方程原方程可分離變量的方程，分離變量后得，兩端積分得將變?yōu)閘nC，即令=lnC,解有去掉對(duì)數(shù)得方程之通解為,其中C為任意常數(shù)。往后我們都這樣簡(jiǎn)寫，不再一一說(shuō)明。第二步，求C。條件x=1時(shí)，y=1代入解中有1=C,特解為例3求微分方程的通解。答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)解原方程是可分離變量的方程，分離變量后得，兩端積分得從而為原方程之通解，其中C為任意常數(shù)。三、一階線性微分方程形如(17)的方程，因?yàn)槲粗瘮?shù)y及其導(dǎo)數(shù)都是一次的，所以稱為一階線性微分方程。如果Q(x)=0,則稱方程（17）為一階線性齊次微分方程；否則稱之為一階線性非齊次微分方程。的通解，這里的不定積分號(hào)均僅表示某個(gè)確定的原函數(shù)。一階線性非齊次微分方程的通解也可以寫成下列形式：，下面用具體的例子來(lái)闡述如何用公式求解一階線性非齊次微分方程。例4求微分方程的通解。答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)這是一個(gè)一階線性非齊次微分方程，其中。由通解公式知，原方程的通解為即原方程的通解為注：用公式解法時(shí)注意。在初等數(shù)學(xué)中叫還原公式。例5求微分方程滿足條件的特解。答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)解：第一步是求微分的通解。原方程變形為,這是一個(gè)一階線性非齊次微分方程，其中P(x)=tanx,Q(x)=secx.由通解公式得即原方程的通解為.第二步求C，由初始條件得C=1，從而所求特解為y=sinx+cosx.例6求微分方程的通解。答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)解:若以y=y(x)為未知函數(shù)，這不是線性微分方程，但若以y為自變量，x=x(y)為未知函數(shù)，則方程變?yōu)? 這就是一個(gè)一階線性非齊次微分方程，其中,Q(y)=1。由通解公式得即原方程的通解為x=ylny+Cy.5.6定積分的概念及其幾何意義一、引例1曲邊梯形的面積設(shè)y=f(x)在區(qū)間a,b上非負(fù)、連續(xù)。由直線x=a,x=b,y=0以及曲線y=f(x)所圍成的圖形（如圖5.6所示）稱為曲邊梯形，其中曲線弧稱為曲邊。我們知道，矩形的高是不變的，它的面積可以用公式矩形面積=底高來(lái)定義和計(jì)算，但是我們?cè)撊绾味x并計(jì)算出曲邊梯形的面積呢？顯然，我們不能直接利用上述公式計(jì)算曲邊梯形的面積，因?yàn)榍吿菪蔚走吷细鼽c(diǎn)處的高f(x)在區(qū)間a,b上是變動(dòng)的。然而，由于f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，所以在很小的一段小區(qū)間上它的變化非常小，可以近似地看做不變。因此，如果將區(qū)間a,b劃分成許多小區(qū)間，相應(yīng)地就將曲邊梯形劃分為許多窄曲邊梯形，每一個(gè)小區(qū)間對(duì)應(yīng)一個(gè)窄曲邊梯形，由于小區(qū)間很小時(shí)，其上各點(diǎn)處的f(x)變化也很小，因而對(duì)應(yīng)的窄曲邊梯形可以近似地看做窄矩形，而小區(qū)間上任意一處的高f(x)都可以近似地看做這個(gè)窄矩形的高。將所有這些窄矩形面積的和作為曲邊梯形面積的近似值，并把區(qū)間a,b無(wú)限細(xì)分下去，即讓每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度都趨于0，所有窄矩形面積和的極限就定義為曲邊梯形的面積。以上曲邊梯形面積的定義同時(shí)給了計(jì)算曲邊梯形面積的方法。具體步驟如下：（1）劃分分曲邊梯形為n個(gè)小曲邊梯形。在a,b中任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)，將區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間記小區(qū)間的長(zhǎng)度為。過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作平行于y軸的直線，將曲邊梯形分割成n個(gè)小曲邊梯形（如圖5.6所示），其面積依次記做。（2）近似“以直代曲”在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，以為底，為高作小矩形，以此矩形的面積作為相應(yīng)小曲邊梯形面積的近似值：。（3）求和求n個(gè)小矩形面積之和將n個(gè)小矩形的面積加起來(lái)得到原曲邊梯形面積A的一個(gè)近似值：即。（4）取極限由近似值過(guò)渡到精確值。記所有小區(qū)間長(zhǎng)度的最大值為.當(dāng)時(shí)，如果和式的極限存在，則定義此極限值為曲邊梯形的面積：。2.變速直線運(yùn)動(dòng)的位移設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)，其速度v=v(t)是時(shí)間間隔上的連續(xù)函數(shù)，且v(t)0。試求物體在時(shí)間間隔內(nèi)的位移s。我們知道，當(dāng)物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移公式是位移=速度時(shí)間現(xiàn)在速度不是均勻的（即速度不是常量），而是變化的，因此不能直接利用勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式來(lái)計(jì)算位移。但是，物體運(yùn)動(dòng)的速度v=v(t)是連續(xù)變化的，所以在很小的時(shí)間間隔內(nèi)速度變化很小，可以近似地看做勻速運(yùn)動(dòng)。因此，我們可以將時(shí)間間隔分成若干小的時(shí)間間隔段，在每個(gè)小的時(shí)間間隔段內(nèi)以勻速運(yùn)動(dòng)去近似變速運(yùn)動(dòng)，就可以算出該小時(shí)間間隔段里位移的近似值；然后再求和就得到整個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的總位移的近似值；最后，通過(guò)對(duì)時(shí)間間隔無(wú)限細(xì)分的極限過(guò)程，得到所求變速直線運(yùn)動(dòng)位移的精確值。