2017全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初二卷及詳解

2017年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題 初二卷第一試一、選擇題：（本題滿分 42 分，每小題 7 分）1.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，則的值為（ ）.A.2 B.1 C.0 D.-12.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1，則(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值為（ ）.A.125 B.120 C.100 D.813.若正整數(shù)a,b,c滿足abc且abc=2(a+b+c)，則稱(a,b,c)為好數(shù)組.那么好數(shù)組的個(gè)數(shù)為（ ）.A.4 B.3 C.2 D.14.已知正整數(shù)a,b,c滿足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，則a2+b2+c2的值為（ ）.A.424 B.430 C.441 D.4605.梯形ABCD中，ADBC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，則梯形的面積為（ ）.A. B. C. D.6.如圖，梯形ABCD中，ADBC，A=90，點(diǎn)E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，DCE=45，則DE的值為（ ）.A.56 B.58 C.60 D.62二、填空題：（本題滿分 28 分，每小題 7 分）7.使得等式成立的實(shí)數(shù)a的值為_(kāi).8.已知ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足ABC100.用表示100-C,C-B,B-A中的最小者，則的最大值為_(kāi).9.設(shè)a,b是兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)，且為質(zhì)數(shù).則p的值為_(kāi).10.20個(gè)都不等于7的正整數(shù)排成一行，若其中任意連續(xù)若干個(gè)數(shù)之和都不等于7，則這20個(gè)數(shù)之和的最小值為_(kāi).第二試一、（本題滿分 20 分）設(shè)A,B是兩個(gè)不同的兩位數(shù)，且B是由A交換個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字所得，如果A2-B2是完全平方數(shù)，求A的值.二、（本題滿分 25 分）如圖，ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE平分ADB，DF平分ADC，BEDE，CFDF，P為AD與EF的交點(diǎn).證明：EF=2PD.三、（本題滿分 25 分）已知a,b,c是不全相等的正整數(shù)，且為有理數(shù)，求的最小值.2017年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題 初二卷參考答案第一試一、選擇題：（本題滿分 42 分，每小題 7 分）1.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，則的值為（ ）.A.2 B.1 C.0 D.-1答案：B對(duì)應(yīng)講次：所屬知識(shí)點(diǎn)：方程思路：因?yàn)樗蠓质降奶攸c(diǎn)可以想到把a(bǔ)+2b，3b+c看成一個(gè)整體變量求解方程.解析：已知等式可變形為2(a+2b)+3(3b+c)=90，3(a+2b)+(3b+c)=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以.2.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1，則(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值為（ ）.A.125 B.120 C.100 D.81答案：C對(duì)應(yīng)講次：所屬知識(shí)點(diǎn)：方程思路：可以想到換元法.解析：設(shè)x=a+1，y=b+3，z=c+5，則x+y+z=10，xy+xz+yz=0，由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.則(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2 =100.3. 若正整數(shù)a,b,c滿足abc且abc=2(a+b+c)，則稱(a,b,c)為好數(shù)組.那么好數(shù)組的個(gè)數(shù)為（ ）.A.4 B.3 C.2 D.1答案：B對(duì)應(yīng)講次：所屬知識(shí)點(diǎn)：數(shù)論思路：先通過(guò)abc且abc=2(a+b+c)的限定關(guān)系確定可能的種類，再通過(guò)枚舉法一一驗(yàn)證.解析：若(a,b,c)為好數(shù)組，則abc=2(a+b+c)6c，即ab6，顯然a=1或2.若a=1，則bc=2(1+b+c)，即(b-2)(c-2)=6，可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5)，共2個(gè)好數(shù)組.若a=2，則b=2或3，可得b=2,c=4；b=3,c=，不是整數(shù)舍去，共1個(gè)好數(shù)組.共3個(gè)好數(shù)組(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,4).4. 已知正整數(shù)a,b,c滿足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，則a2+b2+c2的值為（ ）.A.424 B.430 C.441 D.460答案：C對(duì)應(yīng)講次：所屬知識(shí)點(diǎn)：方程思路：由已知等式消去c整理后，通過(guò)a,b是正整數(shù)的限制，枚舉出所有可能，并一一代入原方程驗(yàn)證，最終確定結(jié)果.解析：聯(lián)立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75，則3(b-1)275，即1b6.當(dāng)b=1,2,3,4,5時(shí)，均無(wú)與之對(duì)應(yīng)的正整數(shù)a；當(dāng)b=6時(shí)，a=9，符合要求，此時(shí)c=18，代入驗(yàn)證滿足原方程.因此，a=9，b=6，c=18，則a2+b2+c2=441.5. 梯形ABCD中，ADBC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，則梯形的面積為（ ）.A. B. C. D.