《線性代數(shù)》-課本習(xí)題答案1和2章

習(xí)題一1計(jì)算下列排列的逆序數(shù)1）9級(jí)排列134782695；2）級(jí)排列。N12解（1）；347869504201（2）。NN2選擇和，使得IK1）1274569成奇排列；2）1254897為偶排列。解（1）令，則排列的逆序數(shù)為，排列為奇排列。3,8IK127435689從而。,I（2）令，則排列的逆序數(shù)為，排列為奇排列。,6IK與題意不符，從而。33由定義計(jì)算行列式。1234124345550AAA解行列式，因?yàn)橹辽儆幸粋€(gè)大于123451234512345JJJJJJAA123,J3，所以中至少有一數(shù)為0，從而（任意123JJA123450JJJ），于是。1245,J123451234512345JJJJJJ4計(jì)算行列式1）；2）；3）；4032114120574）；5）。64113792852222222213AABBCCDD解（1）40；（2）16；（3）0；（4）1008；（5）0。5計(jì)算階行列式N1）；2）；0000XYXYY13100201NN3）（）；4）。121NAA0I2232N解（1）原式（按第一列000XYXY1000NYXXY展開）。1NNXY（2）行列式（后列和加到第一列，1231001020NNN1N再按第一列展開）121NN。（3）行列式（第一行第一列為添加的部分，注意1201NAA此時(shí)為級(jí)行列式）1N2131NRR120NAA1231NCAC11200NNAA。121NNA（4）行列式2131NRR002N（按第二行展開）21002N。N提高題1已知級(jí)排列的逆序數(shù)為，求排列的逆序數(shù)。N121NJJK12NJJ解設(shè)原排列中1前面比1大的數(shù)的個(gè)數(shù)為，則1后面比1大的K數(shù)的個(gè)數(shù)為，于是新排列中1前比1大的個(gè)數(shù)為1K2NJJ個(gè)；依此類推，原排列中數(shù)前面比大的數(shù)的個(gè)數(shù)為，1NK121IIIK則新排列中前比大的個(gè)數(shù)為個(gè)記21NJJIIK121NJJ，故新排列的逆序數(shù)為12KK。121NK22NKK2由行列式定義計(jì)算中與的系數(shù)，并說明理由。132XF4X3解由于行列式定義中的每一項(xiàng)來自于不同行和不同列的個(gè)元素的乘積。而N該行列式中每個(gè)元素最高含的一次項(xiàng)，因此的項(xiàng)只能由對(duì)角線上的元素乘X4X積所得到，故的系數(shù)為2。4X4134同樣的考慮可得的系數(shù)為1。3X3設(shè)，其中互不相同。2112211NNNXAAPXI1）說明是一個(gè)次多項(xiàng)式；X2）求的根。0P解1把按第一行展開得。X112NPXAXAX而，所以是一個(gè)次多項(xiàng)式。211212110NNNNAAPX1N根據(jù)范德蒙行列式12112121232NNNNPXAXAAAA2因?yàn)椋ǎ┐胫杏袃尚性叵嗤孕辛蠭,PX式為零，從而的根為。0PX121,NA習(xí)題二解答1計(jì)算1）；1213232AXX2）已知；求、。01A2A34解1）；2221121313323AXXAXAAX2）；。01A301A40A2設(shè)1），求。3220BB2），求。1ABCA1ACBA解1）；2）。2042223ABCCBACA3設(shè)是階實(shí)方陣，且。證明。AN0A證明設(shè)，則。從而。121212NNNAA121212NNNAA。212212210NNNAAAAA所以。因?yàn)?222112NNAAA為實(shí)數(shù)，故（）。即。IJ0IJ,IJ0A4設(shè)，互不相同。證明與可交換的矩陣12NAA12,NAA只能為對(duì)角矩陣。證明設(shè)與可交換的矩陣為，由得A121212NNNBBBAB。11212122122122NNNNNNABABAB即（）。由于互不相同，所以時(shí)，IJJIAB,J1,NAIJ。故。即為對(duì)角矩陣。0IJB120NBBB5證明任一方陣可表示成一對(duì)稱矩陣和一反對(duì)矩陣之和。