講義矩形和菱形

1、龍文教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員姓名： 年級：八年級 教師: 制作人：孫發(fā)青課 題矩形和菱形教學(xué)目標(biāo)1、探索并掌握矩形、菱形的定義、性質(zhì)和判定方法2、靈活運用矩形、菱形的性質(zhì)和判定解決有關(guān)問題3、知道矩形、菱形是特殊的平行四邊形4、體驗矩形、菱形的特征和它的判別在實際生產(chǎn)和生活中的應(yīng)用5、在學(xué)習(xí)中感受轉(zhuǎn)化的思想，體驗發(fā)現(xiàn)規(guī)律的樂趣重點、難點重點：矩形、菱形的定義、性質(zhì)和判定方法難點：運用相關(guān)知識解決相關(guān)問題考點及考試要求矩形、菱形的定義、性質(zhì)和判定方法教學(xué)內(nèi)容考點一：矩形【知識點總結(jié)】1矩形的定義：有一個角是直角的 是矩形（矩形是特殊的平行四邊形）。DCBA2、矩形的性質(zhì)：矩形具有平行四邊形的一切

2、性質(zhì)。 （1）邊：對邊 且 。 （2）角：四個角都是 。 （3）對角線：互相 且 。3、矩形的判定：（1）有一個角是直角的 。 （2）對角線相等的 。 （3）有三個角是 的四邊形。 注意：矩形被兩條對角線分成的四個小三角形都是 三角形且面積相等。 矩形是軸對稱圖形，兩組對邊的 線是它的對稱軸?！净A(chǔ)知識訓(xùn)練】1矩形是面積的60，一邊長為5，則它的一條對角線長等于 。2矩形的兩條對角線的交角之一是60，矩形較短的邊與一條對角線長度之和為12cm，則對角線的長為 ，較短的邊的長為 ，較長的邊的長為 。3.平行四邊形沒有而矩形具有的性質(zhì)是（ ） A、對角線相等B、對角線互相垂直C、對角線互相平分D、

3、對角相等4矩形各內(nèi)角平分線所圍成的四邊形是（ ） A、矩形 B、平行四邊形 C、正方形 D、菱形【典型例題】(2011浙江紹興，15，5分) 取一張矩形紙片按照圖1、圖2中的方法對折，并沿圖3中過矩形頂點的斜線（虛線）剪開，那剪下的這部分展開，平鋪在桌面上，若平鋪的這個圖形是正六邊形，則這張矩形紙片的寬和長之比為 . 【答案】例1. 如圖，菱形ABCD中，AC和BD交于點O，OEAB于E，OFBC于F，OGCD于G，OHAD于H，試說明四邊形EFGH為矩形。分析：四邊形EFGH與已知條件有關(guān)的主要是對角線，如果能夠證明對角線EG和HF相等且互相平分，那么就能夠判定四邊形EFGH是矩形，根據(jù)菱形

4、的對角線平分每一組對角，知AC是DAB和DCB的角平分線，DE是ADC和ABC的角平分線，因為OEAB，OFBC，OGCD，OHAD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)很容易得出OEOFOGOH 解：四邊形ABCD是菱形 AC、BD平分對角 O點在DAB、BCD、CDA、ABC的角平分線上 又OEAB，OFBC，OGCD，OHAD OEOFOGOH 又AB/CD OECD 又OGOD 直線OE與OG重合 即E、O、G三點共線 同理可證H、O、F共線 EFGH是平行四邊形 又HF=EG 四邊形EFGH是矩形 點撥：（1）用定義判定一個四邊形是矩形必須同時滿足兩個條件：一是有一個角是直角；二是平行四邊形。 （2）

5、用對角線判定一個四邊形是矩形也必須同時滿足兩個條件：一是對角線相等，二是平行四邊形。DACBHGFE例2如圖，ABCD中，AE、BF、CG、DH分別是各內(nèi)角的平分線，E、F、G、H為它們的交點，求證：四邊形EFGH的矩形。例3如圖，已知矩形ABCD的兩條對角線相交于O，AB=4cm，求此矩形的面積。ABOCD例4如圖，矩形ABCD中，E為垂足，則等于多少？DAOBCE【鞏固練習(xí)】1、在矩形中，對角線具有的性質(zhì)是（ ）A相等且互相垂直B相等且互相平分 C互相垂直且互相平分D互相垂直且平分內(nèi)角2、下列說法錯誤的是（ ）（A）矩形的對角線互相平分 （B）矩形的對角線相等（C）有一個角是直角的四邊形是

