313導數(shù)的幾何意義

1、3.1.3導數(shù)的 幾何意義1,高二數(shù)學 選修1-1 第三章 導數(shù)及其應用,一、復習,導數(shù)的定義,其中：,其幾何意義是 表示曲線上兩點連線（就是曲線的割線）的斜率。,其幾何意義是？,P,Q,o,x,y,y=f(x),割線,切線,T,一、曲線上一點的切線的定義,結論:當Q點無限逼近P點時,此時 直線PQ就是P點處的切線PT.,點P處的割線與切線存在什么關系？,新授,設曲線C是函數(shù)y=f(x)的圖象，,在曲線C上取一點P(x0,y0),及鄰近一,點Q(x0+x,y0+y),過P,Q兩點作割,線，,當點Q沿著曲線無限接近于點P,點P處的切線。,即x0時, 如果割線PQ有一個極,限位置PT, 那么直線P

2、T叫做曲線在,曲線在某一點處的切線的定義,T,此處切線定義與以前的定義有何不同？,圓的切線定義并不適用于一般的曲線。 通過逼近的方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線（交點可能不惟一）適用于各種曲線。所以，這種定義才真正反映了切線的直觀本質。,M,x,y,割線與切線的斜率有何關系呢？,即：當x0時，割線PQ的斜率的極限，就是曲線在點P處的切線的斜率，,Q2,Q3,Q4,T,繼續(xù)觀察圖像的運動過程，還有什么發(fā)現(xiàn)？,當點Q沿著曲線無限接近點P即x0時,割線PQ有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線.,設切線的傾斜角為,那么當x0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜

3、率.,即:,這個概念:提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;切線斜率的本質函數(shù)平均變化率的極限.,要注意,曲線在某點處的切線: 1)與該點的位置有關; 2)要根據(jù)割線是否有極限來判斷與求解.如有極限,則在此點有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點處無切線; 3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點,可以有多個,甚至可以無窮多個.,函數(shù) y=f(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線 y=f(x)在點P(x0 ,f(x0)處的切線的斜率，即曲線y= f(x)在點P(x0 ,f(x0) 處的切線的斜率是 .,故曲線y=f(x)在點P(x0 ,f(x0)處的切線方程是:,題型三：導數(shù)的幾何

4、意義的應用,例1:（1）求函數(shù)y=3x2在點(1,3)處的導數(shù).,（2）求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.,題型三：導數(shù)的幾何意義的應用,h,t,o,二、函數(shù)的導數(shù)：,函數(shù)在點 處的導數(shù) 、導函數(shù) 、導數(shù) 之間的區(qū)別與聯(lián)系。 1）函數(shù)在一點 處的導數(shù) ，就是在該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)，不是變數(shù)。 2）函數(shù)的導數(shù)，是指某一區(qū)間內任意點x而言的， 就是函數(shù)f(x)的導函數(shù) 3）函數(shù)在點 處的導數(shù) 就是導函數(shù) 在 處的函數(shù)值，這也是 求函數(shù)在點 處的導數(shù)的方法之一。,課堂練習: 如圖（見課本P80.A6）已知函數(shù)的圖像，試畫出其導函數(shù)圖像的大

5、致形狀。 P80.B2：根據(jù)下面的文字敘述，畫出相應的路程關于時間的函數(shù)圖像的大致形狀。 （1）汽車在筆直的公路上勻速行駛； （2）汽車在筆直的公路上不斷加速行駛； （3）汽車在筆直的公路上不斷減速行駛；,x,y,o,P,Q,M,為什么與拋物線對稱軸平行的直線不是拋物線的切線？,思考：,P,Pn,割線,切線,T,當點Pn沿著曲線無限接近點P即x0時,割線PPn趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為點P處的切線.,例2:如圖,已知曲線 ,求: (1)點P處的切線的斜率; (2)點P處的切線方程.,即點P處的切線的斜率等于4.,(2)在點P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-1