計(jì)算方法公式總結(jié)

1、計(jì)算方法公式總結(jié)緒論絕對誤差 ，為準(zhǔn)確值，為近似值。絕對誤差限 ，為正數(shù)，稱為絕對誤差限相對誤差 通常用表示相對誤差相對誤差限或有效數(shù)字一元函數(shù)y=f（x）絕對誤差 相對誤差 二元函數(shù)y=f（x1,x2）絕對誤差 相對誤差機(jī)器數(shù)系注：1. 2，且通常取2、4、6、82. n為計(jì)算機(jī)字長3. 指數(shù)p稱為階碼（指數(shù)），有固定上下限L、U4. 尾數(shù)部 ，定位部5. 機(jī)器數(shù)個數(shù)機(jī)器數(shù)誤差限舍入絕對 截斷絕對舍入相對 截斷相對秦九韶算法方程求根 ，為f（x）=0的m重根。二分法迭代法 k=0、1、2為迭代序列，為迭代函數(shù)， 局部收斂注：如果知道近似值，可以用近似值代替根應(yīng)用定理3判斷是否局部收斂牛頓迭代

2、法注：牛頓迭代對單根重根均局部收斂，只要初值足夠靠近真值。牛頓迭代法對初值要求很高，要保證初值在較大范圍內(nèi)也收斂，加如下四個條件注：證明牛頓迭代法大范圍收斂性，要構(gòu)造一個區(qū)間,M(),其中,在這個區(qū)間內(nèi)驗(yàn)證這四個條件。 如果知道根的位置，構(gòu)造，M（）時應(yīng)該包括根，即+常數(shù)線性方程組求解有兩種方法：消去法和迭代法高斯消去法利用線性代數(shù)中初等行變換將增廣矩陣轉(zhuǎn)化為等價上三角矩陣。注意：第一行第一列為0，將第一列不為0的某一行與第一行交換位置，繼續(xù)初等行變換。對角占優(yōu)矩陣則稱A為按行嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣 則稱A為按列嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣則稱A是對稱正定的。當(dāng)A是上面三種情況時，用高斯消去法消元時，不用換行。

3、追趕法是高斯消元法的一種特例列主元高斯消元法當(dāng)，即第k次消元把kn行第k列絕對值最大的行（s行）調(diào)到第k行，再進(jìn)行高斯消元。迭代序列構(gòu)造第三個等式為迭代序列，B為迭代矩陣。迭代收斂判別1. 充分條件：迭代矩陣范數(shù)小于1，結(jié)論：Ax=b有唯一解x* 2. 充要條件：迭代矩陣譜半徑小于1,Jacobi迭代法其中（low）為下三角，為上三角，為對角線元素迭代格式：迭代矩陣收斂性判據(jù)：求出最大值小于1（J的譜半徑小于1）即迭代格式收斂.Gauss-Seidel迭代法 迭代格式 迭代矩陣：常數(shù)矩陣：收斂性判據(jù)：求出最大值小于1（G的譜半徑小于1）即迭代格式收斂.結(jié)論：當(dāng)A是嚴(yán)格對角占優(yōu)的，則Jacobi

4、和Gauss-Seidal迭代法均是收斂的插值法用插值多項(xiàng)式p（x）代替被插函數(shù)f(x)插值多項(xiàng)式：，n+1個點(diǎn)插值區(qū)間：，插值點(diǎn)滿足求插值多項(xiàng)式P（x），即求多項(xiàng)式系數(shù)的過程為插值法帶入可知求系數(shù)的插值點(diǎn)行列式為范德蒙行列式，不為0，有唯一解。即n+1插值條件對應(yīng)的不超過n次的插值函數(shù)P（x）只有一個。一次線性插值Lagrange插值多項(xiàng)式插值余項(xiàng)非插值節(jié)點(diǎn)上Lagrange插值多項(xiàng)式為被插函數(shù)f(x)的近似值帶導(dǎo)數(shù)插值條件的余項(xiàng)估計(jì)注：推導(dǎo)過程用羅爾中值定理構(gòu)造輔助函數(shù)第二條性質(zhì)用于可以證明階數(shù)不大于n的f(x)的插值余項(xiàng)為0.差商和Newton插值法記憶方法：先記分母，最后一個減去第一個

5、，對應(yīng)的分子第一項(xiàng)是最后一個臨近 k元素的差商，第二項(xiàng)是第一個臨近k個元素的差商。牛頓插值多項(xiàng)式通常記作Nn（x）分段樣條插值分段二次樣條插值討論n為奇偶情況時的三個點(diǎn)余項(xiàng)估計(jì)式三次樣條插值函數(shù)第一類邊界條件（端點(diǎn)一階導(dǎo)數(shù)已知） D0等于第一個式子，dn等于第二個式子自然邊界條件（端點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)已知 二階導(dǎo)數(shù)和M0，Mn=0）曲線擬合最小二乘原理函數(shù)關(guān)于n個點(diǎn)線性無關(guān)注：線性無關(guān)的函數(shù)為才是最小二乘多項(xiàng)式注：記住公式即可。數(shù)值積分和數(shù)值微分為求積節(jié)點(diǎn)，為求積系數(shù)。插值求積公式梯形公式Simpson公式Cotes公式截斷誤差代數(shù)精度當(dāng)f(x)為不超過m次多項(xiàng)式時上式成立，f（x）為m+1多項(xiàng)式時上

6、式不成立。則稱為求積公式有m次代數(shù)精度。梯形公式代數(shù)精度為1，Simpson公式代數(shù)精度為3，Cotes公式代數(shù)精度為5截斷誤差梯形公式Simpson公式Cotes公式Gauss求積公式求積公式代數(shù)精度為2n+1-1,1上的兩點(diǎn)Gauss公式（3次代數(shù)精度）-1,1上的三點(diǎn)Gauss公式（5次代數(shù)精度）記住，的關(guān)系，查表即可復(fù)化梯形公式2階，復(fù)化Simpson公式4階，復(fù)化Cote公式6階計(jì)算機(jī)通過不斷把區(qū)間二分，所得前后兩次積分差值滿足精度條件即可給定精度，時因而可以取為的近似值。梯形Simpson數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分截斷誤差中點(diǎn)公式：常微分方程數(shù)值解法Euler方法歐拉公式（單步顯式公式）求出的