具體步驟如下：（1）劃分分整個(gè)時(shí)間間隔為n個(gè)小時(shí)間間隔段。在中任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)，將區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間。相應(yīng)地，各小時(shí)間間隔內(nèi)的位移依次記為。（2）近似“以勻代變”在每個(gè)小時(shí)間間隔上任取一點(diǎn),以時(shí)刻的速度v()來(lái)近似時(shí)間段內(nèi)各時(shí)刻的速度，將物體視為作勻速直線運(yùn)動(dòng)，得到這段時(shí)間間隔上的位移的近似值：。（3）求和求n個(gè)小時(shí)間間隔段內(nèi)位移之和。將n個(gè)小時(shí)間間隔段上的位移的近似值加起來(lái)便得到變速直線運(yùn)動(dòng)的總位移s的近似值：即（4）取極限由近似值過(guò)渡到精確值記所有小時(shí)間間隔區(qū)間長(zhǎng)度的最大值為當(dāng)0時(shí)，若和式的極限存在，則其即為變速直線運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)間間隔上的位移：二、定積分的概念1.定積分的定義雖然以上兩個(gè)例子一個(gè)討論的是幾何問(wèn)題，而另一個(gè)討論的是物理問(wèn)題，但是最終都化成了一個(gè)特定和式的極限，在其他科學(xué)技術(shù)中，這樣類似的問(wèn)題非常普遍。因此有必要拋開(kāi)這些問(wèn)題的具體意義，抓住它們?cè)跀?shù)量關(guān)系上的共同的本質(zhì)和特性加以概括。這樣我們就抽象出下述定積分的概念。定義5.3設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上有界，在區(qū)間a,b中任意插入n-1個(gè)分點(diǎn),將區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間各小區(qū)間的長(zhǎng)度記為（i=1,2,n）在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn),作乘積，并作和式.記.如果不論如何劃分區(qū)間a,b，也不論小區(qū)間上點(diǎn)如何選取，只要當(dāng)0時(shí)，和S總趨于確定的極限I，那么我們稱這個(gè)極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分（簡(jiǎn)稱積分），記做，即其中f(x)稱做被積函數(shù)，f(x)dx稱做被積表達(dá)式，x稱做積分變量，a稱做積分下限，b稱做積分上限，a,b稱做積分區(qū)間。如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的積分存在，我們就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上可積。2.定積分的幾何意義我們已經(jīng)知道如果在區(qū)間a,b上f(x)0，則定積分在幾何上表示由曲線y=f(x)與直線x=a,x=b以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積。同樣，可以證明：如果在a,b上f(x)0, 則定積分在幾何上表示由曲線y=f(x)與直線x=a,x=b以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù)（如圖5.7（a）所示）；如果在a,b上f(x)既取正值又取負(fù)值，那么函數(shù)的圖形有些位于x軸上方，而有些位于x軸的下方，此時(shí)定積分在幾何上表示由曲線y=f(x)與直線x=a,x=b以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積的代數(shù)和，位于x軸上方的圖形面積取正，位于x軸下方的圖形面積取負(fù)（如圖5.7(b)所示）。三、定積分的存在定理既然已經(jīng)給出了一個(gè)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上定積分的概念，那么一個(gè)非常重要的問(wèn)題就出現(xiàn)了：函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上滿足什么樣的條件時(shí)，才一定在區(qū)間a,b上可積呢？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題我們不作深入討論，而只給出可積的兩個(gè)充分條件。定理5.6設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上可積。定理5.7設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上有界，并且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在a,b上可積。在以后的講座中，如不作特別的說(shuō)明，總假定所討論的定積分是存在的。本節(jié)最后舉例說(shuō)明如何利用積分定義計(jì)算定積分。5.7定積分的基本性質(zhì)為了將來(lái)定積分的計(jì)算，本節(jié)先介紹定積分的幾個(gè)基本性質(zhì)。由于定積分是特殊和式的極限，所以由極限的性質(zhì)可以推出定積分的以下性質(zhì)。性質(zhì)1若f(x),g(x)在a,b上可積，則f(x)g(x)在a,b上也可積，并且。性質(zhì)2若f(x)在a,b上可積，k為任意常數(shù)，則kf(x)在a,b上也可積，并且性質(zhì)1和性質(zhì)2統(tǒng)稱為定積分的線性性質(zhì)。性質(zhì)3設(shè)f(x)在a,b上可積，acb，則f(x)在a,c和c,b上可積；反之，若f(x)在a,c和c,b上可積，則f(x)在a,b上也可積，并且。性質(zhì)3稱為定積分對(duì)區(qū)間的可加性，對(duì)其證明不作要求，其正確性請(qǐng)看圖形說(shuō)明。