初中數(shù)學(xué)：勾股定理的多種證明 (1)

1、初中數(shù)學(xué)：勾股定理的多種證明勾股定理的證明方法1做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，再做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形.從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是a + b，所以面積相等. 即a的平方加b的平方，加4乘以二分之一ab等于c的平方，加4乘以二分之一ab，整理得a的平方加b的平方等于c的平方。勾股定理的證明方法2以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于二分之一ab.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上，B、F、C三點(diǎn)在一條直線上，C、G、D三點(diǎn)在一條直線

2、上. RtHAE RtEBF, AHE = BEF. AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. HEF = 18090= 90.四邊形EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. 它的面積等于c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90.又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為a + b的正方形，它的面積等于a+b的平方。a加b的平方等于4乘二分之一ab，加上c的平方。 .a的平方加b的平方等于c的平方。勾股定理的證明方法3以a、b為直角邊（ba），以c為斜邊作四個(gè)全等的

3、直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于二分之一ab。把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀。 RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90， ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，它的面積等于c2. EF = FG =GH =HE = ba ,HEF = 90. EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為ba的正方形，它的面積等于b減a的平方。 4乘二分之一ab加上，b減a的平方等于c的平方。 a2+b2=c2(說明a2為a的平方)。勾股定理的證明方法4以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于二分之一ab。把這兩個(gè)直角三角形

4、拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上. RtEAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. DEC = 18090= 90. DEC是一個(gè)等腰直角三角形，它的面積等于二分之一c2.又 DAE = 90, EBC = 90, ADBC. ABCD是一個(gè)直角梯形，它的面積等于1/2(a+b)2.1/2(a+b)2=2x1/2ab+1/2c2. .a2+b2=c2.勾股定理的證明方法5做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b ，斜邊長(zhǎng)為c. 把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過C作AC的延

5、長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)P. D、E、F在一條直線上,且RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =18090= 90.又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. ABC + CBE = 90. RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD + CBE = 90.即 CBD= 90.又 BDE = 90，BCP = 90，BC = BD = a. BDPC是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形.同理，HPFG是一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形.設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則a2+b2=S+2 x 1/2

6、xabc2=S+2x1/2 x ab a2+b2=c2.勾股定理的證明方法6做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（ba） ，斜邊長(zhǎng)為c. 再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上.過點(diǎn)Q作QPBC，交AC于點(diǎn)P.過點(diǎn)B作BMPQ，垂足為M；再過點(diǎn)F作FNPQ，垂足為N. BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， BCPM是一個(gè)矩形，即MBC = 90. QBM + MBA = QBA = 90，ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC，又 BMP = 90，BCA =

7、90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA.同理可證RtQNF RtAEF.從而將問題轉(zhuǎn)化為【證法4】勾股定理的證明方法7做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BF、CD.過C作CLDE，交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)L. AF = AC，AB = AD，F(xiàn)AB = GAD， FAB GAD， FAB的面積等于1/2乘a2，GAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，矩形ADLM的面積 =a2.同理可證，矩形MLEB的面積 =b2.正方形ADEB的面積= 矩形ADLM的面積 +矩形MLEB的面積c2=a2+b2，即a2+b2=c2.勾

8、股定理的證明方法8如圖，在RtABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長(zhǎng)度分別為a、b，斜邊AB的長(zhǎng)為c，過點(diǎn)C作CDAB，垂足是D.在ADC和ACB中， ADC = ACB = 90，CAD = BAC， ADC ACB.ADAC = AC AB，即 AC2=ADAB.同理可證，CDB ACB，從而有BC2=BDAB .AC2+BC2=(AD+DB)AB=AB2 ，即a2+b2=c2.勾股定理的證明方法9做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（ba），斜邊長(zhǎng)為c. 再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形. 過A作AFAC，AF交GT于F，AF交DT于R. 過B作BPA

9、F，垂足為P. 過D作DE與CB的延長(zhǎng)線垂直，垂足為E，DE交AF于H. BAD = 90，PAC = 90， DAH = BAC.又 DHA = 90，BCA = 90，AD = AB = c， RtDHA RtBCA. DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知， PBCA是一個(gè)矩形，所以 RtAPB RtBCA. 即PB =CA = b，AP= a，從而PH = ba. RtDGT RtBCA ,RtDHA RtBCA. RtDGT RtDHA . DH = DG = a，GDT = HDA .又 DGT = 90，DHF = 90，GDH = GDT + TDH = H

10、DA+ TDH = 90， DGFH是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形. GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFPB是一個(gè)直角梯形，上底TF=ba，下底BP= b，高FP=a +（ba）.用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖），則以c為邊長(zhǎng)的正方形的面積為勾股定理的證明方法10設(shè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b（ba），斜邊的長(zhǎng)為c. 做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A、E、G三點(diǎn)在一條直線上. 用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖）. TBE = ABH = 90， TBH = ABE.又 BTH = BEA = 90，BT = BE = b， RtHB

11、T RtABE. HT = AE = a. GH = GTHT = ba.又 GHF + BHT = 90，DBC + BHT = TBH + BHT = 90， GHF = DBC. DB = EBED = ba，HGF = BDC = 90，勾股定理的證明方法11在RtABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長(zhǎng)線分別于D、E，則BD = BE = BC = a. 因?yàn)锽CA = 90，點(diǎn)C在B上，所以AC是B的切線. 由切割線定理，得AC2=AEAD=(AB+BE)(AB-BD)=(c+a)(c-a)=c2-a2,即b2=c2-a2, a2+b2=c2勾股定理的證明方法12在RtABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c（如圖）.過點(diǎn)A作ADCB，過點(diǎn)B作BDCA，則ACBD為矩形，矩形ACBD內(nèi)接于一個(gè)圓. 根據(jù)多列米定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線的乘積等于兩對(duì)邊乘積之和，有ABDC=ADBC+ACBD， AB = DC = c，AD = BC = a，AC = BD = b，AB2=BC2+AC2，即c