6、矩形 （D）有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形3、矩形的對角線把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ） （A）2對 （B）4對 （C）6對 （D）8對4、矩形的定義中有兩個條件：一是 ，二是 已知矩形的一條對角線與一邊的夾角為 30，則矩形兩條 對角線相交所得的四個角的度數(shù)分為 、 、 、 已知矩形的一條對角線長為10cm， 兩條對角線的一 個交角 為120，則矩形的邊長分別為 cm， cm， cm， cm5. （2011甘肅蘭州，20，4分）如圖，依次連結(jié)第一個矩形各邊的中點得到一個菱形，再依次連結(jié)菱形各邊的中點得到第二個矩形，按照此方法繼續(xù)下去。已知第一個矩形的面積為1，則第n個矩形的面

7、積為 。【答案】6. （2011四川綿陽17，4）如圖，將長8cm，寬4cm的矩形紙片ABCD折疊，使點A與C重合，則折痕EF的長為_cm.【答案】2AEBFODC7.如圖，矩形ABCD中，CE平分，求的度數(shù)。8、如圖，矩形紙片中，現(xiàn)將重合使紙片折疊壓平，設(shè)折痕為，則重疊部分的面積為多少？FDCBE考點二：菱形知識點一：菱形的定義：有一組鄰邊相等的 叫做菱形知識點二：菱形的性質(zhì)菱形是特殊的 ，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，還具有自己獨特的性質(zhì)： 邊的性質(zhì)：對邊平行且四邊相等 角的性質(zhì)：鄰角互補，對角相等 對角線性質(zhì)：對角線互相垂直平分且每條對角線平分一組對角 對稱性：菱形是中心對稱圖形，也是軸對

8、稱圖形菱形的面積等于底乘以高，等于對角線乘積的一半點評：其實只要四邊形的對角線互相垂直，其面積就等于對角線乘積的一半知識點三：菱形的判定判定：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形判定：四邊相等的四邊形是菱形知識點四：菱形的對稱性菱形是一個軸對稱圖形，有 條對稱軸?！净A(chǔ)知識訓(xùn)練】1、菱形的兩條對角線將菱形分成全等三角形的對數(shù)為 。2、在下列命題中，真命題是（）兩條對角線相等的四邊形是矩形 兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形3已知菱形的兩條對角線長為10cm和24cm, 那么這個菱形的周

9、長為_, 面積為_.4、將兩張長10cm寬3cm的長方形紙條疊放在一起, 使之成60度角, 那么重疊部分的面積的最大值為_.【典型例題】【例1】、（2011浙江省嘉興，10，4分）如圖，五個平行四邊形拼成一個含30內(nèi)角的菱形EFGH（不重疊無縫隙）若四個平行四邊形面積的和為14cm2，四邊形ABCD面積是11cm2，則四個平行四邊形周長的總和為（ ）（A）48cm（B）36cm （C）24cm （D）18cm（第10題）【例2】、（2011廣東廣州市，18，9分） 如圖4，AC是菱形ABCD的對角線，點E、F分別在邊AB、AD上，且AE=AF 求證：ACEACF圖4ABCDEF【例3】菱形的周

10、長為，兩鄰角度數(shù)之比為，則菱形較短的對角線的長度為 【鞏固】 如圖2，在菱形中，則菱形的邊長為（ ）A B C D【例4】菱形中，、分別是、的中點，且，那么等于 【鞏固】 如圖，將一個長為，寬為的矩形紙片對折兩次后，沿所得矩形兩鄰邊中點的連線（虛線）剪下，再打開，得到的菱形的面積為（ ）A B CD【例4】已知菱形的兩條對角線的乘積等于菱形的一條邊長的平方，則菱形的一個鈍角的大小是 【鞏固】如圖，菱形花壇的周長為，沿著菱形的對角線修建了兩條小路和，求兩條小路的長和花壇的面積菱形的判定【例1】 如圖，如果要使平行四邊形成為一個菱形，需要添加一個條件，那么你添加的條件是 【例2】 如圖，在中，平分

