立體幾何解題方法技巧

1、專題六 立體幾何解題方法技巧一、內容提要：立體幾何需要我們去解決的問題概括起來就是三個方面，證明位置關系、求距離和求角；具體內容見下表：立體幾何提 要主 要 內 容重 點 內 容位置關 系 兩條異面直線相互垂直、直線與平面平行、直線與平面斜交、直線與平面垂直、兩個平面斜交、兩個平面相互垂直兩條異面直線相互垂直、直線與平面平行、直線與平面垂直、兩個平面相互垂直距 離兩條異面直線的距離、點到平面的距離、直線到平面的距離、兩個平面的距離兩條異面直線的距離、點到平面的距離角 度兩條異面直線所成的角、直線和平面所成的角、二面角兩條異面直線所成的角、直線和平面所成的角、二面角二、主要解題方法：（一）位置關

2、系1、兩條異面直線相互垂直 證明方法：證明兩條異面直線所成角為90；證明兩條異面直線的方向量相互垂直2、直線和平面相互平行證明方法：證明直線和這個平面內的一條直線相互平行；證明這條直線的方向量和這個平面內的一個向量相互平行；證明這條直線的方向量和這個平面的法向量相互垂直。3、直線和平面垂直證明方法：證明直線和平面內兩條相交直線都垂直，證明直線的方向量與這個平面內不共線的兩個向量都垂直；證明直線的方向量與這個平面的法向量相互平行。4、平面和平面相互垂直證明方法：證明這兩個平面所成二面角的平面角為90；證明一個平面內的一條直線垂直于另外一個平面；證明兩個平面的法向量相互垂直。（二）求距離求距離的重

3、點在點到平面的距離，直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉化成點到平面的距離，一個點到平面的距離也可以轉化成另外一個點到這個平面的距離。1、兩條異面直線的距離求法：如果知道兩條異面直線的公垂線，那么就轉化成求公垂線段的長度，線段長度的求法也可以用向量來幫助解決，求線段AB的長度，可以利用來幫助解決，但是前提條件是我們要知道的模和每兩個向量所成的角。利用公式（其中A、B分別為兩條異面直線上的一點，為這兩條異面直線的法向量）2、點到平面的距離求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。等體積法。向量法，利用公式（其中A為已知點，B為這個平面內的任意一點，這個平面的法向量）（三）求角1、兩條異

4、面直線所成的角求法：先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形去求得；通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是，向量所成的角范圍是，如果求出的是鈍角，要注意轉化成相應的銳角。2、直線和平面所成的角求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。向量法，先求直線的方向量于平面的法向量所成的角，那么所要求的角為或3、平面與平面所成的角求法：“一找二證三求”，找出這個二面角的平面角，然后再來證明我們找出來的這個角是我們要求的二面角的平面角，最后就通過解三角形來求。通過射影面積來求（在其中一個平面內找出一個三角形，然后找這個三角

5、形在另外一個平面的射影，那么這個三角形的射影面積與原三角形面積之比即為cos，注意到我們要求的角為或）；向量法，先求兩個平面的法向量所成的角為，那么這兩個平面所成的二面角的平面角為或。 我們現(xiàn)在來解決立體幾何的有關問題的時候，注意到向量知識的應用，如果可以比較容易建立坐標系，找出各點的坐標，那么剩下的問題基本上就可以解決了，如果建立坐標系不好做的話，有時求距離、角的時候也可以用向量，運用向量不是很方便的時候，就用傳統(tǒng)的方法了！三、注意的問題：1、我們現(xiàn)在提倡用向量來解決立體幾何的有關問題，但是當運用向量不是很方便的時候，傳統(tǒng)的解法我們也要能夠運用自如。2、我們如果是通過解三角形去求角、距離的時

6、候，做到“一找二證三求”，解題的過程中一定要出現(xiàn)這樣一句話，“是我們所要求的角”、“線段AB的長度就是我們所要求的距離”等等。讓人看起來一目了然。3、用向量來求兩條異面直線所成角時，若求出cosx，則這兩條異面直線所成的角為arccos|x|4、在求直線與平面所成的角的時候，法向量與直線方向量所成的角或者法向量與直線的方向量所成角的補交與我們所要求的角互余，所以要或，若求出的角為銳角，就用，若求出的鈍角，就用。5、求平面與平面所成角的時，若用第、種方法，先要去判斷這個二面角的平面角是鈍角還是銳角，然后再根據(jù)我們所作出的判斷去取舍?！緦ｎ}訓練】1、已知三棱錐PABC中PB底面ABC，PB=BC=

7、CA=a，E是PC的中點，點F在PA上，且3PF=FA. （1）求證：平面PACPBC； （2）求平面BEF與底面ABC所成角（用一個反三角函數(shù)值表示）.2、如圖，四棱錐PABCD的底面是正方形,PA底面ABCD，PA=AD=2，點M、N分別在棱PD、PC上，且PC平面AMN.（1）求證：AMPD；（2）求二面角PAMN的大小；（3）求直線CD與平面AMN所成角的大小.3、如圖，平面ABCD平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是EF的中點， （1）求證平面AGC平面BGC； （2）求GB與平面AGC所成角的正弦值. （3）求二面角BACG的大小.4、如圖，在正方體中，是棱的中點

8、，為平面ACBDHzEA1D1B1C1yx內一點，。（1）證明平面；（2）求與平面所成的角；（3）若正方體的棱長為，求三棱錐的體積。在，在即平面BEF與底面ABC所成二面角的大小為 若利用面積射影法，指出HDB是EFB在底面ABC上的射影，并計算出其面積7分 計算出 即平面BEF與底面ABC所成二面角的大小為 2、（1）證明：ABCD是正方形，CDAD，PA底面ABCD，PACD.CD平面PAD AM平面PAD，CDAM.PC平面AMN，PCAM.AM平面PCD.AMPD. （2）解：AM平面PCD（已證）.AMPM，AMNM.PMN為二面角P-AM-N的平面角.PN平面AMN，PNNM.在直角PCD中，CD=2，PD=2，PC=2.PA=AD，AMPD，M為PD的中點，PM=PD=由RtPMNRtPCD，得 .即二面角PAMN的大小為.3、（1）證明：正方形ABCD 面ABCD面ABEF且交于AB，CB面ABEF AG，GB面ABEF， CBAG，CBBG又AD=2a，AF= a，ABEF是矩形，G是EF的中點，AG=BG=，AB=2a， AB2=AG2+BG2，AGBG CGBG=B AG平面CBG 而AG面AGC， 故平面AGC平面BGC （2）解：如圖，由（）知面AGC面B