性質(zhì)4例1設(shè)，試計(jì)算定積分。答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)解：畫出圖形，如圖5.9所示：由性質(zhì)3知。由定積分的幾何意義知，是由x軸，y軸以及單位圓周位于第二象限的部分圍成的四分之一圓的面積即類似地，是由x軸，y軸以及直線y=1-x圍成的三角形的面積（如圖5.9所示），即，因此。性質(zhì)5如果在a,b上f(x)1，則。事實(shí)上，就是x軸，x=a,x=b以及y=1圍成的矩形的面積b-a。（見(jiàn)下圖）性質(zhì)6設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上可積，并且f(x)0（xa,b），則。這個(gè)性質(zhì)很容易由定積分的定義推出。當(dāng)然，從定積分之幾何意義也容易看出，事實(shí)上，由于是由x軸，x=a,x=b以及曲線y=f(x)圍成的曲邊梯形的面積，故。由性質(zhì)6出發(fā)，不難得到如下推論。推論1設(shè)f(x)和g(x)在a,b上可積，并且在a,b上f(x)g(x)，則推論1又稱做比較性質(zhì)，它告訴我們函數(shù)大的積分就大，函數(shù)小的積分就小。由推論1還推出如下推論。推論2設(shè)f(x)在a,b上可積，則。例2試比較定積分與的大小。答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)解因?yàn)楫?dāng)x1，2時(shí)，ln1lnxln2lne，0lnxb的情形也成立。為了方便，有時(shí)將F(b)-F(a)記成，這樣牛頓-萊布尼茨公式又可以寫成.由牛頓-萊布尼茨公式可知.這個(gè)結(jié)果說(shuō)明定積分是一個(gè)數(shù)而且它的大小與積分變量無(wú)關(guān)。下面舉例說(shuō)明如何利用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算定積分。例1求定積分。答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)解：因?yàn)槭堑囊粋€(gè)原函數(shù)，所以由牛頓-萊布尼茨公式有。例2求定積分。答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)解因?yàn)樗?例3求定積分答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)解 因?yàn)樗援?dāng)計(jì)算熟練后，大家不必將計(jì)算不定積分的步驟單獨(dú)分離出來(lái)，而可以如下表述：例4求定積分答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)解：例5求定積分答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)分析此例的關(guān)鍵在于去掉絕對(duì)值，這可以利用定積分對(duì)區(qū)間的可加性。解因?yàn)樗宰詈笈e幾個(gè)例子說(shuō)明變上限積分的重要性。例6填空(1)答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)(2) 答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)解由公式得（1）（2）有公式例7計(jì)算下列導(dǎo)數(shù)：（1）；答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)（2）.答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)解：（1）設(shè)，則由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法知又由定理5.8知，從而，因此（2）設(shè)則因此，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法知.又由定理5.8知，從而，因此一般地，如果f(x)連續(xù)，a(x)和b(x)可導(dǎo)，則有公式例8計(jì)算極限。答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)解：這是一個(gè)型未定式，用洛必達(dá)法則以及變上限求導(dǎo)公式得例9求函數(shù)的極值。答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)解：這是一個(gè)變上限積分，由于被積函數(shù)連續(xù)，所以I(x)可導(dǎo)，并且。令得唯一駐點(diǎn)x=0，又由于所以.。因此由極值的充分條件知，x=0為極小值點(diǎn)，極小值為I(0)=0.例10（1）若,求。答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)(2)y=y(x)由方程確定。求。答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)解：（1）(2)將等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得例11設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)且單調(diào)增加。x(a,b答疑編號(hào)：針對(duì)該題提問(wèn)證明：在(a,b上，證：由積分中值定理又因?yàn)閒(x)單調(diào)增加，f(c)f(x)5.9定積分的換元法與分部積分法由5.8已經(jīng)知道，要計(jì)算定積分，只需先求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)或不定積分，再由牛頓-萊布尼茨公式即可完成。但是，這樣做也有些小小的問(wèn)題，比如，在用第二換元法計(jì)算不定積分時(shí)，最后總要將參數(shù)t變回到原來(lái)的變量x；又如，在連續(xù)利用分部積分法計(jì)算不定積分時(shí)，每用一次，前面就出現(xiàn)一個(gè)函數(shù)，這在書寫上極不方便，對(duì)于定積分而言，這些小小的不便能否克服呢？本節(jié)為此介紹定積分的換元法與分部積分法。一、定積分的