11、，的中垂線交于點，交于點，求證：四邊形是菱形【鞏固】 已知：如圖，平行四邊形的對角線的垂直平分線與邊、分別相交于 、.求證：四邊形是菱形.【例3】 如圖，是菱形的邊的中點，于，交的延長線于，交于，證明：與互相平分【鞏固】 如圖，是矩形內(nèi)的任意一點，將沿方向平移，使與重合，點移動到點的位置畫出平移后的三角形；連結(jié)，試說明四邊形的對角線互相垂直，且長度分別等于的長；當(dāng)在矩形內(nèi)的什么位置時，在上述變換下，四邊形是菱形？為什么？【鞏固】(湖南湘西24,10分)如圖,已知矩形ABCD的兩條對角線相交于O,ACB=30,AB=2.(1)求AC的長.(2)求AOB的度數(shù).(3)以O(shè)B、OC為鄰邊作菱形OBE

12、C,求菱形OBEC的面積.【綜合題】已知等腰中，平分交于點，在線段上任取一點（點除外），過點作，分別交、于、點，作，交于點，連結(jié).求證四邊形為菱形當(dāng)點在何處時，菱形的面積為四邊形面積的一半？ 考點三：矩形和菱形的綜合應(yīng)用例（2011山東德州16,4分）長為1，寬為a的矩形紙片（），如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去若在第n此操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止當(dāng)n=3時，a的值為_第一次操作第二次操作練習(xí)1：(2011江蘇南京，21，7分)如圖，將ABCD的

13、邊DC延長到點E，使CE=DC，連接AE，交BC于點F求證：ABFECF若AFC=2D，連接AC、BE求證：四邊形ABEC是矩形ABCDEF(第21題)練習(xí)2（2011湖南衡陽，26，10分）如圖，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m(m4)，點P是AB邊上的任意一點（不與A、B重合），連結(jié)PD，過點P作PQPD，交直線BC于點Q(1)當(dāng)m=10時，是否存在點P使得點Q與點C重合？若存在，求出此時AP的長；若不存在，說明理由；(2)連結(jié)AC，若PQAC,求線段BQ的長（用含m的代數(shù)式表示）(3)若PQD為等腰三角形，求以P、Q、C、D為頂點的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范

14、圍練習(xí)3已知：如圖，C是線段BD上一點，ABC和ECD都是等邊三角形，R、F、G、H分別是四邊形ABDE各邊的中點，求證：四邊形RFGH是菱形?！菊n后作業(yè)】一、填空題：1、若矩形的對稱中心到兩邊的距離差為4，周長為56，則這個矩形的面積為 。2、已知菱形的銳角是600，邊長是20cm，則較短的對角線長是 cm。3、如圖，矩形ABCD中，O是對角線的交點，若AEBD于E，且OEOD12，AEcm，則DE cm。4、如圖，P是矩形ABCD內(nèi)一點，PA3，PD4，PC5，則PB 。5、如圖，在菱形ABCD中，BEAF600，BAE200，則CEF 。 二、選擇題：6、在矩形ABCD的各邊AB、BC、

15、CD、DA上分別取點E、F、G、H，使EFGH為矩形，則這樣的矩形（ ） A、僅能作一個 B、可以作四個C、一般情況下不可作 D、可以作無窮多個7、如圖，在矩形ABCD中，AB4cm，AD12cm，P點在AD邊上以每秒1 cm的速度從A向D運動，點Q在BC邊上，以每秒4 cm的速度從C點出發(fā)，在CB間往返運動，二點同時出發(fā)，待P點到達D點為止，在這段時間內(nèi)，線段PQ有（ ）次平行于AB。 A、1 B、2 C、3 D、4 8、如圖，已知矩形紙片ABCD中，AD9cm，AB3cm，將其折疊，使點D與點B重合，那么折疊后DE的長和折痕EF的長分別是（ ） A、4cm、cm B、5cm、cm C、4c

16、m、cm D、5cm、cm9、給出下面四個命題：對角線相等的四邊形是矩形；對角線互相垂直的四邊形是菱形；有一個角是直角且對角線互相平分的四邊形是矩形；菱形的對角線的平方和等于邊長平方的4倍。其中正確的命題有（ ） A、 B、 C、 D、10、平行四邊形四個內(nèi)角的平分線，如果能圍成一個四邊形，那么這個四邊形一定是（ ） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、等腰梯形三、解答題：11、如圖，在矩形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上一點，AF的延長線交DC的延長線于點G，DEAG于E，且DEDC，根據(jù)上述條件，請在圖中找出一對全等三角形，并證明你的結(jié)論。 12、如圖，在ABC中，ACB900，CD是AB邊上的高

