小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題 周長、面積

1、第9講 周長、面積、體積、表面積,梁 碧 湘,第一節(jié) 巧求周長,專題簡析： 對于一些不規(guī)則的比較復(fù)雜的幾何圖形，要求它們的周長，我們可以運用平移的方法，把它轉(zhuǎn)化為標準的長方形或正方形，然后再利用周長公式進行計算。 將一個大長方形或正方形分割成若干個長方形和正方形，那么圖形周長就會增加幾個長或?qū)?；反之，將若干個小長方形或正方形合成一個大長方形或正方形，圖形周長就會減少幾個長或?qū)挕?例題1 ： 下圖是一個樓梯的側(cè)面圖，求此圖 形的周長。,例題2 ：下圖是由6個邊長2厘米的正方形拼成的，這個圖形的周長是多少厘米？,分析：這題我們可以用平移的方法將它轉(zhuǎn)化 為一個長方形，如下圖：,例題3 ： 兩個大小相

2、同的正方形拼成一個 長方形后，周長比原來兩個正方形周長的和減 少了6厘米。原來一個正方形的周長是多少厘？,例題4： 將一張邊長為36厘米的正方形紙，剪成4個完全一樣的小正方形紙片，這4個小正方形周長的和比原來的正方形周長增加了多少厘米？,第二節(jié) 組合圖形的面積,第一專題簡析： 組合圖形是由兩個或兩個以上的簡單的幾何圖形組合而成的。組合的形式分為兩種：一是拼合組合，二是重疊組合。要正確解答組合圖形的面積，應(yīng)該注意以下幾點： 1，切實掌握有關(guān)簡單圖形的概念、公式，牢固建立空間觀念； 2，仔細觀察，認真思考，看清所求圖形是由哪幾個基本圖形組合而成的； 3，適當(dāng)采用增加輔助線等方法幫助解題； 4，采用

3、割、補、分解、代換等方法，可將復(fù)雜問題變得簡單。,例1 ： 一個等腰直角三角形，最長的邊是12厘米，這個三角形的面積是多少平方厘米？,分析與解答 ： 由于此三角形中只知道最長的邊是12厘米，所以，不能用三角形的面積公式來計算它的面積。我們可以假設(shè)有4個這樣的三角形，且拼成了下圖正方形。顯然，這個正方形的面積是1212，那么，一個三角形的面積就是12124=36平方厘米。,例3： 四邊形ABCD和四邊形DEFG都 是正方形，已知三角形AFH的面積是 7平方厘米。三角形CDH的面積是多少平方厘米？,分析 ： 設(shè)大正方形的邊長是a，小正方 形的邊長是b。 （1）梯形EFAD的面積是（a+b）b2，三

4、角形EFC的面積也是（a+b）b2。所以，兩者的面積相等。 （2）因為三角形AFH的面積=梯形EFAD的面積梯形EFHD的面積，而三角形CDH的面積=三角形EFC的面積梯形EFHD的面積，所以，三角形CDH的面積與三角形AFH的面積相等，也是7平方厘米。,例4 下圖中正方形的邊長為8厘米，CE為20厘米，梯形BCDF的面積是多少平方厘米？,分析 ：要求梯形的面積，關(guān)鍵是要求出上底FD的長度。連接FC后就能得到一個三角形EFC，用三角形EBC的面積減去三角形FBC的面積就能得到三角形EFC的面積：8202882=48平方厘米。FD=48220=4.8厘米，所求梯形的面積就是（4.88）82=51

5、.2平方厘米。,例5 圖中ABCD是長方形，長為6，寬為4， 三角形EFD的面積比三角形ABF的面積大6平方厘米，求ED的長。,分析： 因為三角形EFD的面積比三角形ABF的面積大6平方厘米，所以，三角形BCE的面積比長方形ABCD的面積大6平方厘米。三角形BCE的面積是646=30平方厘米，EC的長則是3026=10厘米。因此，ED的長是104=6厘米。,組合圖形的面積（二）,專題簡析： 在組合圖形中，三角形的面積出現(xiàn)的機會很多，解題時我們還可以記住下面三點： 1，兩個三角形等底、等高，其面積相等； 2，兩個三角形底相等，高成倍數(shù)關(guān)系，面積也成倍數(shù)關(guān)系； 3，兩個三角形高相等，底成倍數(shù)關(guān)系，

6、面積也成倍數(shù)關(guān)系。,例題2 下圖中，邊長為10和15的兩個正方體并放在一起，求三角形ABC（陰影部分）的面積。,分析 三角形ADC的面積是10152=75，而三角形ABC的高是三角形BCD高的1510=1.5倍，它們都以BC為邊為底，所以，三角形ABC的面積是三角形BCD的1.5倍。陰影部分的面積是：7.5（11.5）1.5=45。,例題3 ： 兩條對角線把梯形ABCD分割成四個 三角形。已知兩個三角形的面積（如圖所示），求另兩個三角形的面積各是多少？（單位： 平方厘米）,分析：,1，因為三角形ABD與三角形ACD等底等高，所以面積相等。因此，三角形ABO的面積和三角形DOC的面積相等，也是6

