常微分方程試題及答案

1、常微分方程模擬試題一、填空題（每小題3分，本題共15分） 1一階微分方程的通解的圖像是 2 維空間上的一族曲線 2二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解為方程的基本解組充分必要條件是 3方程的基本解組是 4一個(gè)不可延展解的存在在區(qū)間一定是 區(qū)間 5方程的常數(shù)解是 二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分） 6方程滿足初值問題解存在且唯一定理?xiàng)l件的區(qū)域是（ ）（A）上半平面 （B）xoy平面 （C）下半平面 （D）除y軸外的全平面 7. 方程（ ）奇解（A）有一個(gè) （B）有兩個(gè) （C）無 （D）有無數(shù)個(gè) 8連續(xù)可微是保證方程解存在且唯一的（ ）條件 （A）必要 （B）充分 （C）充分必要 （D）必要非充分

2、 9二階線性非齊次微分方程的所有解（ ） （A）構(gòu)成一個(gè)2維線性空間 （B）構(gòu)成一個(gè)3維線性空間 （C）不能構(gòu)成一個(gè)線性空間 （D）構(gòu)成一個(gè)無限維線性空間 10方程過點(diǎn)(0, 0)有（ B）(A) 無數(shù)個(gè)解(B) 只有一個(gè)解 (C) 只有兩個(gè)解(D) 只有三個(gè)解三、計(jì)算題（每小題分，本題共30分） 求下列方程的通解或通積分： 11. 12. 13. 14 15四、計(jì)算題（每小題10分，本題共20分） 16求方程的通解 17求下列方程組的通解 五、證明題（每小題10分，本題共20分） 18設(shè)在上連續(xù)，且，求證：方程的一切解，均有 19在方程中，在上連續(xù)，求證：若恒不為零，則該方程的任一基本解組的

3、朗斯基行列式是上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)常微分方程模擬試題參考答案 一、填空題（每小題3分，本題共15分） 12 2線性無關(guān)（或：它們的朗斯基行列式不等于零）3 4開 5 二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分） 6D 7C 8B 9C 10A 三、計(jì)算題（每小題分，本題共30分）11解： 為常數(shù)解 （1分） 當(dāng)，時(shí)，分離變量取不定積分，得 （3分） 通積分為 （6分）注：包含在常數(shù)解中，當(dāng)時(shí)就是常數(shù)解，因此常數(shù)解可以不專門列出。 13解： 方程兩端同乘以，得 （1分） 令 ，則，代入上式，得 （3分）這是一階線形微分方程，對(duì)應(yīng)一階線形齊次方程的通解為 （4分）利用常數(shù)變易法可得到一階線形微分方程的通

4、解為 （5分） 因此原方程通解為 （6分） 14解： 因?yàn)?，所以原方程是全微分方?（2分） 取，原方程的通積分為 （4分）計(jì)算得 （6分） 15解： 原方程是克萊洛方程，通解為 （6分） 四、計(jì)算題（每小題10分，本題共20分）16解： 對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為， （1分）特征根為， （2分）齊次方程的通解為 （4分） 因?yàn)槭翘卣鞲Ｋ?，設(shè)非齊次方程的特解為 （6分） 代入原方程，比較系數(shù)確定出 ， （9分） 原方程的通解為 （10分）17解： 齊次方程的特征方程為 （1分）特征根為 （2分）求得特征向量為 （3分）因此齊次方程的通解為 （4分） 令非齊次方程特解為 （5分）滿足 （6分）解得 （8分）積分，得 ， （9分）通解為 （10分） 五、證明題（每小題10分，本題共20分） 18證明： 設(shè)是方程任一解，滿足，該解的表達(dá)式為 （4分） 取極限 = （10分） 19證明： 設(shè)，是方程的基本