隨機過程復習題

1、3、（10分）某商店顧客的到來服從強度為4人每小時的Poisson過程，已知商店9：00開門，試求：（1）在開門半小時中，無顧客到來的概率；（2）若已知開門半小時中無顧客到來，那么在未來半小時中，仍無顧客到來的概率。3、解：設顧客到來過程為N(t), t=0，依題意N(t)是參數(shù)為l的Poisson過程。（1）在開門半小時中，無顧客到來的概率為：（2）在開門半小時中無顧客到來可表示為，在未來半小時仍無顧客到來可表示為，從而所求概率為：4、（15分）設某廠的商品的銷售狀態(tài)（按一個月計）可分為三個狀態(tài)：滯銷（用1表示）、正常（用2表示）、暢銷（用3表示）。若經(jīng)過對歷史資料的整理分析，其銷售狀態(tài)的變

2、化（從這月到下月）與初始時刻無關，且其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為pij（pij表示從銷售狀態(tài)i經(jīng)過一個月后轉(zhuǎn)為銷售狀態(tài)j的概率），一步轉(zhuǎn)移矩陣為：試對經(jīng)過長時間后的銷售狀況進行分析。4、解答：由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣可知狀態(tài)互通，且pii0，從而所有狀態(tài)都是遍歷狀態(tài)，于是極限分布就是平穩(wěn)分布。設平穩(wěn)分布為p=p1，p2，p3，求解方程組：p=pP, p1+p2+p3=1即：得：即極限分布為：由計算結(jié)果可以看出：經(jīng)過相當長時間后，正常銷售狀態(tài)的可能性最大，而暢銷狀態(tài)的可能性最小。3簡述Poisson過程的隨機分流定理答：設為強度為的poisson過程，如果把其相應的指數(shù)流看成顧客流，用與此指數(shù)流相互獨立的概率p,

3、把每個到達的顧客，歸入第一類，而以概率1-p 把他歸入第二類。對i=1,2,記 為t前到達的第i類顧客數(shù)，那么分別為強度為p與（1-p）的poisson過程，而且這兩個過程相互獨立。4簡述Markov鏈與Markov性質(zhì)的概念答：如果隨機變量是離散的，而且對于及任意狀態(tài) ，該隨機序列為Markov鏈，該對應的性質(zhì)為Markov性質(zhì)。5. 簡述Markov狀態(tài)分解定理答：(1) Markov鏈的狀態(tài)空間S可惟一分解為 ，其中T為暫態(tài)的全體，而為等價常返類。（2）若Markov鏈的初分布集中在某個常返類上，則此Markov鏈概率為1地永遠在此常返類中，也就是說，它也可以看成狀態(tài)空間為的不可約Mar

4、kov鏈。7 什么是隨機過程，隨機序列？答：設T為0，+）或（-，+），依賴于t(tT)的一族隨機變量（或隨機向量）通稱為隨機過程，t稱為時間。當T為整數(shù)集或正整數(shù)集時，則一般稱為隨機序列。8 .什么是時齊的獨立增量過程？答：稱隨機過程：t0為獨立增量過程，如果對于起始隨機變量及其后的增量是相互獨立的隨機變量組；如果的分布不依賴于s, 則此獨立增量過程又稱為時齊的獨立增量過程。4設隨機過程X是標準正態(tài)分布的隨機變量。試求數(shù)學期望，方差，相關函數(shù)，協(xié)方差。解：因為，（1）所以 （2） （2） （2） 2.設顧客以每分鐘2人的速率到達，顧客流為泊松流，求在2分鐘內(nèi)到達的顧客不超過3人的概率。解：設

5、是顧客到達數(shù)的泊松過程，故，則3、（10分）設到達某商場的顧客人數(shù)是一個泊松過程，平均每小時有180人，即；且每個顧客的消費額是服從參數(shù)為的指數(shù)分布。求一天內(nèi)（8個小時）商場營業(yè)額的數(shù)學期望與方差。由題意可知，每個顧客的消費額是服從參數(shù)為的指數(shù)分布，由指數(shù)分布的性質(zhì)可知：，故，則由復合泊松過程的性質(zhì)可得：一天內(nèi)商場營業(yè)額的數(shù)學期望；一天內(nèi)商場營業(yè)額的方差。6、（15分）設是參數(shù)為的泊松過程，計算。【解答】 2.1 設隨機過程為常數(shù)，求的一維概率密度、均值和相關函數(shù)。解 因，所以，也服從正態(tài)分布，所以，的一維概率密度為，均值函數(shù) 相關函數(shù) 2.4 設有隨機過程，其中為常數(shù)，是相互獨立且服從正態(tài)分

6、布的隨機變量，求隨機過程的均值和相關函數(shù)。解 因獨立，所以，均值 相關函數(shù) 2 獨立地重復拋擲一枚硬幣，每次拋擲出現(xiàn)正面的概率為，對于，令，這些值分別對應于第n-1次和第n次拋擲的結(jié)果為（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），求馬爾可夫鏈的一步和二步轉(zhuǎn)移概率矩陣。解 對應狀態(tài)為 ，（正，反），（反，正），（反，反），（不可能事件）（不可能事件）同理可得下面概率，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為二步轉(zhuǎn)移概率矩陣為8 某商品六年共24個季度銷售記錄如下表（狀態(tài)1暢銷，狀態(tài)2滯銷）季節(jié)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12銷售狀態(tài)1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2季節(jié)13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24銷售狀態(tài)1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1以頻率估計概率，求（1）銷售狀態(tài)的初始分布，（2）三步轉(zhuǎn)移概率矩陣及三步轉(zhuǎn)移后的銷售狀態(tài)的分布。解 狀態(tài)1的個數(shù)為15個，狀態(tài)2的個數(shù)為9個（1）所以，銷售狀態(tài)的初始分布為 （2）求一步轉(zhuǎn)移概率狀態(tài)共有7個，狀態(tài)共有7個，狀態(tài)共有7個