7、平方厘米。 2，因為三角形BOC的面積是三角形DOC面積的2倍，所以BO的長度是OD的2倍，即三角形ABO的面積也是三角形AOD的2倍。所以，三角形AOD的面積是62=3平方厘米。,例題4 ： 在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，陰影部分的面積是20平方厘米，求三角形ABC的面積。,分析,（1）因為CE=3AE，所以，三角形ADC的面積是三角形ADE面積的4倍，是20（13）=80平方厘為； （2）又因為DC=2BD，所以，三角形ABD的面積是三角形ADC面積的一半，是802=40平方厘米。因此，三角形ABC的面積是8040=120平方厘主。,復(fù)雜面積問題,專題簡析： 解答有關(guān)“圖形

8、面積”問題時，應(yīng)注意以下幾點： 1，細心觀察，把握圖形特點，合理地進行切拼，從而使問題得以順利地解決； 2，從整體上觀察圖形特征，掌握圖形本質(zhì)，結(jié)合必要的分析推理和計算，使隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化。,例4：街心花園中一個正方形的花壇四周有1米寬的水泥路，如果水泥路的總面積是12平方米，中間花壇的面積是多少平方米？,例1：街心花園中一個正方形的花壇四周有1 米寬的水泥路，如果水泥路的總面積是12平 方米，中間花壇的面積是多少平方米？,分析與解答：,把水泥路分成四個同樣大小的長方形（如下圖）。因此，一個長方形的面積是124=3平方米。因為水泥路寬1米，所以小長方形的長是31=3米。從圖中可以看出正方形

9、花壇的邊長是小長方形長與寬的差，所以小正方形的邊長是31=2米。中間花壇的面積是22=4平方米。,例2：一塊正方形的鋼板，先截去寬5分米的長方形，又截去寬8分米的長方形（如圖），面積比原來的正方形減少181平方分米。原正方形的邊長是多少？,分析與解答：,把陰影部分剪下來，并把剪下的兩個小長方形拼起來（如圖），再被上長、寬分別是8分米、5分米的小長方形，這個拼合成的長方形的面積是181+85=221平方分米，長是原來正方形的邊長，寬是8+5=13分米。所以，原來正方形的邊長是22113=17分米。,第三節(jié) 體積,專題簡析： 解答立體圖形的體積問題時，要注意以下幾點： （1）物體沉入水中，水面上升

10、部分的體積等于物體的體積。把物體從水中取出，水面下降部分的體積等于物體的體積。這是物體全部浸沒在水中的情況。如果物體不全部浸在水中，那么排開水的體積就等于浸在水中的那部分物體的體積。,解答立體圖形的體積問題時要注意：,（2）把一種形狀的物體變?yōu)榱硪环N形狀的物體后，形狀變了，但它的體積保持不變。 （3）求一些不規(guī)則形體體積時，可以通過變形的方法求體積。 （4）求與體積相關(guān)的最大、最小值時，要大膽想象，多思考、多嘗試，防止思維定勢。,例題1：有大、中、小三個正方體水池，它們的內(nèi)邊長分別為6米、3米、2米。把兩堆碎石分別沉在中、小水池里，兩個水池水面分別升高了6厘米和4厘米。如果將這兩堆碎石都沉在大

11、水池里，大水池的水面升高多少厘米？,分析：中、小水池升高部分是一個長方體，它的體積就等同于碎石的體積。兩個水池水面分別升高了6厘米和4厘米，兩堆碎石的體積就是330.06+220.04=0.7（立方米）。把它沉到大水池里，水面升高部分的體積也就是0.7立方米，再除以它的底面積就能求得升高了多少厘米。 330.06+220.04=0.7（立方米） 0.76的平方=7/360（米）=1又17/18（厘米）,例題2：一個底面半徑是10厘米的圓柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入長和寬都是8厘米、高是15厘米的一塊鐵塊，把鐵塊豎放在水中，水面上升幾厘米？,分析：,在瓶中放鐵塊要考慮鐵塊是全部沉入水中，還

12、是部分沉入水中。如果鐵塊是全部沉入水中，排開水的體積是8815=960（立方厘米）。而現(xiàn)在瓶中水深是8厘米，要淹沒15厘米高的鐵塊，水面就要上升158=7（厘米），需要排開水的體積是（3.14101088）7=1750（立方厘米），可知鐵塊是部分在水中。,分析：,當(dāng)鐵塊放入瓶中后，瓶中水所接觸的底面積就是3.14101088=250（平方厘米）。水的形狀變了，但體積還是3.1410108=2512（立方厘米）。水的高度是2512250=10.048（厘米），上升10.0488=2.048（厘米） 3.1410108（3.14101088）8 =25122508 =10.0488 =2.048（

