垂直平分線.ppt

1、194線段的垂直平分線,普陀區(qū)教育學(xué)院附屬中學(xué) 余晴,知識(shí)回顧,什么是線段的垂直平分線？,過(guò)線段中點(diǎn)且垂直于這條線 段的直線，簡(jiǎn)稱中垂線,如何畫線段的垂直平分線呢？,線段的垂直平分線 （線段的中垂線）,P,P,PA=PB,？,如果一個(gè)點(diǎn)在一條線段的垂直平分線上，那么分別聯(lián)結(jié)這點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)所得的兩條線段相等.,已知：如圖，直線MN是線段AB的垂直平分線，垂足是點(diǎn)C，點(diǎn)P在直線MN上.,求證：PA=PB.,(1)證明：,直線MN是線段AB的垂直平分線，垂足是點(diǎn)C（已知）,MNAB,CA=CB（線段垂直平分線的定義）,1290（垂直的定義）,若點(diǎn)P不在線段AB上 在PAC與PBC中,PACPBC

2、(S.A.S) PA=PB（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）,（2）若點(diǎn)P在線段AB上，則點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，即PA=PB.,1,2,學(xué)習(xí)新知,線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.,線段垂直平行線的性質(zhì)定理,MNAB, CA=CB(已知),PA=PB（線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線 段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）,1,2,文字語(yǔ)言：,符號(hào)語(yǔ)言：,線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.,線段垂直平行線的性質(zhì)定理,逆命題:,如果一個(gè)點(diǎn)到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相 等，那么這個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.,這個(gè)逆命題是否也是真命題嗎 ？,如果一個(gè)點(diǎn)到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，

3、那么這個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.,A,B,P,已知：如圖，PA=PB. 求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.,分析：,1、先作垂直,2、再證平分,等腰三角形三線合一,1、先取中點(diǎn),2、再證垂直,等腰三角形三線合一,如果一個(gè)點(diǎn)到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等， 那么這個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.,已知：如圖，PA=PB. 求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.,證明：,(1)如果點(diǎn)P在線段AB上,那么點(diǎn)P就是線段 AB的中點(diǎn),即在線段AB的垂直平分線上.,A,B,P,(2)如果點(diǎn)P不在線段AB上，過(guò)點(diǎn)P作 PDAB，垂足為點(diǎn)D.,PA=PB(已知)，PDAB（已作）.,D,AD=BD（等腰三角

4、形三線合一）.,點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.,線段垂直平行線的性質(zhì)定理的逆定理,和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.,符號(hào)語(yǔ)言：,PA=PB(已知),點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上 （和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)， 在這條線段的垂直平分線上）,圖形語(yǔ)言：,任何圖形都是由點(diǎn)組成的，因此我們可以把圖形看成點(diǎn)的集合.,組成線段BC的垂直平分線的所有點(diǎn)和B、C兩點(diǎn)的距離都相等；,線段的垂直平分線可以看作是 點(diǎn)的集合.,反過(guò)來(lái)，和B、C兩點(diǎn)距離相等的所有的點(diǎn)組成線段AB的垂直平分線.,和這條線段兩個(gè)端點(diǎn),距離相等,例1、已知：如圖，AB=AC，DB=DC，點(diǎn)E是直線AD上一點(diǎn).,

5、求證：BE=CE.,能得到什么？,證明AD是線段BC的垂直平分線的目的是什么？,證明：,AB=AC（已知）,點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上 （和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）,BE=CE（線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）,又能得到什么？,同理點(diǎn)D也在線段BC的垂直平分線上,直線AD是線段BC的垂直平分線,如果點(diǎn)E移動(dòng)至直線AD的其他位置，結(jié)論還成立嗎？,例2、已知：如圖，在ABC中，OM、ON分別是AB、 AC的垂直平分線，OM與ON相交與點(diǎn)O.,求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線上.,OA=OB,OA=OC,OB=OC,例2、已知：如圖，在ABC中，

6、OM、ON分別是AB、 AC的垂直平分線，OM與ON相交與點(diǎn)O.,求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線上.,證明：分別聯(lián)結(jié)OB、OA、OC.,OM是AB的垂直平分線(已知),OA=OB （線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）,同理，OA=OC.,OB=OC（等量代換）,點(diǎn)O在BC的垂直平分線上 （和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）,三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，且這點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.,(1)如圖，已知在ABC中， AB= AC=24cm，AC的垂直平分線分別交AB、 AC于點(diǎn)E、F ，且BCE的周長(zhǎng)為34cm，求底邊BC的長(zhǎng).,解：EF是AC的垂直平分線(已知)， AE=EC （線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這 條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）. AB=AE+EB=CE+BE（等量代換）. C BCE =BE+EC+BC=34cm(已知), 又 AB= 24cm (已知), BC=10cm(等式性質(zhì)） .,課堂練習(xí),課堂練習(xí),(1)已知，如圖，CD垂直平分AB， AB平分CAD.求證：ADBC.,解：CD是AB的垂直平分線(已知)， CA=CB （線段垂直平分線上的任意一點(diǎn) 到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）., 1= B