《分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)》重難點(diǎn)突破

分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)重難點(diǎn)突破 浙江省諸暨市實(shí)驗(yàn)小學(xué)教育集團(tuán)陳菊娣（初稿）浙江省諸暨市教育局教研室湯驥（統(tǒng)稿）一、理解分?jǐn)?shù)的意義突破建議：1多角度了解與揭示分?jǐn)?shù)的來源，促進(jìn)學(xué)生對分?jǐn)?shù)本質(zhì)的理解。在小學(xué)數(shù)學(xué)里，認(rèn)識分?jǐn)?shù)是學(xué)習(xí)數(shù)的概念的一次重要擴(kuò)展。因此，教學(xué)中要從揭示產(chǎn)生分?jǐn)?shù)的現(xiàn)實(shí)背景出發(fā)，幫助學(xué)生領(lǐng)會分?jǐn)?shù)的含義，理解分?jǐn)?shù)的意義。從現(xiàn)實(shí)的角度來看，數(shù)是用來表示量的。如6支筆、8個人等這些量的共同特征，可以用自然數(shù)6、8來表示。但除了上面列舉的有一些單位量合成的，可以用自然數(shù)表示的量之外，還存在許多可以分割的、無法用自然數(shù)來表示的量。歷史上，分?jǐn)?shù)正是為了比較精確地測量這類需要分割的量而引入的。另外，從數(shù)學(xué)的角度來看，分?jǐn)?shù)的引入是為了解決整數(shù)集合里除法不是總能實(shí)施的矛盾。比如，23在整數(shù)范圍內(nèi)不能計算，引入分?jǐn)?shù)就能記作23=。再引出分?jǐn)?shù)概念之后，又通過分蛋糕、分月餅的實(shí)例，抽象出分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，使學(xué)生初步感悟：利用分?jǐn)?shù)，可以解決整數(shù)除法除不盡的矛盾。即從數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的角度，揭示了分?jǐn)?shù)的來源?？傊?，教學(xué)通過多角度呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)的來源，使學(xué)生感悟到分?jǐn)?shù)是為了適應(yīng)客觀實(shí)際需要而產(chǎn)生的。同時，為學(xué)生提供了較為豐富的理解分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)素材，從而為學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的本質(zhì)意義提供了牢固的學(xué)習(xí)平臺。2充分利用學(xué)生已有知識基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)習(xí)活動中及時抽象概括分?jǐn)?shù)的意義。本單元的教學(xué)是學(xué)生在三年級學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”的基礎(chǔ)上展開的，即學(xué)生已有將一個圖形、實(shí)物等平均分可以得到分?jǐn)?shù)的認(rèn)知基礎(chǔ)。因此，本節(jié)課的研究對象是將一些物體看成一個整體。但在實(shí)際的教學(xué)中，分?jǐn)?shù)單位“1”的相對性與自然數(shù)“1”的確定性，在學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)中是相互矛盾的，進(jìn)而導(dǎo)致分?jǐn)?shù)的意義不為他們已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)所接受和同化。也就是說，單位“1”它不僅表示一個物體，也可以表示由多個物體所組成的一個整體，如一個物體、一個圖形、一個計量單位可以稱作單位“1”，一些物體所組成的一個整體也可以稱作單位“1”，即與單位“1”相對應(yīng)的量是動態(tài)的，具有相對性。當(dāng)單位“1”表示為一個物體（如一個蘋果、一個圓形、一米線段）時，與學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)中所確定不變的自然數(shù)“1”相一致，當(dāng)單位“1”表示為多個物體（如10個蘋果、23個圓形、35條1米長的線段）時，與自然數(shù)“1”就有了沖突，學(xué)生的理解也隨之產(chǎn)生偏差。因此，本單元教學(xué)的主要任務(wù)是在幫助學(xué)生重構(gòu)與拓展單位“1”的含義，進(jìn)而揭示分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。由此，教學(xué)不妨如下展開：（1）重溫舊知，導(dǎo)入新課揭題：分?jǐn)?shù)。板書： ，對這樣的分?jǐn)?shù)有哪些認(rèn)識？（各部分名稱、產(chǎn)生過程等。）你能想辦法表示嗎？預(yù)設(shè)三類表示方式：（前兩類）為什么不同的圖形都可以表示？概括：把一個圖形平均分成4份，這樣的1份用表示。（板書）那這第三類能不能用表示呢？引發(fā)思辯。（2）操作體驗(yàn)，概括意義用這幅圖表示，和之前用圖形表示有什么區(qū)別？（看成一個整體，完善表示方法。）如果有更多的圓，怎么表示？你能畫一畫嗎？（一個學(xué)生到黑板上用磁鐵擺）形成：三種表示方法有什么不同？（整體數(shù)量不同，表示的數(shù)量也不同）；為什么數(shù)量不同都可以表示？（板書：一個整體）。歸納：1個是4個的，2個是8個的，3個是12個的。更多的圓，怎樣表示？（平均分成4份，用一份表示）形成：小結(jié)：部分是整體的。如之前的平面圖形、線段、圓看成的整體等等，這些都可以稱為單位“1”。（板書）問：為什么1要帶上引號？（區(qū)別自然數(shù)1，表示特定稱謂）觀察下面的圖形，你看到了哪些分?jǐn)?shù)？你是怎么想到這些分?jǐn)?shù)的？整體是12個，部分是4個，為什么可以用不同的分?jǐn)?shù)表示？總結(jié)：把單位“1”平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分?jǐn)?shù)表示。顯然，該環(huán)節(jié)教學(xué)對學(xué)生的思維、認(rèn)知無疑是一個很好地提升。在創(chuàng)造分?jǐn)?shù)的過程中，學(xué)生不但可以更加深刻地理解分?jǐn)?shù)意義，還可以嘗到探索活動的趣味，樹立良好的學(xué)習(xí)信心。