13、厘米）,例題3：某面粉廠有一容積是24立方米的長方體儲糧池，它的長是寬或高的2倍。當(dāng)貼著它一最大的內(nèi)側(cè)面將面粉堆成一個最大的半圓錐體時，求這堆面粉的體積（如圖28-1所示）。,分析：,設(shè)圓錐體的底面半徑是r，則長方體的高和寬也都是r，長是2r。長方體的容積是2rrr=24，即r的立方=12。這個半圓錐體的體積是1/3r的平方r2=1/6r的立方，將r的立方=12代入，就可以求得面粉的體積。 設(shè)圓錐體的底面半徑是r，則長方體的容積是2rrr=24，r的立方=12。 1/33.14r的平方r2 =1/63.14r的立方 =1/63.1412 =6.28（立方米）,例題4：如果把12件同樣的長方體物

14、品打包，形成一件大的包裝物，有幾種包裝方法？怎樣打包物體的表面積最小呢？,分析：,設(shè)長方體物品的長、寬、高分別是a、b、c，并且abc（入土28-4）。比較“34”和“26”兩種包法。圖28-5中大長方體表面積為6ab+8ac+24bc，圖28-6中大長方體的表面積為4ab+12ac+24bc，兩個式子中都曲調(diào)相同的部分4ab+8ac+24bc后，式與式的大小要看2ab與4ac的大小。（1）當(dāng)b=2c時，2ab=￥ac，兩種包法相同。（2）當(dāng)b2c時，“34”的包法表面積最小。（3）當(dāng)b2c時，“26”的包法表面積最小。,例題5：一只集裝箱，它的內(nèi)尺寸是181818?，F(xiàn)在有批貨箱，它的外尺寸是

15、149。問這只集裝箱能裝多少只貨箱？,分析：因為集裝箱內(nèi)尺寸18不是貨箱尺寸4的倍數(shù)，所以，只能先在181618的空間放貨箱，可放181618（149）=144（只）。這時還有18218的空間，但只能在18216的空間放貨箱，可放18216（149）=16（只）。最后剩下1822的空間無法再放貨箱，所以最多能裝144+16=160（只）。 181618（149）+18216（149） =144+16 =160（只）,第4講 表面積,專題簡析：,小學(xué)階段所學(xué)的立體圖形主要有四種長方體、 正方體、圓柱體和圓錐體。 在解答立體圖形的表面積問題時，要注意以下幾點： （1）充分利用正方體六個面 的面積都

16、相等，每個面都是正方形的特點。 （2）把一個立體圖形切成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。反之，把兩個立體圖形粘合到一起，減少的表面積等于粘合面積的兩倍。 （3）若把幾個長方體拼成一個表面積最大的長方體，應(yīng)把它們最小的面拼合起來。若把幾個長方體拼成一個表面積最小的長方體，應(yīng)把它們最大的面拼合起來。,例題1：從一個棱長10厘米的正方體木塊上挖去一個長10厘米、寬2厘米、高2厘米的小長方體，剩下部分的表面積是多少？,這是一道開放題，分幾種情況考慮： 按圖27-1所示，沿著一條棱挖，剩下部分的表面積為592平方厘米。 按圖27-2所示，在某個面挖，剩下部分的表面積為632平方厘米。 按圖27

17、-3所示，挖通某兩個對面，剩下部分的表面積為672平方厘米。,例題2：把19個棱長為3厘米的正方體重疊起來，如圖27-4所示，拼成一個立體圖形，求這個立 體圖形的表面積。,要求這個復(fù)雜形體的表面積，必須從整體入手，從上、左、前三個方向觀察，每個方向上的小正方體各面就組合成了如下圖形（如圖27-5所示）。,而從另外三個方向上看到的面積與以上三個方向的面積是相等的。整個立體圖形的表面積可采用（S上+S左+S前）2來計算。 （339+338+3310）2 =（81+72+90）2 =2432 =486（平方厘米）,例題3：把兩個長、寬、高分別是9厘米、7厘米、4厘米的相同長方體，拼成一個 大長方體，

18、這個大長方體的表面積最少是多少平方厘米？,分析：把兩個相同的大長方體拼成一個大廠房體，需要把兩個相同面拼合，所得大廠房體的表面積就減少了兩個拼合面的面積。要使大長方體的表面積最小，就必須使兩個拼合面的面積最大，即減少兩個97的面。 （99+94+74）22972 =（63+36+28）4126 =508126 =382（平方厘米）,例題4：一個長方體，如果長增加2厘米，則體積增加40立方厘米；如果寬增加3厘米，則體積增加90立方厘米；如果高增加4厘米，則體積增加96立方里，求原長方體的表面積。,分析：我們知道：體積=長寬高；由長增加2厘米，體積增加40立方厘米，可知寬高=402=20（平方厘米）；由寬增加3厘米，體積增加90立方厘米，可知長高=903=30（平方厘米）；由高增加4厘米，體積增加96立方厘米，可知長寬=964=24（平方厘米）。而長方體的表面積=（長寬+長高+寬高）2=（20+30+24）2=148（平方厘米）。,即： 402=20（平方厘米） 903=30（平方厘米） 964=24（平方厘米） （30+20+24）2 =742 =14