17、，BAC的平分線AE交CD于F，EGAB于G，求證：四邊形GECF是菱形。13、如圖，以ABC的三邊為邊在BC的同一側(cè)分別作三個等邊三角形，即ABD、BCE、ACF。請回答下列問題（不要求證明）：（1）四邊形ADEF是什么四邊形？（2）當(dāng)ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形？（3）當(dāng)ABC滿足什么條件時，以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在？ 思考題（有能力的學(xué)生完成）（2011江蘇鹽城，27，12分）情境觀察 將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到ABC和ACD，如圖1所示.將ACD的頂點A與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點D、A(A)、B在同一條直線上，如圖2所示觀察圖2可

18、知：與BC相等的線段是 ，CAC= 圖1 圖2問題探究如圖3，ABC中，AGBC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q. 試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.圖3圖4拓展延伸如圖4，ABC中，AGBC于點G，分別以AB、AC為一邊向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點H. 若AB= k AE，AC= k AF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.部分參考答案（2011江蘇泰州，28，12分）【答案】解：（1）當(dāng)BAO=45時，PAO=90，在RtAOB中，

19、OAAB，在RtAPB中，PAAB。點P的坐標(biāo)為（，）（2）過點P分別作x軸、y軸的垂線垂足分別為M、N，則有PMA=PNB=NPM=BPA=90，MPA=NPB，又PAPB，PAMPBN，PM=PN，于是，點P都在AOB的平分線上；（3）h。當(dāng)點B與點O重合時，點P到AB的距離為，然后頂點A在x軸正半軸上向左運動，頂點B在y軸正半軸上向上運動時，點P到AB的距離逐漸增大，當(dāng)BAO=45時，PAx軸，這時點P到AB的距離最大為，然后又逐漸減小到，x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O ，點P到x軸的距離的取值范圍是h。(2011江蘇南京，21，7分)【答案】證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

20、ABCD,AB=CDABF=ECF.EC=DC, AB=EC在ABF和ECF中，ABF=ECF，AFB=EFC，AB=EC，ABFECF（2）解法一：AB=EC ，ABEC，四邊形ABEC是平行四邊形AF=EF， BF=CF四邊形ABCD是平行四邊形，ABC=D，又AFC=2D，AFC=2ABCAFC=ABF+BAF，ABF=BAFFA=FB FA=FE=FB=FC, AE=BC口ABEC是矩形解法二：AB=EC ，ABEC，四邊形ABEC是平行四邊形四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，D=BCE又AFC=2D，AFC=2BCE，AFC=FCE+FEC，F(xiàn)CE=FECD=FECAE=AD又C

21、E=DC，ACDE即ACE=90口ABEC是矩形2011江蘇南通，26，10分【答案】（1）AEBF證明：如圖2，在正方形ABCD中， ACBDAODAOB90即AOEAOFBOFAOFAOEBOF又OAOBOD，OE2OD，OF2OAOEOFOAEOBFAEBF（2）作AOE的中線AM，如圖3.則OE2OM2OD2OAOAOM30AOM60AOM為等邊三角形MAMOME，又AMO即26030AOE306090AOE為直角三角形.2011湖南衡陽，26，10分【解】(1) 假設(shè)當(dāng)m=10時，存在點P使得點Q與點C重合（如下圖），PQPDDPC=90，APDBPC=90，又ADPAPD=90，BPC=ADP，又B=A=90，PBCDAP，或8，存在點P使得點Q與點C重合，出此時AP的長2 或8(2) 如下圖，PQAC，BPQ=BAC，BPQ=ADP，BAC=ADP，又B=DAP=90，ABCDAP，即，PQAC，BPQ=BAC，B=B，PBQABC，即，(3)由已知 PQPD，所以只有當(dāng)DP=PQ時，PQD為等腰三角形（如圖），BPQ=ADP，又B=A=90，PBQDAP，PB=DA=4，AP=BQ=，以P、Q、C、D為頂點的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式為：S四邊形PQCD= S矩形ABCDSDAPSQBP=16（48）2011江蘇鹽城，27，12分【答案】情境觀察AD（