3在練習(xí)糾錯中不斷積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，正確表征分?jǐn)?shù)內(nèi)涵。分?jǐn)?shù)概念的多重意義性意味著學(xué)生必須要跟隨教學(xué)進(jìn)度，不斷激發(fā)已有的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，由淺入深，分步擴(kuò)展，主動建構(gòu)新的分?jǐn)?shù)經(jīng)驗(yàn)，不斷擴(kuò)充、完善對分?jǐn)?shù)內(nèi)涵和分?jǐn)?shù)概念的認(rèn)知與把握。在此基礎(chǔ)上，要善于引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度，在不同意義情境下，全方位地認(rèn)識分?jǐn)?shù)，了解其各種不同的表征方式，理解其不同的內(nèi)涵，正確地建立分?jǐn)?shù)概念，否則，學(xué)生難以運(yùn)用知識靈活解決有關(guān)分?jǐn)?shù)的實(shí)際問題?！惧e例1】在下面的數(shù)軸上，和之間，可以找到（A）個分?jǐn)?shù)?！惧e例2】虛線框中代表的是根小棒，請你估計一下，選項（B）代表的是1根小棒。錯例1反映出學(xué)生缺乏分?jǐn)?shù)的數(shù)感，分?jǐn)?shù)稠密性知識掌握不牢，他們只是把數(shù)軸上和之間能看到的，已經(jīng)標(biāo)記出來的3個刻度線，作為可以找到的分?jǐn)?shù)，其實(shí)，無論哪兩個分?jǐn)?shù)之間，都存有無數(shù)個分?jǐn)?shù)。錯例2中學(xué)生沒有選A，說明他們已經(jīng)意識到“1根小棒”的長度肯定比“根”要長，實(shí)際調(diào)查中還發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生通過計算，知道要長“根”，但究竟“根”是誰的他們很模糊，于是就把已知的根小棒，作為需要估計的“”的單位“1”，認(rèn)為要求的一根小棒就是比已知的小棒多，從而出現(xiàn)錯誤。因此，只有牢牢把握分?jǐn)?shù)概念的不同表征方式，深刻理解分?jǐn)?shù)概念的多重意義，才能達(dá)到觸類旁通、舉一反三的學(xué)習(xí)效果，才能真正將所學(xué)知識用于解決學(xué)習(xí)和生活中遇到的相關(guān)問題，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力。二、運(yùn)用公因數(shù)（公倍數(shù)）、最大公因數(shù)（最小公倍數(shù)）解決實(shí)際問題突破建議：1引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識的探索過程，培養(yǎng)學(xué)生自主解決問題的能力。教材改變了原實(shí)驗(yàn)教材將解決問題與概念引入結(jié)合在一起的編排，主要是考慮到學(xué)生理解起來難度較大。所以，新版教材將這部分的編排改為先給出最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)的概念，突出概念的本質(zhì)，然后探索它們的求法，最后在解決問題的應(yīng)用中體會它們的現(xiàn)實(shí)意義，加深對概念的理解。雖然這部分內(nèi)容與生活聯(lián)系緊密，但實(shí)際由于學(xué)生缺乏必要的生活經(jīng)驗(yàn)與知識經(jīng)驗(yàn)，在運(yùn)用公因數(shù)（公倍數(shù)）、最大公因數(shù)（最小公倍數(shù)）解決實(shí)際問題時，還是有相當(dāng)?shù)睦щy。因此，如何實(shí)現(xiàn)生活的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而解決實(shí)際生活問題。在教學(xué)時一方面應(yīng)盡可能加強(qiáng)與實(shí)際生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的生活認(rèn)知；另一方面應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識的探索過程，重視所學(xué)知識解決實(shí)際問題的意識與能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生自主解決問題的能力。例如，閱讀與理解題意，通過交流，收集有關(guān)信息，使學(xué)生明白，在儲藏室的長方形地面上鋪正方形，要求是既要鋪滿、又要都用整塊的方磚。進(jìn)而思考：邊長是多少的整塊正方形地磚正好鋪滿？接著在“分析與解答”環(huán)節(jié)，通過操作實(shí)踐，合作交流，使學(xué)生明白，要符合用正方形方磚鋪地，滿足既要鋪滿、又要都用整塊的方磚的條件，只要使正方形地磚的邊長同時符合長方形地面長與寬的要求，即正方形地磚的邊長既能整除長方形地面的長，又能整除長方形地面的寬，即地磚的邊長必須既要是16的因數(shù)，又要是12的因數(shù)，進(jìn)而認(rèn)識到可以用公因數(shù)和最大公因數(shù)的方法解決問題，幫助學(xué)生將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。最后，通過可以讓學(xué)生再畫一畫、相互驗(yàn)證交流，使學(xué)生明白：要使所用的正方形地磚都是整塊數(shù)，地磚的邊長必須既是16的因數(shù)，又要是12的因數(shù)。形成解決此類問題的方法與策略。2充分關(guān)注操作與想象相結(jié)合，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。運(yùn)用公因數(shù)（公倍數(shù)）、最大公因數(shù)（最小公倍數(shù)）解決實(shí)際問題的關(guān)鍵，就是幫助實(shí)現(xiàn)將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。如何幫助學(xué)生理解，實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化，既是教學(xué)的重點(diǎn)，也是教學(xué)的難點(diǎn)。要在教學(xué)上實(shí)現(xiàn)這一突破，引導(dǎo)學(xué)生展開操作與想象，是一個行之有效的方法。例如，在用公倍數(shù)、最大公因數(shù)解決實(shí)際問題時，在讓學(xué)生猜想的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生利用學(xué)具擺一