證明設(shè)為方陣，記，則可知為對(duì)稱矩陣，A2A2ACB為反對(duì)稱矩陣。且。CB6設(shè)，定義，其中10MFAA10MFAAE是階方陣。已知，計(jì)算。AN2F2130AFA解。251802FAE7已知方陣滿足。證明及可逆，并求它們的逆矩7A2E陣。證明由，可得。所以可逆，且20AE7。同理由，可得。所以1727032可逆，且。213A8求下列矩陣的逆陣1）；2）；3）；31223104）；5）。1112解1）；2）；3）；351314143564）；5）。11842689已知，且，求。2013A2AB解由，可得。又B1E，所以。102132AE1205612AB10設(shè)是階方陣，如果對(duì)任意矩陣均有。證明。NNX證明記，取，由，可得（121212NNAAA100A10IA）。同理可得（）。從而。1,2I0IJA,1,IJN11已知4階方陣的行列式，求。A5A解因?yàn)?，兩邊取行列式有。所以E43512A。12設(shè)，分別為，階可逆方陣，證明分塊矩陣可逆，并求逆。BMN0CB證明因?yàn)?，可逆，所以，。故，從A0AB0A而可逆。記是的逆，則，0ACB12X0ACB0ACB12XE于是，解得。故矩陣的逆為1210EAXBC12110XBA0B。110A13設(shè)，其中，存在，求。XC1AC1X解因?yàn)椋缘哪鏋?00E0AC10C。14求下列矩陣的秩1）；2）；3231705414130233）。231ABC解1）2。2）4。3）當(dāng)時(shí)，秩為1；當(dāng)有某兩個(gè)相等時(shí)，ABC,ABC秩為2；當(dāng)互不相等時(shí)，秩為3。,ABC提高題1秩為的矩陣可表示為個(gè)秩為1的矩陣之和。RR證明設(shè)矩陣的秩，由推論結(jié)果可知存在可逆矩陣和使得APQ，即，其0REPQ1111000RREIIPQ中（）表示第行列元素為1、其余元素為0的階方陣。記KI1,2RKR（），則的秩為1，且。10KKAPQ,2RKA1KA2設(shè)矩陣的秩為1，證明MNA1）可表示成；1NMAB2）是一個(gè)數(shù)。AK證明1）因?yàn)榈闹葹?，所以存在某元素。記的第行元素為0IJAAI，則的任一行向量可由第行線性表示（否則與行向量線性無關(guān)，,NBI與的秩為1矛盾）。記依次為第1行、第行的表示系數(shù)，則有A1,NAN。1NMAB2）由1），所以1NMAAB11121NNNNMMMABABBAA（其中）。1NMKB1NK3設(shè)是階方陣，是矩陣，證明ANX11）的第個(gè)元素等于的第行元素之和；IAI2）如果可逆，且的每一行元素之和等于常數(shù)，則的每一行元素A1A之和也相等。證明1）記，則。121212NNNAAA121212NNNAAAX2）若的每一行元素之和等于常數(shù)，由1），由于AAAX可逆，所以。從而，即的每一行元素之和等于常數(shù)0A1XA1A1A。4證明1）上（下）三角矩陣的乘積仍是上（下）三角矩陣；2）可逆的上（下）三角矩陣的逆仍是上（下）三角矩陣。證明1）記，為上三角矩陣，。則IJNAAJKNBBCAB時(shí)，。對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)IJK0IJJSI0ISAKIS，即任意，。從而時(shí)，0SBSISKI。故上三角矩陣的乘積仍是上三角矩陣。10IKIJIINKCABA同理可證明下三角矩陣的情形。2）對(duì)可逆的上三角矩陣，（），12120NNAA0I1,2IN對(duì)于，先進(jìn)行第二類初等行12120001NNAAAE變換（），再作第三類初等行變換把左邊變成單位矩陣時(shí)，右1IRA,2邊即為上三角矩陣。亦即可逆的上三角矩陣的逆仍是上三角矩陣。5已知實(shí)三階方陣滿足1）；2）。求。AIJIJAA31AA解因?yàn)?，所以。由于，從而有。AE3AIJIJAAA于是或。01若，則，由于為實(shí)三階方陣，由習(xí)題3可得。00此與矛盾。從而。3AA6設(shè)，其中是非零矩陣。證明AE1N1）的充分必要條件是；22）當(dāng)時(shí)，是不可逆矩陣。1證明1）若，即有。又是非零矩22EE1N陣，所以是非零矩陣，從而，即。以上每步可N1逆，故命題成立。2）當(dāng)時(shí)，由1）