答案：A對(duì)應(yīng)講次：所屬知識(shí)點(diǎn)：平面幾何思路：通過(guò)作平行四邊形把邊長(zhǎng)關(guān)系轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中來(lái).解析：作AEDC，AHBC，則ADCE是平行四邊形，則BE=BC-CE=BC-AD=3=AB，則ABE是等腰三角形，BE=AB=3，AE=2，經(jīng)計(jì)算可得.所以梯形ABCD的面積為.6. 如圖，梯形ABCD中，ADBC，A=90，點(diǎn)E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，DCE=45，則DE的值為（ ）.A.56 B.58 C.60 D.62答案：B對(duì)應(yīng)講次：所屬知識(shí)點(diǎn)：平面幾何思路：補(bǔ)形法，把直角梯形先補(bǔ)成正方形，再利用旋轉(zhuǎn)把邊長(zhǎng)關(guān)系轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形RtEAD中去，利用勾股定理求解.解析：作CFAD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，將CDF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至CGB，則ABCF為正方形，可得ECGECD，EG=ED.設(shè)DE=x，則DF=BG=x-28，AD=98-x.在RtEAD中，有422+(98-x)2=x2，解得x=58.二、填空題：（本題滿分 28 分，每小題 7 分）7.使得等式成立的實(shí)數(shù)a的值為_(kāi).答案：8對(duì)應(yīng)講次：所屬知識(shí)點(diǎn)：方程思路：通過(guò)等式兩邊都6次方可以去掉最外面根式，再用換元法化簡(jiǎn)等式，最后要驗(yàn)證結(jié)果是否滿足最初的等式. 解析：易得.令，則x0，代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0，解得x1=0, x2=3, x3=-1，舍負(fù)，即a=-1或8，驗(yàn)證可得a=8.8. 已知ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足ABC100.用表示100-C,C-B,B-A中的最小者，則的最大值為_(kāi).答案：20對(duì)應(yīng)講次：所屬知識(shí)點(diǎn)：代數(shù)思路：一般來(lái)說(shuō)，求幾個(gè)中最小者的最大值時(shí)，就是考慮這幾個(gè)都相等的情況.解析：100-C，C-B，B-A3（100-C）+2(C-B)+(B-A)=20又當(dāng)A=40,B=60,C=80時(shí)，=20可以取到.則的最大值為20.9. 設(shè)a,b是兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)，且為質(zhì)數(shù).則p的值為_(kāi).答案：7對(duì)應(yīng)講次：所屬知識(shí)點(diǎn)：數(shù)論思路：因?yàn)閜是質(zhì)數(shù)，只能拆成1和p，另一方面通過(guò)a+b、a、b兩兩互質(zhì)來(lái)拆分的可能種類，最后分類討論，要么與條件矛盾，要么得出結(jié)果.解析：因?yàn)閍,b互質(zhì)，所以a+b、a、b兩兩互質(zhì)，因?yàn)橘|(zhì)數(shù)，所以可得a=b=1，p=4，不是質(zhì)數(shù)舍；可得a=7，b=1，p=7，符合題意.則p=7.10.20個(gè)都不等于7的正整數(shù)排成一行，若其中任意連續(xù)若干個(gè)數(shù)之和都不等于7，則這20個(gè)數(shù)之和的最小值為_(kāi).答案：34對(duì)應(yīng)講次：所屬知識(shí)點(diǎn)：數(shù)論思路：考慮1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1滿足題設(shè)要求，其和為34，接下來(lái)只需要考慮該數(shù)列是否為和最小的數(shù)列.解析：設(shè)該正整數(shù)列為，考慮，依抽屜原理必然有兩項(xiàng)模7的余數(shù)相同，則該兩項(xiàng)的差是7的倍數(shù)，于是任意連續(xù)7項(xiàng)之中必有連續(xù)子列之和為7的倍數(shù)，又不能為7，則最小為14.于是20個(gè)數(shù)中至少有2組這樣的子列其總和不小于28，剩下6個(gè)數(shù)之和不小于6，于是該數(shù)列之和不小于34.由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在數(shù)列和為34的情況.第二試一、（本題滿分 20 分）設(shè)A,B是兩個(gè)不同的兩位數(shù)，且B是由A交換個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字所得，如果A2-B2是完全平方數(shù)，求A的值.答案：65對(duì)應(yīng)講次：所屬知識(shí)點(diǎn)：數(shù)論思路：對(duì)于需要考慮不同位數(shù)上數(shù)字的情況，可以把一個(gè)兩位數(shù)設(shè)為10a+b，轉(zhuǎn)為為代數(shù)問(wèn)題，再利用完全平方數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式也是以完全平方數(shù)對(duì)的形式出現(xiàn)，綜合分析所有限定下可能性，最終確定結(jié)果.解析：設(shè)A=10a+b(1a,b9,a,bN)，則B=10b+a，由A,B不同得ab，A2-B2=（10a+b）2-(10b+a)2=911（a+b）(a-b). 5分由A2-B2是完全平方數(shù)，則ab，可得a+b=11， 10分a-b也是完全平方數(shù)，所以a-b=1或4. 15分若a-b=1，則a=6，b=5；若a-b=4，則沒(méi)有正整數(shù)解.因此a=6，b=5，A=65. 20分二、（本題滿分 25 分）如圖，ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE平分ADB，DF平分ADC，BEDE，CFDF，P為AD與EF的交點(diǎn).證明：EF=2PD.對(duì)應(yīng)講次：所屬知識(shí)點(diǎn)：平面幾何思路：因?yàn)镋F、PD都在DEF中，所以想辦法推出其性質(zhì)，比較容易得出EDF=90，此時(shí)若能得出EF=PD，則自然可以得到結(jié)論.解析：由DE平分ADB，DF平分ADC，可得EDF=90. 5分由BEDE得BEDF，則EBD=FDC. 10分又BD=DC，BED=DFC=90，則BEDDFC，BE=DF. 15分得四邊形BDFE是平行四邊形，PED=EDB=EDP，EP=PD. 20分又EDF是直角三角形，EF=2PD. 25分三、（本題滿分 25 分）已知a,b,c是不全相等的正整數(shù)，且為有理數(shù)，求的最小值.答案：3對(duì)應(yīng)講次：所屬知識(shí)點(diǎn)：數(shù)論思路：通過(guò)a,b,c是正